Ta có: \(\Delta=\left(\right.m+2\left.\right)^2-8m=m^2-4m+4=\left(\right.m-2\left.\right)^2\geq0,\forall m\).

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) với mọi m khi \(m\neq2\).

Áp dụng hệ thức Viète ta có \(x_1+x_2=-m-2;x_1x_2=2m\)

\(2\left(\right.x_1+x_2\left.\right)=-2m-4;x_1x_2=2m\)

\(2\left(\right.x_1+x_2\left.\right)+x_1x_2=-4\)

Biểu thức liên hệ giữa \(x_1,x_2\) không phụ thuộc vào tham số \(m\) là \(2\left(\right.x_1+x_2\left.\right)+x_1x_2=-4\)

Ta có \(a.c=-1<0\) nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm \(x_1,x_2\) phân biệt.

Theo định lí Viète ta có: \(x_1+x_2=1\) và \(x_1.x_2=-1\)

Ta có:

\(P\left(\right.x_1\left.\right)=P\left(\right.x_2\left.\right)\)

\(3x_1-\sqrt{33x_1+25}=3x_2-\sqrt{33x_2+25}\)

\(3\left(\right.x_1-x_2\left.\right)-\left(\right.\sqrt{33x_1+25}-\sqrt{33x_2+25}\left.\right)=0\)

\(3\left(\right.x_1-x_2\left.\right)-\frac{33\left(\right.x_1-x_2\left.\right)}{\sqrt{33x_1+25}+\sqrt{33x_2+25}}=0\)

\(1-\frac{11}{\sqrt{33x_1+25}+\sqrt{33x_2+25}}=0\)

\(\sqrt{33x_1+25}+\sqrt{33x_2+25}=11\)

\(\left(\right.\sqrt{33x_1+25}+\sqrt{33x_2+25}\left.\right)^2=121\)

\(33\left(\right.x_1+x_2\left.\right)+50+2\sqrt{\left(\right.33x_1+25\left.\right)\left(\right.33x_2+25\left.\right)}=121\) (*)

Ta có VT(*) \(=33.1+50+2\sqrt{33^2x_1x_2+33.25\left(\right.x_1+x_2\left.\right)+25^2}\)

\(= 83 + 2 \sqrt{- 3 3^{2} + 2 533 + 2 5^{2}}\)

\(= 83 + 2 \sqrt{361} = 83 + 83 = 121 =\) VP.

Ta có \(\Delta_{1} , \Delta_{2} > 0\) suy ra hai phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Viète ta có:

x1​+x2​=−2024;x1​.x2​=2

x3​+x4​=−2025;x3​.x4​=2​

.(x1​+x3​)(x1​+x4​)=x12​+x1​(x3​+x4​)+x3​x4​=x12​−2025x1​+2.

Lại có \(x_1\) là nghiệm phương trình \(x^2+2024x+2=0\) nên:

\(x_1^2+2024x_1+2=0\)

\(x_1^2-2025x_1+2+4049x_1=0\)

\(x_1^2-2025x_1+2=-4049x_1\)

\(\left(\right.x_1+x_3\left.\right)\left(\right.x_2+x_4\left.\right)=-4049x_1\) (1) 

Tương tự: \(\left(\right.x_2-x_3\left.\right)\left(\right.x_2-x_4\left.\right)=x_2^2-x_2\left(\right.x_3+x_4\left.\right)+x_{3x}_4=x_2^2+2025x_2+2\)

Mà \(x_2\) là nghiệm phương trình \(x^2+2024x+2=0\) nên

\(x_2^2+2024x_2+2=0\)

\(x_2^2+2025x_2+2-x_2=0\)

\(x_2^2+2025x_2+2=x_2\)

\(\left(\right.x_2-x_3\left.\right)\left(\right.x_2-x_4\left.\right)=x_2\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\left(\right.x_1+x_3\left.\right)\left(\right.x_2+x_4\left.\right)\left(\right.x_2-x_3\left.\right)\left(\right.x_2-x_4\left.\right)=-4049x_1.x_2\)

hay \(A=-4049x_1x_2=-4049.2=-8098\).

Vậy \(A=-8098\).

a) \(\Delta^{^{\prime}}=m^2+3>0\) với mọi \(m\) nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Theo định lí Viète ta có: \(x_1+x_2=2\left(\right.m+1\left.\right)\).

Vì \(x_1\) là nghiệm của phương trình nên ta có:

\(x_1^2-2\left(\right.m+1\left.\right)x_1+2m-2=0\) hay \(x_1^2+2m-2=2\left(\right.m+1\left.\right)x_1\).

Suy ra \(B=2\left(\right.m+1\left.\right)x_1+2\left(\right.m+1\left.\right)x_2=2\left(\right.m+1\left.\right)\left(\right.x_1+x_2\left.\right)=4\left(\right.m+1\left.\right)^2\).

a) \(x^2-mx-1=0\) (1)

Ta có \(ac=-1<0\) suy ra phương trình (1) luôn có hai nghiệm \(x_1,x_2\) trái dấu.

b) Ta có \(x_1\) là nghiệm của phương trình (1) suy ra \(x_1^2-mx_1-1=0\)

hay \(x_1^2-1=mx_1\);

Ta có \(x_2\) là nghiệm của phương trình (1) suy ra \(x_2^2-mx_2-1=0\)

hay \(x_2^2-1=mx_2\).

\(A=\frac{x_1^2+x_1-1}{x_1}-\frac{x_2^2+x_2-1}{x_2}\)

\(=\frac{mx_1+x_1}{x_1}-\frac{mx_2+x_2}{x_2}\)

\(=\frac{\left(\right.m+1\left.\right)x_1}{x_1}-\frac{\left(\right.m+1\left.\right)x_2}{x_2}=0\).

Vậy \(A=0\).