Nếu \(x < 1\) thì \(x^{8} - x^{7} + x^{2} - x + 1\)

\(= x^{8} + x^{2} \left(\right. 1 - x^{5} \left.\right) + \left(\right. 1 - x \left.\right) > 0\).

Nếu \(x \geq 1\) thì \(x^{8} - x^{7} + x^{2} - x + 1\)

\(= x^{7} \left(\right. x - 1 \left.\right) + x \left(\right. x - 1 \left.\right) + 1 > 0\).

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với   \(2 \left(\right. \frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \left.\right) \geq 2 \left(\right. \frac{c}{b} + \frac{b}{a} + \frac{a}{c} \left.\right)\)

Xét dấu hiệu \(2 \left(\right. \frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \left.\right) - 2 \left(\right. \frac{c}{b} + \frac{b}{a} + \frac{a}{c} \left.\right)\)

\(= \left(\right. \frac{a}{b} - \frac{b}{c} \left.\right)^{2} + \left(\right. \frac{b}{c} - \frac{c}{a} \left.\right)^{2} + \left(\right. \frac{c}{a} - \frac{a}{b} \left.\right)^{2} \geq 0\)

Từ đó suy ra đpcm.

Nhân hai vế bất đẳng thức cần chứng minh với \(x + y\) ta được bất đẳng thức tương đương là

\(x^{5} + y^{5} > \left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right) \left(\right. x + y \left.\right)\) (1)

Từ giả thiết \(x > \sqrt{2}\) suy ra \(x^{2} > 2\) suy ra \(x^{5} > 2 x^{3}\), từ đó   

\(x^{5} + y^{5} > 2 \left(\right. x^{3} + y^{3} \left.\right)\)

\(= 2 \left(\right. x^{2} - x y + y^{2} \left.\right) \left(\right. x + y \left.\right)\)

\(= \left(\right. x - y \left.\right)^{2} + \left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right) \left(\right. x + y \left.\right) \geq \left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right) \left(\right. x + y \left.\right)\) suy ra (1), điều phải chứng minh.

 \(x + y = 1\) nên \(\left(\right. 1 + \frac{1}{x} \left.\right) \left(\right. 1 + \frac{1}{y} \left.\right) - 9\)

\(= \frac{\left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. y + 1 \left.\right) - 9 x y}{x y} = \frac{2 - 8 x y}{x y}\)  

\(= \frac{2 \left(\right. 1 - 4 x y \left.\right)}{x y} = \frac{2 \left(\right. \left(\right. x + y \left.\right)^{2} - 4 x y \left.\right)}{x y}\)

\(= \frac{2 \left(\right. x - y \left.\right)^{2}}{x y} \geq 0\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = \frac{1}{2}\).

Vế trái bất đẳng thức cần chứng minh là \(x^{6} \left(\right. x - 1 \left.\right)^{2} + 3 \left(\right. x^{4} - \frac{1}{2} \left.\right)^{2} + \left(\right. x - \frac{1}{2} \left.\right)^{2}\).

Từ đó suy ra đpcm.

Giả thiết đã cho tương đương với \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a} = 6\). (1)

Ta có \(\left(\right. \frac{1}{a} - 1 \left.\right)^{2} \geq 0\)

\(\frac{1}{a^{2}} + 1 \geq \frac{2}{a}\) nên 

\(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \geq 2 \left(\right. \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \left.\right) - 3\) (2)

Lại có \(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq \frac{2}{a b}\) nên 

\(2 \left(\right. \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \left.\right) \geq 2 \left(\right. \frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a} \left.\right)\) (3)

Cộng (2) và (3) theo vế  và sử dụng (1)  ta có    

\(3 \left(\right. \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \left.\right) \geq 2 \left(\right. \frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \left.\right) - 3 = 2.6 - 3 = 9\) 

Suy ra \(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \geq 3\).

