Gọi \(B F\) cắt \(D C\) tại \(K\), \(B E\) cắt \(D C\) tại \(I\), và \(E F\) cắt \(A B\) tại \(G\).

\(\Delta F A B\) có \(D K\) // \(A B\) suy ra \(\frac{D K}{A B} = \frac{F D}{F A}\) (1)

\(\Delta F A G\) có \(D H\) // \(A G\) suy ra \(\frac{D H}{A G} = \frac{F D}{F A}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{D K}{A B} = \frac{D H}{A G}\) hay \(\frac{D K}{D H} = \frac{A B}{A G}\) (*)

Tương tự \(\Delta E I C\) có \(A B\) // \(I C\) suy ra \(\frac{I C}{A B} = \frac{E C}{E A}\) (3)

\(\Delta E H C\) có \(H C\) // \(A B\) suy ra \(\frac{H C}{A G} = \frac{E C}{E A}\) (4)

Từ (3) và (4) ta có \(\frac{I C}{A B} = \frac{H C}{A G}\) hay \(\frac{I C}{H C} = \frac{A B}{A G}\) (**)

Từ (*) và (**) ta có \(\frac{D K}{D H} = \frac{I C}{H C}\).

Mà \(D H = H C\) (gt) suy ra \(D K = I C\)

Mặt khác \(B D = B C\) (gt) nên \(\Delta B D C\) cân

Suy ra \(\hat{B D K} = \hat{B C I}\)

Vậy \(\Delta B D K = \Delta B C I\) (c.g.c)

Suy ra \(\hat{D B K} = \hat{C B I}\).

a) \(\Delta A B E\) có \(A M\) // \(D G\) suy ra \(\frac{A E}{E G} = \frac{E B}{E D}\) (1)

\(\Delta A D E\) có \(A D\) // \(B K\) suy ra \(\frac{E B}{E D} = \frac{E K}{E A}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có \(\frac{A E}{E G} = \frac{E K}{E A}\) nên \(A E^{2} = E K . E G\).

b) Từ \(\frac{1}{A E} = \frac{1}{A K} + \frac{1}{A G}\) suy ra \(\frac{A E}{A K} + \frac{A E}{A G} = 1\)

\(\Delta A D E\) có \(A D\) // \(B C\) suy ra \(\frac{A E}{E K} = \frac{E D}{E B}\)

     \(\frac{A E}{A E + E K} = \frac{E D}{E D + E B}\)

     \(\frac{A E}{A K} = \frac{E D}{D B}\) (3)

Tương tự \(\Delta A E B\) có \(A B\) // \(D G\) suy ra \(\frac{A E}{E G} = \frac{B E}{E D}\)

     \(\frac{A E}{A E + E G} = \frac{B E}{B E + E D}\)

     \(\frac{A E}{A G} = \frac{B E}{B D}\) (4)

Khi đó \(\frac{A E}{A K} + \frac{A E}{A G} = \frac{E D}{B D} + \frac{B E}{B D} = 1\).

c) Ta có \(\frac{B K}{K C} = \frac{A B}{C G}\) suy ra \(B K = \frac{K C . A B}{C G}\) và \(\frac{K C}{A D} = \frac{C G}{D G}\).

Suy ra \(D G = \frac{A D . C G}{K C}\)

Nhân theo vế ta được \(B K . D G = A B . A D\) không đổi.

Qua \(A\) vẽ đường thẳng song song với \(B C\) cắt \(B B^{'}\) tại \(D\) và cắt \(C C^{'}\) tại \(E\).

Khi đó 

\(\Delta A M E\) có \(A E\) // \(A^{'} C\) suy ra \(\frac{A M}{A^{'} M} = \frac{A E}{A^{'} C}\) (1)

\(\Delta A M D\) có \(A D\) // \(A^{'} B\) suy ra \(\frac{A M}{A^{'} M} = \frac{A D}{A^{'} B}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có \(\frac{A M}{A^{'} M} = \frac{A E}{A^{'} C} = \frac{A D}{A^{'} B} = \frac{A D + A E}{A^{'} C + A^{'} B} = \frac{D E}{B C}\) (*)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

\(\Delta A B^{'} D\) có \(A D\) // \(B C\) suy ra \(\frac{A B^{'}}{B^{'} C} = \frac{A D}{B C}\) (3)

\(\Delta A C^{'} E\) có \(A E\) // \(B C\) suy ra \(\frac{A C^{'}}{C^{'} B} = \frac{A E}{B C}\) (4)

Từ (3) và (4) ta có \(\frac{A B^{'}}{B^{'} C} + \frac{A C^{'}}{B C^{'}} = \frac{A D}{B C} + \frac{A E}{B C} = \frac{D E}{B C}\) (**)

Từ (*) và (**) ta có \(\frac{A M}{A^{'} M} = \frac{D E}{B C} = \frac{A B^{'}}{B^{'} C} + \frac{A C^{'}}{B C^{'}}\) (đpcm).