a) △ABC cân tại A nên ∠ ABC=∠ ACB

Vì BQ và CP là đường phân giác của B,C nên ∠ B1​​=∠ B2​​=∠ ABC/2​, ∠ C1​​=∠ C2​​=∠ ACB​/2.

Do đó  ∠ B1​​=∠ B2​​=∠ C1​​=∠ C2​​.

Suy ra △OBC cân tại O

b) Vì O là giao điểm các đường phân giác CP và BQ trong △ABC nên O là giao điểm ba đường phân giác trong △ABC

Do đó, O cách đều ba cạnh AB,AC và BC

c) Ta có △ABC△ABC cân tại A,AO là đường phân giác của góc A nên AO đồng thời là trung tuyến và đường cao của △ABC

Vậy đường thẳng AO đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC và vuông góc với nó.

d) Ta có △PBC=△QCB (g.c.g)

⇒CP=BQ (hai cạnh tương ứng).

e) Ta có AP=AB−BP, AQ=AC−CQ (1);

△PBC=△QCB⇒BP=CQ (2).

Lại có AB=ACA (tam giác ABCABC cân tại A) (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra AP=AQ.

Vậy tam giác APQ cân tại AA.

a) Xét △OAD và △OCB, có

OA=OC(giả thiết);

∠O chung;

OD=OB (giả thiết).

Do đó △OAD=△OCB (c.g.c)

⇒AD=CB (hai cạnh tương ứng).

b) Do OA=OC và OB=OD nên AB=CD.

Mà △OAD=△OCB (chứng minh trên)

∠OBC=∠ODA; ∠OAD = ∠OCB (hai góc tương ứng)

Mặt khác ∠ABE + ∠OBC = ∠CDE + ∠ODA = 180^o

⇒∠ ABE = ∠CDE

Xét △ABE và  △CDE có

∠OAD = ∠OCB (chứng minh trên);

AB = CD (chứng minh trên);

∠ABE = ∠CDE (chứng minh trên) 

Do đó △ABE=△CDE (g.c.g).

c) Vì △ABE=△CDE (chứng minh trên) nên AE=CE (hai cạnh tương ứng).

Xét △AEO và  △CEO có AE=CE (chứng minh trên);

OE cạnh chung;

OA=OC(giả thiết).

Do đó △AEO=△CEO (c.c.c)

⇒∠AOE = ∠COE (hai góc tương ứng)

⇒OE là tia phân giác của ∠ xOy

Xét △IOEvà △IOF có

∠E=∠F=90∘ (giả thiết);

OI cạnh chung;

∠EOI=∠FOI (Om là tia phân giác).

Vậy △IOE=△IOF (cạnh huyền - góc nhọn).

b) △IOE=△IOF (chứng minh trên)

⇒OE=OF (hai cạnh tương ứng).

Gọi H là giao điểm của Om và EF

Xét △OHE và △OHF, có

OE=OF (chứng minh trên);

∠EOH=∠FOH (OmOm là tia phân giác);

OH chung.

Do đó △OHE=△OHF (c.g.c)

⇒∠OHE = ∠FHO (hai góc tương ứng)

Mà ∠OHE+∠FHO = 180^o nên ∠OHE = ∠FHO= 90^o

Vậy EF⊥Om

Kẻ IE⊥AD (với E∈AD).

Gọi Ax là tia đối của tia AB

Vì ∠BAC và ∠Cax là hai góc kề bù mà ∠BAC=120 nên ∠CAx=60^o (1) 

Ta có ADmlà phân giác của ∠BAC⇒∠DAC=1/2∠BAC=60^o(2)

Từ (1) và (2) suy ra AC là tia phân giác của ∠DAx

⇒IH=IE (tính chất tia phân giác của một góc) (3)

Vì DI là phân giác của ∠ADC nên IK=IE (tính chất tia phân giác của một góc) (4)

Từ (3) và (4)(4) suy ra IH=IK.

Xét hai tam giác △BDH\triangle BDH và △CDK\triangle CDK:

• DD là trung điểm của BCBC nên BD=DCBD = DC
• DH=DKDH = DK vì cả hai đều là đường cao từ DD xuống ABAB và ACAC
• ∠BDH=∠CDK=90∘\angle BDH = \angle CDK = 90^\circ∠BDH=∠CDK=90∘ (do DHDH và DKDK lần lượt vuông góc với ABAB và ACAC)
• ⇒△BDH = △CDK  ( cạnh huyền - cạnh góc vuông )
• ⇒BH = CK ( 2 cạnh tương ứng )