Giả thiết

• (O;R), điểm M ngoài (O), OM = 2R
• MB, MC là hai tiếp tuyến → MB = MC, OB ⟂ MB, OC ⟂ MC
• BK là đường kính
• MK cắt (O) tại E (E ≠ K)
• H = MO ∩ BC

a) Chứng minh MO ⟂ BC và tứ giác MEHB nội tiếp

🔹 Chứng minh MO ⟂ BC

Ta có:

• MB = MC (hai tiếp tuyến từ một điểm)
• OB = OC (bán kính)
  ⇒ O và M cùng nằm trên đường trung trực của BC
  ⇒ OM ⟂ BC (đpcm)

🔹 Chứng minh tứ giác MEHB nội tiếp

Ta có:

• OB ⟂ MB ⇒ ∠MBK = 90°
• BK là đường kính ⇒ ∠BEK = 90°

Vì M, E, K thẳng hàng nên:

∠MEB = 90°

Mặt khác, vì OM ⟂ BC và H ∈ BC nên:

∠MHB = 90°

Suy ra:

∠MEB = ∠MHB = 90°
⇒ M, E, H, B cùng thuộc một đường tròn
⇒ tứ giác MEHB nội tiếp. (đpcm)

b) Chứng minh △CEH ∞ △MEB và suy ra CE ⟂ HE

Xét hai tam giác CEH và MEB:

Ta có:

• ∠CEH = ∠CMK (cùng chắn cung CK trong (O))
• ∠MEB = ∠MBK (cùng chắn cung MK)

Mà:

• MB ⟂ OB
• BK là đường kính ⇒ MB ⟂ BK

⇒ Hai góc trên bằng nhau
⇒ △CEH ∞ △MEB (g-g)

🔹 Suy ra CE ⟂ HE

Từ đồng dạng ta có:

\(\frac{C E}{E H} = \frac{M E}{E B}\)

Mà trong tứ giác nội tiếp MEHB:

\(M E \cdot M K = M B^{2}\)

Kết hợp suy ra:

\(C E \cdot E H = \text{h} \overset{ˋ}{\overset{ }{\text{a}}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \Rightarrow \angle C E H = 90 °\)

⇒ CE ⟂ HE (đpcm)

c) Kẻ dây BA // MK. Tính BM·BA theo R

Ta có:

• OM = 2R
• MB là tiếp tuyến ⇒

\(M B^{2} = O M^{2} - R^{2} = \left(\right. 2 R \left.\right)^{2} - R^{2} = 4 R^{2} - R^{2} = 3 R^{2}\)

⇒ MB = R√3

Xét tam giác OMB vuông tại B:

\(sin ⁡ \angle M O B = \frac{M B}{O M} = \frac{R \sqrt{3}}{2 R} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

⇒ ∠MOB = 60°

Suy ra:

Góc ở tâm chắn dây BA = 60°
⇒ BA = R

✅ Kết luận:

\(B M \cdot B A = \left(\right. R \sqrt{3} \left.\right) \cdot R = R^{2} \sqrt{3}\)

cho đến khi linh hồn bạn tan biến còn không thì đời đời kiếp kiếp nhá

Ta có phương trình bậc hai:

\(x^{2} - 2 x + m - 3 = 0\)

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là Δ ≥ 0, với Δ là biệt số:

\(\Delta = \left(\right. - 2 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. m - 3 \left.\right) = 4 - 4 m + 12 = 16 - 4 m \geq 0\) \(\Rightarrow 16 \geq 4 m \Rightarrow m \leq 4\)

Bước 1: Biểu diễn các nghiệm x₁, x₂ theo định lý Viète

Theo định lý Viète:

\(x_{1} + x_{2} = 2 , x_{1} x_{2} = m - 3\)

Bước 2: Biến đổi hệ thức đề bài

Ta có điều kiện:

\(x_{1}^{2} - 2 x_{2} + x_{1} x_{2} = - 12\)

Thay x₁ = 2 - x₂ vào:

\(\left(\right. 2 - x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{2} + \left(\right. 2 - x_{2} \left.\right) x_{2} = - 12\)

Mở rộng và thu gọn:

\(4 - 4 x_{2} + x_{2}^{2} - 2 x_{2} + 2 x_{2} - x_{2}^{2} = - 12\) \(4 - 4 x_{2} = - 12\) \(- 4 x_{2} = - 16\) \(x_{2} = 4\)

Bước 3: Tìm m

Từ x_1 + x_2 = 2, ta có:

\(x_{1} = 2 - 4 = - 2\)

Từ x_1x_2 = m - 3:

\(\left(\right. - 2 \left.\right) \left(\right. 4 \left.\right) = m - 3\) \(- 8 = m - 3\) \(m = - 5\)

Bước 4: Kiểm tra điều kiện \(m \leq 4\)

Vì \(m = - 5\) thỏa mãn \(m \leq 4\), nên đáp án cuối cùng là \(m = - 5\)