Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) là:

\(x^{2} - 2 \left(\right. m - 1 \left.\right) x + m - 3 = 0\) (*)

Vì \(x_{1} ; x_{2}\) là hoành độ giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) nên \(x_{1} ; x_{2}\) là nghiệm của phương trình (*).

Do đó \(\Delta^{'} = \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} - \left(\right. m - 3 \left.\right) \geq 0\)

\(\left(\right. m - \frac{3}{2} \left.\right)^{2} + \frac{7}{4} \geq 0\) (luôn đúng)

Theo hệ thức Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m - 1 \left.\right) ; x_{1} x_{2} = m - 3\).

Khi đó: \(M = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 4 \left(\left(\right. m - 1 \left.\right)\right)^{2} - 2. \left(\right. m - 3 \left.\right) = \frac{1}{4} \left(\left(\right. 4 m - 5 \left.\right)\right)^{2} + \frac{15}{4} \geq \frac{15}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(m = \frac{5}{4}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M\) là \(\frac{15}{4}\) khi \(m = \frac{5}{4}\).

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) là:

\(x^{2} = \left(\right. 2 m + 1 \left.\right) x - 2 m\)

\(x^{2} - \left(\right. 2 m + 1 \left.\right) x + 2 m = 0\)

Ta có: \(\Delta = \left[\right. - \left(\right. 2 m + 1 \left.\right)^{2} - 4.2 m \left]\right. \&\text{nbsp}; = 4 m^{2} - 4 m + 1 = \left(\right. 2 m - 1 \left.\right)^{2}\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta > 0\)

\(2 m - 1 \neq 0\)

\(m \neq \frac{1}{2}\)

Theo hệ thức Viète ta có: \(\left{\right. & x_{1} + x_{2} = 2 m + 1 \\ & x_{1} . x_{2} = 2 m\)

Khi đó: \(y_{1} + y_{2} - x_{1} x_{2} = 1\)

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} = 1\)

\(\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 3 x_{1} x_{2} = 1\)

\(\left(\left(\right. 2 m + 1 \left.\right)\right)^{2} - 3.2 m - 1 = 0\)

\(4 m^{2} + 4 m + 1 - 6 m - 1 = 0\)

\(4 m^{2} - 2 m = 0\)

\(2 m \left(\right. 2 m - 1 \left.\right) = 0\)

\(2 m = 0\) hoặc \(2 m - 1 = 0\)

\(m = 0\) (thỏa điều kiện) hoặc \(m = \frac{1}{2}\) (không thỏa điều kiện).

Vậy với \(m = 0\) thì \(\left(\right. P \left.\right)\) cắt \(\left(\right. d \left.\right)\) tại hai điểm phân biệt thỏa điều kiện đã cho.

a)

Đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right) : y = 3 m x + 1 - m^{2}\) đi qua điểm \(A \left(\right. 1 ; - 9 \left.\right)\) thì

\(- 9 = 3 m . 1 + 1 - m^{2}\)

\(m^{2} - 3 m - 9 - 1 = 0\)

\(m^{2} - 3 m - 10 = 0\)

Phương trình có \(\Delta = \left(\right. - 3 \left.\right)^{2} + 4.10 = 49 > 0\)

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(m_{1} = \frac{3 + \sqrt{49}}{2} = 5\); \(m_{2} = \frac{3 - \sqrt{49}}{2} = - 2\).

Vậy \(m = - 2\); \(m = 5\) là các giá trị thỏa mãn bài toán

b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là:

\(x^{2} = 3 m x + 1 - m^{2}\)

\(x^{2} - 3 m x + m^{2} - 1 = 0\) (*)

Để \(\left(\right. d \left.\right)\) cắt \(\left(\right. P \left.\right)\) tại hai điểm phân biệt của hoành độ \(x_{1} ; x_{2}\) thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} ; x_{2}\)

\(\Delta > 0\)

\(\left(\right. 3 m \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. m^{2} - 1 \left.\right) > 0\)

\(9 m^{2} - 4 m^{2} + 4 > 0\)

\(5 m^{2} + 4 > 0\) với mọi \(m\)

Với mọi giá trị của \(m\) thì \(\left(\right. d \left.\right)\) luôn cắt \(\left(\right. P \left.\right)\) tại hai điểm phân biệt của hoành độ \(x_{1} ; x_{2}\)

