Gọi vận tốc thực của ca nô là \(x\) \(\left(\right. x > 5\); km/h\(\left.\right)\).

Vận tốc xuôi dòng của ca nô là \(x + 5\) km/h.

Vận tốc ngược dòng của ca nô là \(x - 5\) km/h.

Thời gian ca nô đi xuôi dòng là : \(\frac{60}{x + 5}\) (giờ)

Thời gian ca nô đi xuôi dòng là : \(\frac{60}{x - 5}\) (giờ)

Theo bài ra ta có phương trình:

\(\frac{60}{x + 5} + \frac{60}{x - 5} = 5\)

\(60 \left(\right. x - 5 \left.\right) + 60 \left(\right. x + 5 \left.\right) = 5 \left(\right. x^{2} - 25 \left.\right)\)

\(5 x^{2} - 120 x - 125 = 0.\)

Giải phương trình ta được: 

\(x_{1} = - 1\) (KTMĐK); 

\(x_{2} = 25\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy vận tốc thực của ca nô là \(25\) km/h.

​+50​−28​+18​.

\(= \sqrt{16.2} + \sqrt{25.2} - \sqrt{16.2} + \sqrt{9.2}\)

\(= 4 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}\)

\(= \left(\right. 4 + 5 - 4 + 3 \left.\right) \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}\)

2

a) Điều kiện: \(a > 0\) và \(a \neq 1\)
\(M = \left(\right. \frac{1}{a - \sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{a} - 1} \left.\right) : \frac{\sqrt{a} + 1}{a - 2 \sqrt{a} + 1}\)

\(= \left(\right. \frac{1}{\sqrt{a} \left(\right. \sqrt{a} - 1 \left.\right)} + \frac{1}{\sqrt{a} - 1} \left.\right) : \frac{\sqrt{a} + 1}{\left(\right. \sqrt{a} - 1 \left.\right)^{2}}\) 

\(= \frac{1 + \sqrt{a}}{\sqrt{a} \left(\right. \sqrt{a} - 1 \left.\right)} \cdot \frac{\left(\right. \sqrt{a} - 1 \left.\right)^{2}}{\sqrt{a} + 1}\)

\(= \frac{\left(\right. 1 + \sqrt{a} \left.\right) \left(\right. \sqrt{a} - 1 \left.\right)^{2}}{\sqrt{a} \left(\right. \sqrt{a} - 1 \left.\right) \left(\right. \sqrt{a} + 1 \left.\right)}\)

\(= \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a}}\)

b) Xét hiệu: 

\(M - 1 = \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a}} - 1 = \frac{- 1}{\sqrt{a}} < 0\) với \(a > 0\) và \(a \neq 1\).

Vậy \(M < 1\).

a) ΔAIE∽ΔACI (g.g) suy raACAI​=AIAE​ hay AI2=AE.AC (1)

Chứng minh tương tự:

ΔAIK∽ΔAKB (g.g) suy ra ABAK​=AKAF​ hay AK2=AB.AF (2)

Mà ABE∽ΔACF (g.g) suy raACAB​=AFAE​ hayAB.AF=AC.AE (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có 2AI2=AK2 suy raAI=AK.

b) Vì ^=60∘A=60∘ suy ra 1^=30∘B1​​=30∘

Trong tam giác ABE vuông tại E nên 12,AE=21​AB,

Trong tam giác AFC vuông tại F có 1^=30∘C1​​=30∘ suy ra =12AF=21​AC.

Do đó, ΔAEF∽ΔABC (c.g.c).

suy ra =14SABC​SAEF​​=(ABAE​)2=41​.

Vậy =14.120=30SAEF​=41​.120=30 cm22.

Gọi BF cắt DC tại K, BE cắt DC tại I, và EF cắt AB tại G.

ΔFAB có DK // AB suy ra ABDK​=FAFD​ (1)

ΔFAG có DH // AG suy ra AGDH​=FAFD​ (2)

Từ (1) và (2) suy ra ABDK​=AGDH​ hay DHDK​=AGAB​ (*)

Tương tự ΔEIC có AB IC suy ra ABIC​=EAEC​ (3)

ΔEHC có HC // AB suy ra AGHC​=EAEC​ (4)

Từ (3) và (4) ta có ABIC​=AGHC​ hayHCIC​=AGAB​ (**)

Từ (*) và (**) ta có DHDK​=HCIC​.

Mà DH=HC (gt) suy ra DK=IC

Mặt khác BD=BC (gt) nênΔBDC cân

Suy ra BDK=BCI

Vậy ΔBDK=ΔBCI (c.g.c)

Suy ra DBK=CBI.

a) ΔΔABE có AM // DG suy raEGAE​=EDEB​ (1)

ΔADE cóAD // BK suy ra EDEB​=EAEK​ (2)

Từ (1) và (2) ta có EGAE​=EAEK​ nênAE2=EK.EG.

b) Từ 11+1AE1​=AK1​+AG1​ suy ra=1AKAE​+AGAE​=1

ΔADE cóAD // BC suy ra EKAE​=EBED​

     AE+EKAE​=ED+EBED​

     AKAE​=DBED​ (3)

Tương tự ΔAEB có AB // DG suy ra EGAE​=EDBE​

     AE+EGAE​=BE+EDBE​

    AGAE​=BDBE​ (4)

Khi đó AKAE​+AGAE​=BDED​+BDBE​=1.

c) Ta có KCBK​=CGAB​ suy raBK=CGKC.AB​ vàADKC​=DGCG​.

Suy ra DG=KCAD.CG​

Nhân theo vế ta được BK.DG=AB.AD không đổi.

.DG=AB.AD không đổi.

Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt ′BB′ tại D và cắt ′CC′ tại E.

Khi đó 

ΔAME có AE // A′C suy ra =A′MAM​=A′CAE​ (1)

ΔΔAMD có AD // A′B suy ra A′MAM​=A′BAD​ (2)

Từ (1) và (2) ta cóA′MAM​=A′CAE​=A′BAD​=A′C+A′BAD+AE​=BCDE​ (*)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

ΔAB′D cóAD // BC suy raB′CAB′​=BCAD​ (3)

ΔΔAC′E có AE // BC suy ra C′BAC′​=BCAE​ (4)

Từ (3) và (4) ta cóB′CAB′​+BC′AC′​=BCAD​+BCAE​=BCDE​ (**)

Từ (*) và (**) ta có ′A′MAM​=BCDE​=B′CAB′​+BC′AC′​ (đpcm).