a) ABCD là hình bình hành → AB ∥ CD,AB = CD.

M,N là trung điểm → AM = 1/2AB,CN 1/2= CD

→ AM = CN và AM ∥ CN.

Vậy AMCN là hình bình hành.

Gọi O là giao điểm AC,MN. O là trung điểm AC.

Vì ON là đường trung bình △ADC (N trung điểm CD, O trung điểm AC).

→ ON ∥ AD.

Mà AD ⟂ AC (gt) → ON ⟂ AC → MN ⟂ AC.

b) AMCN là hình bình hành và có hai đường chéo AC ⟂ MN → AMCN là hình thoi.

Ta có By song song với AC (gt) nên MB song song với AQ.

• Ax vuông góc với AC (gt) nên ∠MAQ = 90•

• Vì MB song song với AQ nên ∠MBA + ∠BAQ = 180•

• Mà ∠MAQ = 90•nên ∠MBA = 90•

• Vậy MB vuông góc với AB, suy ra MB song song với AQ.

• Tứ giác AMBQ có AM song song với BQ và MB song song với AQ nên AMBQ là hình bình hành.

b, P là trung điểm của AB (gt) nên AP = PB.

• Trong tam giác ABM, P là trung điểm của AB và PQ song song với AM (do AMBQ là hình bình hành) nên Q là trung điểm của BM.

• Vậy PQ là đường trung bình của tam giác ABM, suy ra PQ =1/2 AM

Vì AMPQ là hình bình hành nên AM = BQ

F là trung điểm của AB nên IP là đường trung tuyến với cạnh huyền của tam giác vuông BIQ

Vậy IP = PQ suy ra tam PIQ cân tại F

Tam giác ABC có M là trung điểm AC và BM = 1/2 AC, suy ra ∠B = 90•

• Hình thang vuông ABCD có ∠A = ∠D = 90• và ∠B = 90•

• Do đó, ABCD là hình chữ nhật vì có ba góc vuông.

Cho tam giác ABC với AH là đường cao, I là trung điểm của AC, và D thuộc tia HI sao cho IH = ID.

• Vì IH = ID và I là trung điểm của AC, tứ giác AHCD là hình bình hành (hai đường chéo HD và AC đều cắt tại I, trung điểm của mỗi đường).

• Trong hình bình hành, nếu một góc bằng 90°, thì nó là hình chữ nhật.

• Ta biết AH ⟂ BC, do đó AH ⟂ DC (vì AH ∥ DC trong hình bình hành AHCD). Vậy góc ADC = 90°.

• Do đó AHCD là hình chữ nhật.