Áp dụng hệ thức Viète với phương trình (*) ta có: \(\left{\right. & x_{1} + x_{2} = 3 m \\ & x_{1} x_{2} = m^{2} - 1\)

Theo đề bài ra ta có:

\(x_{1} + x_{2} = 2 x_{1} x_{2}\)

\(3 m = 2 \left(\right. m^{2} - 1 \left.\right)\)

\(2 m^{2} - 2 - 3 m = 0\)

\(2 m^{2} - 3 m - 2 = 0\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(m_{1} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2.2} = 2 ; m_{2} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2.2} = - \frac{1}{2}\).

Vậy \(m = - \frac{1}{2}\); \(m = 2\) để thỏa mãn yêu cầu bài toán.

a) Thay \(x = 2 , y = 1\) vào phương trình đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right)\) ta có:

\(1 = 2 m . 2 + 3 - 2 m\)

\(2 m = - 2\)

\(m = - 1\)

Vậy \(m = - 1\) thỏa mãn yêu cầu.

b) Ta có phương trình hoành độ giao điểm \(\left(\right. d \left.\right)\) và \(\left(\right. P \left.\right)\): \(x^{2} = 2 m x + 3 - 2 m\)

\(x^{2} - 2 m x + 2 m - 3 = 0\) (*)

Ta có: \(\Delta^{'} = m^{2} - 2 m + 3 = \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} + 2 > 0\) (với mọi \(m\))

Nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt thì \(\left(\right. d \left.\right)\) luôn cắt \(\left(\right. P \left.\right)\) tại hai điểm phân biệt \(A , B\).

Gọi \(x_{1} ; x_{2}\) là hoành độ các điểm \(A , B\)

Suy ra \(x_{1} ; x_{2}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình (*)

Mà \(x_{1} ; \&\text{nbsp}; x_{2}\) là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật nên (*) có hai nghiệm phân biệt dương khi

\(\left{\right. & x_{1} + x_{2} > 0 \\ & x_{1} x_{2} > 0\)

\(\left{\right. & 2 m > 0 \\ & 2 m - 3 > 0\)

\(m > \frac{3}{2}\)

Áp dụng hệ thức Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = 2 m ; x_{1} x_{2} = 2 m - 3\).

Vì \(x_{1} ; \&\text{nbsp}; x_{2}\) là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật có đường chéo bằng \(\sqrt{14}\) nên áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông ta có :

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 14\)

\(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 14\)

\(4 m^{2} - 2 \left(\right. 2 m - 3 \left.\right) = 14\)

\(2 m^{2} + 2 m - 4 = 0\)

\(m = - 1\) (ktm); \(m = 2\) (tm)

Vậy \(m = 2\) là giá trị cần tìm.

a) Vẽ parabol \(\left(\right. P \left.\right)\) là đồ thị của hàm số \(y = x^{2}\)

- Bảng giá trị của \(y\) tương ứng với giá trị của \(x\) như sau:

- Vẽ các điểm \(A \left(\right. - 2 ; 4 \left.\right) , B \left(\right. - 1 ; 1 \left.\right) , O \left(\right. 0 ; 0 \left.\right) , C \left(\right. 1 ; 1 \left.\right) , D \left(\right. 2 ; 4 \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = x^{2}\) trong mặt phẳng \(O x y\).

- Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số \(y = x^{2}\).

b) Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) là:

\(x^{2} = 2 x + 5 m\)

\(x^{2} - 2 x - 5 m = 0\).

Do \(\left(\right. d \left.\right)\) cắt \(\left(\right. P \left.\right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \(x_{1} ; x_{2}\) nên

\(\Delta^{'} > 0\)

\(1^{2} + 5 m > 0\)

\(m > - \frac{1}{5}\).

Khi đó, theo định lí Viète ta có: 

\(\left{\right. & x_{1} + x_{2} = - \frac{- 2}{1} = 2 \left(\right. 1 \left.\right) \\ & x_{1} x_{2} = \frac{- 5 m}{1} = - 5 m \left(\right. 2 \left.\right)\).

Theo đề bài ta có: \(x_{1} . x_{2}^{2} - x_{1} \left(\right. 5 m + 3 x_{2} \left.\right) = 10 115\) (3).