Ta có \(x^{2} + y^{2} + x y - 3 x - 3 y + 3\)

\(= \left(\right. x - 1 \left.\right)^{2} + \left(\right. y - 1 \left.\right)^{2} + x y + 1 - x - y\)

\(= \left(\right. x - 1 \left.\right)^{2} + \left(\right. y - 1 \left.\right)^{2} + \left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. y - 1 \left.\right) \geq 0\)                       

(do \(a^{2} + a b + b^{2} = \frac{1}{4} \left(\right. 4 a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} \left.\right) = \frac{1}{4} \left(\right. 2 a + b \left.\right)^{2} + \frac{3}{4} b^{2} \geq 0\))

Ta có \(\sqrt{a^{2} - a b + b^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4} \left(\right. a + b \left.\right)^{2} + \frac{3}{4} \left(\right. a - b \left.\right)^{2}};\geq\frac{1}{2}\left(\right.a+b\left.\right)\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\).

Trương tự \(\sqrt{b^{2} - b c + c^{2}} \geq \frac{1}{2} \left(\right. b + c \left.\right)\) và \(\sqrt{c^{2} - c a + c a} \geq \frac{1}{2} \left(\right. c + a \left.\right)\).

Từ đó \(\sqrt{a^{2} - a b + b^{2}} + \sqrt{b^{2} - b c + c^{2}} + \sqrt{c^{2} - c a + a^{2}} \geq \frac{1}{2} \left(\right. a + b + b + c + c + a \left.\right)\)

\(= \left(\right. a + b + c \left.\right) = 3\)                                                                           

Vậy \(\sqrt{a^{2} - a b + b^{2}} + \sqrt{b^{2} - b c + c^{2}} + \sqrt{c^{2} - c a + a^{2}} \geq 3\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = \frac{a + b + c}{3} = 1\).

1) \(a^{2} - a b + b^{2}\)

\(= \left(\right. a^{2} - 2 \cdot a \cdot \frac{1}{2} b + \frac{1}{4} b^{2} \left.\right) + \frac{3}{4} b^{2} = \left(\left(\right. a - \frac{1}{2} b \left.\right)\right)^{2} + \frac{3}{4} b^{2} \geq 0 \forall a , b\)

Dấu "=" xảy ra khi: {​b=0 2a−b=0​ 

2) \(a^{2} - a b + b^{2} \geq \frac{1}{4} \left(\left(\right. a + b \left.\right)\right)^{2}\)

\(< = > a^{2} - a b + b^{2} \geq \frac{1}{4} \left(\right. a^{2} + 2 a b + b^{2} \left.\right) < = > a^{2} - a b + b^{2} \geq \frac{1}{4} a^{2} + \frac{1}{2} a b + \frac{1}{4} b^{2} < = > \frac{3}{4} a^{2} - \frac{3}{2} a b + \frac{3}{4} b^{2} \geq 0 < = > \frac{3}{4} \left(\right. a^{2} - 2 a b + b^{2} \left.\right) \geq 0 < = > \frac{3}{4} \left(\left(\right. a - b \left.\right)\right)^{2} \geq 0 (\text{lu} \hat{\text{o}} \text{n}\&\text{nbsp};đ \overset{ˊ}{\text{u}} \text{ng})\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a - b = 0 < = > a = b\)

Từ giả thiết \(z \geq y \geq x \geq 0\) suy ra \(x \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x - z \left.\right) \geq 0\) (1).

Hai số hạng còn lại của vế trái bất đẳng thức cần chứng minh có nhân tử chung \(z - y \geq 0\) (2) 

và ta có \(y \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. y - x \left.\right) + z \left(\right. z - x \left.\right) \left(\right. z - y \left.\right) = \left(\right. z - y \left.\right) \left[\right. z \left(\right. z - x \left.\right) - y \left(\right. y - x \left.\right) \left]\right.\) (3)

Mà \(z \geq y \geq x \geq 0\) nên \(z \geq y \geq 0\) và \(z - x \geq y - x \geq 0\), từ đó  

\(z \left(\right. z - x \left.\right) \geq y \left(\right. y - x \left.\right)\) nên \(z \left(\right. z - x \left.\right) - y \left(\right. y - x \left.\right) \geq 0\) (4)

Từ (2) và (4) suy ra  \(\left(\right. z - y \left.\right) \left[\right. z \left(\right. z - x \left.\right) - y \left(\right. y - x \left.\right) \left]\right. \geq 0\), kết hợp với (3) suy ra 

\(y \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. y - x \left.\right) + z \left(\right. z - x \left.\right) \left(\right. z - y \left.\right) \geq 0\) (5).

Từ (1) và (5) suy ra điều phải chứng minh.