Ta có:

\(4^{x} - 3 \cdot 2^{x + 2} + m = 0\)

Viết:

\(4^{x} = \left(\right. 2^{x} \left.\right)^{2}\)

Đặt:

\(t = 2^{x} \left(\right. t > 0 \left.\right)\)

Khi đó phương trình trở thành:

\(t^{2} - 12 t + m = 0\)

Gọi \(t_{1} , t_{2}\) là hai nghiệm của phương trình theo \(t\), tương ứng với hai nghiệm \(x_{1} , x_{2}\).

Ta có:

\(x_{1} = \left(log ⁡\right)_{2} t_{1} , x_{2} = \left(log ⁡\right)_{2} t_{2}\)

Điều kiện:

\(x_{1} + x_{2} = 5\)

Suy ra:

\(\left(log ⁡\right)_{2} t_{1} + \left(log ⁡\right)_{2} t_{2} = 5\) \(\left(log ⁡\right)_{2} \left(\right. t_{1} t_{2} \left.\right) = 5\) \(t_{1} t_{2} = 2^{5} = 32\)

Theo Viète:

\(t_{1} t_{2} = m\)

nên:

\(m = 32\)

Kiểm tra điều kiện có hai nghiệm phân biệt:

\(\Delta = \left(\right. - 12 \left.\right)^{2} - 4 \cdot 32 = 144 - 128 = 16 > 0\)

Hai nghiệm:

\(t_{1 , 2} = \frac{12 \pm 4}{2} = 8 , \&\text{nbsp}; 4 > 0\)

nên tồn tại hai nghiệm phân biệt của \(x\).

Vậy:

\(\boxed{m = 32}\)

Đặt hệ trục tọa độ:

\(A \left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right) , \&\text{nbsp}; B \left(\right. a , 0 , 0 \left.\right) , \&\text{nbsp}; D \left(\right. 0 , a , 0 \left.\right) , \&\text{nbsp}; C \left(\right. a , a , 0 \left.\right)\)

Vì \(S A \bot A B , \&\text{nbsp}; S A \bot A D\) và \(S A = 2 a\) nên:

\(S \left(\right. 0 , 0 , 2 a \left.\right)\)

Trung điểm \(M\) của \(C D\):

\(M \left(\right. \frac{a}{2} , a , 0 \left.\right)\)

Ta có:

\(\overset{\rightarrow}{S B} = \left(\right. a , 0 , - 2 a \left.\right) , \overset{\rightarrow}{S M} = \left(\right. \frac{a}{2} , a , - 2 a \left.\right)\)

Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left(\right. S B M \left.\right)\):

\(\overset{⃗}{n} = \overset{\rightarrow}{S B} \times \overset{\rightarrow}{S M}\)

Tính được:

\(\overset{⃗}{n} = \left(\right. 2 , 2 , 1 \left.\right)\)

Phương trình mặt phẳng \(\left(\right. S B M \left.\right)\) đi qua \(S \left(\right. 0 , 0 , 2 a \left.\right)\):

\(2 x + 2 y + z - 2 a = 0\)

Khoảng cách từ \(D \left(\right. 0 , a , 0 \left.\right)\) đến mặt phẳng \(\left(\right. S B M \left.\right)\):

\(d = \frac{\mid 2 \cdot 0 + 2 a + 0 - 2 a \mid}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = \frac{0}{3} = 0\)

Điều này vô lí vì \(D \notin \left(\right. S B M \left.\right)\), ta tính lại pháp tuyến.

Tính đúng:

\(\overset{⃗}{n} = \mid \overset{⃗}{i} & \overset{⃗}{j} & \overset{⃗}{k} \\ a & 0 & - 2 a \\ \frac{a}{2} & a & - 2 a \mid = \left(\right. 2 a^{2} , a^{2} , a^{2} \left.\right)\)

Suy ra có thể lấy:

\(\overset{⃗}{n} = \left(\right. 2 , 1 , 1 \left.\right)\)

Phương trình mặt phẳng \(\left(\right. S B M \left.\right)\):

\(2 x + y + z - 2 a = 0\)

Khoảng cách từ \(D \left(\right. 0 , a , 0 \left.\right)\) đến \(\left(\right. S B M \left.\right)\):

\(d = \frac{\mid 0 + a + 0 - 2 a \mid}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \frac{a}{\sqrt{6}}\)

Vậy:

\(\boxed{d \left(\right. D , \left(\right. S B M \left.\right) \left.\right) = \frac{a}{\sqrt{6}}}\)

N