Từ \(\left(\right. 1 \left.\right)\) suy ra \(x_{1} = 2 - x_{2}\).

Thay vào \(\left(\right. 2 \left.\right)\) và (3), ta có: \(\left{\right. & \left(\right. 2 - x_{2} \left.\right) x_{2} = - 5 m \\ & \left(\right. 2 - x_{2} \left.\right) . x_{2}^{2} - \left(\right. 2 - x_{2} \left.\right) \left(\right. 5 m + 3 x_{2} \left.\right) = 10 115\)

\(\left{\right. & 5 m = x_{2}^{2} - 2 x_{2} \\ & \left(\right. 2 - x_{2} \left.\right) . x_{2}^{2} - \left(\right. 2 - x_{2} \left.\right) \left(\right. x_{2}^{2} - 2 x_{2} + 3 x_{2} \left.\right) = 10 115\)

\(\left{\right. & 5 m = x_{2}^{2} - 2 x_{2} \\ & \left(\right. 2 - x_{2} \left.\right) . x_{2}^{2} - \left(\right. 2 - x_{2} \left.\right) \left(\right. x_{2}^{2} + x_{2} \left.\right) = 10 115\)

\(\left{\right. & 5 m = x_{2}^{2} - 2 x_{2} \\ & 2 x_{2}^{2} - x_{2}^{3} - 2 x_{2}^{2} - 2 x_{2} + x_{2}^{3} + x_{2}^{2} = 10 115\)

\(\left{\right. & 5 m = x_{2}^{2} - 2 x_{2} \\ & x_{2}^{2} - 2 x_{2} = 10 115\).

\(5 m = 10 115\)

\(m = 2 023\) (thỏa mãn).

Vậy \(m = 2 023\) là giá trị cần tìm.

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(\right. d \left.\right)\) và \(\left(\right. P \left.\right)\) là:

\(x^{2} = - 2 x + m - 1\)

\(x^{2} + 2 x - m + 1 = 0\) (1) 

Để đường thẳng \(d\) cắt parabol \(\left(\right. P \left.\right)\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Hay \(\Delta^{'} > 0\)

\(1^{2} - 1. \left(\right. - m + 1 \left.\right) > 0\)

\(m > 0\)

Vậy \(m > 0\) thì đường thẳng \(d\) cắt parabol \(\left(\right. P \left.\right)\) tại hai điểm phân biệt \(A \left(\right. x_{1} ; y_{1} \left.\right) , B \left(\right. x_{2} ; y_{2} \left.\right)\).

Khi đó ta có \(y_{1} = x_{1}^{2} ; y_{2} = x_{2}^{2}\)

Theo định lí Viète ta có \(x_{1} + x_{2} - 2 ; x_{1} x_{2} = - m + 1\).

Ta có \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left(\right. x - 1 + x_{2} \left.\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} = \left(\right. - 2 \left.\right)^{2} - 2 \left(\right. - m + 1 \left.\right) = 2 m + 2\)

Theo bài ra ta có \(\left(\right. y_{1} + y_{2} \left.\right)^{2} = 110 - x_{1}^{2} - x_{2}^{2}\)

\(\left(\right. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \left.\right)^{2} = 110 - \left(\right. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \left.\right)\)

\(\left(\right. 2 m + 2 \left.\right)^{2} = 110 - \left(\right. 2 m + 2 \left.\right)\)

\(2 m^{2} + 5 m - 52 = 0\)

Ta có \(\Delta = 5^{2} - 4.1. \left(\right. - 52 \left.\right) = 441\)

Do \(\Delta > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(m_{1} = \frac{- 5 + 21}{4} = 4\) (thoả mãn điều kiện \(m > 0\))

\(m_{2} = \frac{- 5 - 21}{4} = \frac{- 13}{2}\) (không thoả mãn điều kiện \(m > 0\))

Vậy \(m = 4\) thì đường thẳng \(d\) cắt parabol \(\left(\right. P \left.\right)\) tại hai điểm phân biệt \(A \left(\right. x_{1} ; y_{1} \left.\right)\) và \(B \left(\right. x_{2} ; y_{2} \left.\right)\) thỏa mãn yêu cầu.

a) Với \(m = 1\), đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right)\) có dạng \(y = 3 x - 3 + 1\) hay \(y = 3 x - 2\).

