Giả thiết

• Hình chóp \(S . A B C D\) có đáy \(A B C D\) là hình bình hành.
  \(\Rightarrow A B \parallel C D , \&\text{nbsp}; A D \parallel B C .\)
• \(I\) là trung điểm của cạnh \(S A\).
• Mặt phẳng \(\left(\right. I B C \left.\right)\) đi qua ba điểm \(I , B , C\).

2. Phân tích: Mặt phẳng (IBC) đi qua những đâu?

Mặt phẳng \(\left(\right. I B C \left.\right)\) chứa:

• \(I\) trên \(S A\),
• \(B\) và \(C\) — hai đỉnh kề của đáy.

⟹ Mặt phẳng này chắc chắn cắt hình chóp ở các mặt:

Ta sẽ tìm giao tuyến của \(\left(\right. I B C \left.\right)\) với từng mặt này.

3. Xác định các giao tuyến

(1) Mặt phẳng \(\left(\right. I B C \left.\right) \cap \left(\right. S A B \left.\right)\)

• \(I \in S A \subset \left(\right. S A B \left.\right)\),
• \(B \in \left(\right. S A B \left.\right)\).

⟹ \(\left(\right. I B C \left.\right) \cap \left(\right. S A B \left.\right) = I B .\)

(2) Mặt phẳng \(\left(\right. I B C \left.\right) \cap \left(\right. S B C \left.\right)\)

• \(B , C \in \left(\right. S B C \left.\right)\).

⟹ \(\left(\right. I B C \left.\right) \cap \left(\right. S B C \left.\right) = B C .\)

(3) Mặt phẳng \(\left(\right. I B C \left.\right) \cap \left(\right. S C D \left.\right)\)

• \(C \in \left(\right. S C D \left.\right)\),
• \(I\) không nằm trong (SCD), nhưng mặt phẳng (IBC) cắt mặt (SCD) theo một đường đi qua C.
• Gọi \(K = \left(\right. I B C \left.\right) \cap S D .\)
  Vì \(S , D \in \left(\right. S C D \left.\right)\), nên \(K \in S D\).

⟹ \(\left(\right. I B C \left.\right) \cap \left(\right. S C D \left.\right) = C K .\)

(4) Mặt phẳng \(\left(\right. I B C \left.\right) \cap \left(\right. S A D \left.\right)\)

• \(I \in S A \subset \left(\right. S A D \left.\right)\),
• \(K \in S D \subset \left(\right. S A D \left.\right)\).

⟹ \(\left(\right. I B C \left.\right) \cap \left(\right. S A D \left.\right) = I K .\)

4. Các điểm chung của thiết diện

Ta có bốn điểm:

⟹ Thiết diện là tứ giác \(I - B - C - K\).

5. Chứng minh hình dạng thiết diện là hình thang

Ta cần chứng minh:

Chứng minh \(I B \parallel C K\):

Ta làm việc bằng quan hệ song song trong không gian.

• Trong đáy \(A B C D\) là hình bình hành, ta có \(A B \parallel C D\).
• Mặt phẳng \(\left(\right. I B C \left.\right)\) chứa \(I B\) (đi qua \(I , B\)) và \(C\).
  Mặt phẳng \(\left(\right. S C D \left.\right)\) chứa \(C D\) và \(S D\).
• Đường \(K\) là giao điểm của \(\left(\right. I B C \left.\right)\) với \(S D\), nên trong \(\left(\right. S C D \left.\right)\), đoạn \(C K \subset \left(\right. S C D \left.\right)\).

⟹ \(C K\) nằm trong mặt phẳng \(\left(\right. S C D \left.\right)\), còn \(C D \subset \left(\right. S C D \left.\right)\).

• Vì \(A B \parallel C D\) và \(I\) là trung điểm của SA, nên mặt phẳng \(\left(\right. I B C \left.\right)\) có thể xem như mặt phẳng song song với mặt phẳng (SCD) theo hướng \(A B \parallel C D\).

Nói cách khác:

6. Kết luận hình dạng thiết diện

Tứ giác \(I B C K\) có một cặp cạnh đối song song \(\left(\right. I B \parallel C K \left.\right)\)
⟹ Hình thang.

Kết luận cuối cùng:

Tóm tắt lập luận ngắn gọn:

1. \(\left(\right. I B C \left.\right) \cap \left(\right. S A B \left.\right) = I B , \left(\right. I B C \left.\right) \cap \left(\right. S B C \left.\right) = B C ,\)
   \(\left(\right. I B C \left.\right) \cap \left(\right. S C D \left.\right) = C K , \left(\right. I B C \left.\right) \cap \left(\right. S A D \left.\right) = I K .\)
2. Thiết diện là tứ giác \(I B C K .\)
3. Vì đáy là hình bình hành \(\left(\right. A B \parallel C D \left.\right)\) và \(I\) là trung điểm của \(S A\),
   nên \(I B \parallel C K .\)

⟹ Thiết diện là hình thang ( IBCK.