Lý Thanh Trúc
Giới thiệu về bản thân
Thử phiên bản mới
a) Tứ giác \(D K M N\) có \(\hat{D} = \hat{K} = \hat{N} = 90^{\circ}\) nên là hình chữ nhật
b) Vì \(D K M N\) là hình chữ nhật nên \(D F\) // \(M H\)
Xét \(\Delta K F M\) và \(\Delta N M E\) có:
\(\hat{K} = \hat{N} = 90^{\circ}\)
\(F M = M E\) ( giả thiết)
\(\hat{K M F} = \hat{E}\) (đồng vị)
Vậy \(\Delta K F M = \Delta N M E\) (cạnh huyền - góc nhọn)
Suy ra \(K F = M N\) (hai cạnh tương ứng) mà \(M N = D K\) nên \(D F = 2 D K\) và \(M H = 2 M N\)
Do đó \(D F = M H\)
Tứ giác \(D F M H\) có \(D F\) // \(M H , D F = M H\) nên là hình bình hành
Do đó, hai đường chéo \(D M , F H\) cắt nhau tại trung điểm \(O\) của mỗi đường hay \(F , O , H\) thẳng hàng.
c) Để hình chữ nhật \(D K M N\) là hình vuông thì \(D K = D N\) \(\left(\right. 1 \left.\right)\)
Mà \(D K = \frac{1}{2} D F\) và \(D N = K M = N E\) nên \(D N = \frac{1}{2} D E\) \(\left(\right. 2 \left.\right)\)
Từ \(\left(\right. 1 \left.\right) , \left(\right. 2 \left.\right)\) suy ra \(D F = D E\)
Vậy \(\Delta D F E\) cần thêm điều kiên cân tại \(D\)
a) Vì \(A B = 2 B C\) suy ra \(B C = \frac{A B}{2} = A D\)
\(A B C D\) là hình chữ nhật nên \(A B = D C\) suy ra \(\frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} D C\) do đó \(A I = D K = A D\)
Tứ giác \(A I K D\) có \(A I\) // \(D K , A I = D K\) nên \(A I K D\) là hình bình hành
Lại có \(A D = A I\) nên \(A I K D\) là hình thoi
Mà \(\hat{I A D} = 90^{\circ}\) do đó \(A I K D\) là hình vuông
Chứng minh tương tự cho tứ giác \(B I K C\)
b) Vì \(A I K D\) là hình vuông nên \(D I\) là tia phân giác \(\hat{A D K}\) hay \(\hat{I D K} = 45^{\circ}\)
Tương tự \(\hat{I C D} = 45^{\circ}\)
\(\Delta I D C\) cân có \(\hat{D I C} = 90^{\circ}\) nên là tam giác vuông cân
c) Vì \(A I K D , B C K I\) là các hình vuông nên hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên \(S I = S K = \frac{D I}{2}\) và \(I R = R K = \frac{I C}{2}\)
Suy ra \(I S K R\) là hình thoi.
Lại có \(\hat{D I C} = 90^{\circ}\) nên \(I S K R\) là hình vuông.
a) \(A B C D\) là hình vuông nên \(A B = B C = C D = D A\)
Mà \(A M = B N = C P = D Q\)
Trừ theo vế ta được \(A B - A M = B C - B N = C D - C P = D A - D Q\)
Suy ra \(M B = N C = P D = Q A\)
b) Xét \(\Delta Q A M\) và \(\Delta N C P\) có:
\(\hat{A} = \hat{C} = 90^{\circ}\)
\(A Q = N C\) (chứng minh trên)
\(A M = C P\) (giả thiết)
Suy ra \(\Delta Q A M = \Delta N C P\) (c.g.c)
c) Từ \(\Delta Q A M = \Delta N C P\) suy ra \(N P = M Q\) (hai cạnh tương ứng)
Chứng minh tương tự câu b ta có \(\Delta Q A M = \Delta P D Q\) và \(\Delta Q A M = \Delta M B N\)
Khi đó \(\Rightarrow M Q = P Q , M N = M Q\) và \(\hat{A M Q} = \hat{D Q P}\)
Mà \(\hat{A M Q} + \hat{A Q M} = 90^{\circ}\) suy ra \(\hat{D Q P} + \hat{A Q M} = 90^{\circ}\)
Do đó, \(\hat{M Q P} = 90^{\circ}\)
Tứ giác \(M N P Q\) có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi, lại có \(\hat{M Q P} = 90^{\circ}\) nên là hình vuông
a) Tứ giác \(A M C K\) có hai đường chéo \(A C , M K\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.
\(\Delta A B C\) vuông tại \(A\) có \(A M\) là đường trung tuyến nên \(A M = M C = M B\)
Vậy hình bình hành \(A M C K\) có \(A M = M C\) nên là hình thoi
b) Vì \(A M C K\) là hình thoi nên \(A K\) // \(B M\) và \(A K = M C = B M\)
Tứ giác \(A K M B\) có \(A K\) // \(B M , A K = B M\) nên là hình bình hành.
c) Để \(A M C K\) là hình vuông thì cần có một góc vuông hay \(A M ⊥ M C\)
Khi đó \(\Delta A B C\) có \(A M\) vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại \(A\)
Vậy \(\Delta A B C\) vuông cân tại \(A\) thì \(A M C K\) là hình vuông
) \(\Delta A B C\) vuông cân nên \(\hat{B} = \hat{C} = 45^{\circ} .\)
\(\Delta B H E\) vuông tại \(H\) có \(\hat{B E H} + \hat{B} = 90^{\circ}\)
Suy ra \(\hat{B E H} = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}\) nên \(\hat{B} = \hat{B E H} = 45^{\circ}\).
Vậy \(\Delta B E H\) vuông cân tại \(H .\)
b) Chứng minh tương tự câu a ta được \(\Delta C F G\) vuông cân tại \(G\) nên \(G F = G C\) và \(H B = H E\)
Mặt khác \(B H = H G = G C\) suy ra \(E H = H G = G F\) và \(E H\) // \(F G\) (cùng vuông góc với \(B C \left.\right)\)
Tứ giác \(E F G H\) có \(E H\) // \(F G , E H = F G\) nên là hình bình hành.
Hình bình hành \(E F G H\) có một góc vuông \(\hat{H}\) nên là hình chữ nhật
Hình chữ nhật \(E F G H\) có hai cạnh kề bằng nhau \(E H = H G\) nên là hình vuông