Khi đó, phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right)\) và parabol \(\left(\right. P \left.\right)\) là: \(x^{2} = 3 x - 2\)

\(x^{2} - 3 x + 2 = 0\)

Do \(a + b + c = 1 + \left(\right. - 3 \left.\right) + 2 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm \(x_{1} = 1 ;\) \(x_{2} = 2\).

Với \(x = x_{1} = 1\) thì \(y = 1^{2} = 1\)

Với \(x = x_{2} = 2\) thì \(y = 2^{2} = 4\)

Vậy với \(m = 1\) thì toạ độ giao điểm của \(\left(\right. d \left.\right)\) và \(\left(\right. P \left.\right)\) là \(\left(\right. 1 ; 1 \left.\right) ; \left(\right. 2 ; 4 \left.\right)\).

b) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right)\) và parabol \(\left(\right. P \left.\right)\) là: \(x^{2} = 3 m x - 3 m + 1\)

\(x^{2} - 3 m x + 3 m - 1 = 0\) (*)

\(\Delta = \left(\right. - 3 m \left.\right)^{2} - 4.1. \left(\right. 3 m - 1 \left.\right) = 9 m^{2} - 12 m + 4 = \left(\right. 3 m \left.\right)^{2} - 2.3 m . 2 + 2^{2} = \left(\right. 3 m - 2 \left.\right)^{2}\)

Để \(\left(\right. d \left.\right)\) cắt \(\left(\right. P \left.\right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành \(x_{1}\); \(x_{2}\) thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt \(x_{1}\); \(x_{2}\)

\(\Delta > 0\)

\(\left(\right. 3 m - 2 \left.\right)^{2} > 0\)

\(3 m - 2 \neq 0\)

\(3 m \neq 2\)

\(m \neq \frac{2}{3}\) (**)

Khi đó, theo hệ thức Viète \(\begin{cases}{x_1+x_2=3m\left(\right.2\left.\right)}\\ x_1.x_2=3m-1\left(\right.3\left.\right)\end{cases}\)

Ta có \(x_{1} + 2 x_{2} = 11\) \(\left(\right. 4 \left.\right)\)

Từ \(\left(\right. 2 \left.\right)\); \(\left(\right. 4 \left.\right)\) ta có hệ phương trình \(\left{\right. & x_{1} + x_{2} = 3 m \\ & x_{1} + 2 x_{2} = 11 \\ & x_{2} = 11 - 3 m \\ & x_{1} + 11 - 3 m = 3 m\)

\(\left{\right. & x_{2} = 11 - 3 m \\ & x_{1} = 3 m + 3 m - 11\)

\(\left{\right. & x_{1} = 6 m - 11 \\ & x_{2} = 11 - 3 m\)

Thế \(x_{1} = 6 m - 11 ; x_{2} = 11 - 3 m\) vào \(\left(\right. 3 \left.\right)\) ta được:

\(\left(\right. 6 m - 11 \left.\right) . \left(\right. 11 - 3 m \left.\right) = 3 m - 1\)

\(66 m - 18 m^{2} - 121 + 33 m - 3 m + 1 = 0\)

\(- 18 m^{2} + 96 m - 120 = 0\)

\(18 m^{2} - 96 m + 120 = 0\)

\(3 m^{2} - 16 m + 20 = 0\) (5) 

\(\Delta^{'} = \left(\right. - 8 \left.\right)^{2} - 3.20 = 64 - 60 = 4 > 0\).

Vì \(\Delta^{'} > 0\) nên phương trình (5) có hai nghiệm phân biệt:

\(m_{1} = \frac{- \left(\right. - 8 \left.\right) + \sqrt{4}}{3} = \frac{10}{3}\) thỏa mãn (**) 

\(m_{2} = \frac{- \left(\right. - 8 \left.\right) - \sqrt{4}}{3} = 2\) thỏa mãn (**)

Vậy \(m \in \left{\right. 2 ; \frac{10}{3} \left.\right}\) thoả mãn yêu cầu.

a) Ta có: \(\Delta^{'} = m^{2} - \left(\right. m - 2 \left.\right) = m^{2} - m + 2 = \left(\right. m - \frac{1}{2} \left.\right)^{2} + \frac{7}{4} > 0\) với mọi \(m\).

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

b) Theo định lí Viète, ta có: \(x_{1} + x_{2} = 2 m ; x_{1} . x_{2} = m - 2\)

Do \(x_{2}\) là nghiệm của (1) nên \(x_{2}^{2} - 2 m x_{2} + m - 2 = 0\)

\(x_{2}^{2} = 2 m x_{2} - m + 2\)

Do đó \(2 m x_{1} + x_{2}^{2} - 6 x_{1} x_{2} - m + 2\)

\(= 2 m \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) - 6 x_{1} x_{2} - 2 m + 4\)

\(= 2 m . 2 m - 6 \left(\right. m - 2 \left.\right) - 2 m + 4\)

\(= 4 m^{2} - 8 m + 16 = 4 \left(\left(\right. m - 1 \left.\right)\right)^{2} + 12 \geq 12\).

Suy ra \(M \geq \frac{- 24}{12} = - 2\).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(m = 1\).

a) Phương trình có nghiệm khi \(\Delta^{'} = 1 - \left(\right. 2 - m \left.\right) = m - 1 \geq 0\)

\(m \geq 1\)

b) Với \(m \geq 1\) ta có \(x_{1} + x_{2} = 2 ; x_{1} . x_{2} = 2 - m\) (định lí Viète).

Khi đó \(A = x_{1}^{2} x_{2}^{2} + 3 \left(\right. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \left.\right) - 4\)

\(= x_{1}^{2} x_{2}^{2} + 3 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 6 x_{1} x_{2} - 4\)

\(= \left(\left(\right. 2 - m \left.\right)\right)^{2} + 3.2^{2} - 6 \left(\right. 2 - m \left.\right) - 4\)

\(= \left(\left(\right. 2 - m \left.\right)\right)^{2} - 6 \left(\right. 2 - m \left.\right) + 9 - 1\)

\(= \left(\left(\right. 2 - m - 3 \left.\right)\right)^{2} - 1 = \left(\left(\right. m + 1 \left.\right)\right)^{2} - 1\)

Do \(m \geq 1\) nên \(\left(\right. m + 1 \left.\right)^{2} \geq 2^{2} = 4\) hay \(A \geq 4 - 1 = 3\)

Dấu bằng xảy ra khi \(m = 1\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A\) bằng \(3\) đạt được khi \(m = 1\).

a) Xét \(a . c = - m^{2} + m - 2 = - \left(\right. m - \frac{1}{2} \left.\right)^{2} - \frac{3}{4} < 0 ,\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\).

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi \(m\).

b) Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là \(x_{1} , x_{2}\).

Theo câu a) thì \(x_{1} x_{2} \neq 0\), do đó \(A\) được xác định với mọi \(x_{1} , x_{2}\).

Do \(x_{1} , x_{2}\) trái dấu nên \(\left(\right. \frac{x_{1}}{x_{2}} \left.\right)^{3} = - t\) với \(t > 0\), suy ra \(\left(\right. \frac{x_{2}}{x_{1}} \left.\right)^{3} < 0\), suy ra \(A < 0\)

Đặt \(\left(\right. \frac{x_{1}}{x_{2}} \left.\right)^{3} = - t\), với \(t > 0\), suy ra \(\left(\right. \frac{x_{2}}{x_{1}} \left.\right)^{3} = - \frac{1}{t}\).

Khi đó \(A = - t - \frac{1}{t}\) mang giá trị âm và \(A\) đạt giá trị lớn nhất khi \(- A\) có giá trị nhỏ nhất.

Ta có \(- A = t + \frac{1}{t} \geq 2\), suy ra \(A \leq - 2\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(t = \frac{1}{t}\)

\(t^{2} = 1\)

\(t = \pm 1\)

Vì \(t > 0\) nên \(t = 1\)

Với \(t = 1\), ta có \(\left(\right. \frac{x_{1}}{x_{2}} \left.\right)^{3} = - 1\)

\(\frac{x_{1}}{x_{2}} = - 1\)

\(x_{1} = - x_{2}\)

\(x_{1} + x_{2} = 0\)

\(- \left(\right. m - 1 \left.\right) = 0\)

\(m = 1\).

Vậy với \(m = 1\) thì biểu thức \(A\) đạt giá trị lớn nhất là \(- 2\).