Yêu cầu $A \subset \mathrm{C}_{\mathbb{R}}B$ nghĩa là mọi phần tử thuộc $A$ đều phải thuộc $\mathrm{C}_{\mathbb{R}}B$.

Ta có:

• $A = (-\infty; m)$
• $\mathrm{C}_{\mathbb{R}}B = (-\infty; 3m+1) \cup (3m+2; +\infty)$

Để $A \subset \mathrm{C}_{\mathbb{R}}B$, ta cần tập $A$ phải nằm hoàn toàn trong một trong hai khoảng của $\mathrm{C}_{\mathbb{R}}B$, hoặc nằm "vắt ngang" qua chúng (nhưng vì $A$ là nửa đường thẳng mở về $-\infty$ nên trường hợp này không xảy ra).

$A \subset \mathrm{C}_{\mathbb{R}}B \iff \text{mọi } x \in (-\infty; m) \text{ thì } x \in (-\infty; 3m+1) \cup (3m+2; +\infty)$.

Xem xét vị trí của $A$: $(-\infty; m)$.

• Nếu $A$ nằm hoàn toàn trong $(-\infty; 3m+1)$: $$A \subset (-\infty; 3m+1) \iff m \le 3m+1$$ $$\iff -1 \le 2m \iff m \ge -\frac{1}{2}$$(Vì $m$ là cận trên của $A$, nên $m$ chỉ cần $\le$ cận trên của $(-\infty; 3m+1)$ là $3m+1$).
• $A$ không thể nằm hoàn toàn trong $(3m+2; +\infty)$ vì $A$ là nửa đường thẳng mở về $-\infty$.

Vậy, điều kiện để $A \subset \mathrm{C}_{\mathbb{R}}B$ là $m \ge -\frac{1}{2}$.

2. Tìm $m$ để $\mathrm{C}_{\mathbb{R}}A \cap B \neq \emptyset$

Yêu cầu $\mathrm{C}_{\mathbb{R}}A \cap B \neq \emptyset$ nghĩa là hai tập hợp này phải có phần tử chung.

Ta có:

• $\mathrm{C}_{\mathbb{R}}A = [m; +\infty)$
• $B = [3m+1; 3m+2]$

Để hai tập hợp này có giao khác rỗng, giá trị nhỏ nhất của một tập phải $\le$ giá trị lớn nhất của tập còn lại.

Vì $B$ là một đoạn hữu hạn, ta chỉ cần $\mathrm{C}_{\mathbb{R}}A$ "chạm" vào hoặc "chồng lấn" với $B$.

Điều kiện $\mathrm{C}_{\mathbb{R}}A \cap B \neq \emptyset$ xảy ra khi và chỉ khi:

Vì $\mathrm{C}_{\mathbb{R}}A = [m; +\infty)$ không có cận trên hữu hạn, nên ta chỉ xét điều kiện thứ nhất:

Vậy, điều kiện để $\mathrm{C}_{\mathbb{R}}A \cap B \neq \emptyset$ là $m \ge -1$.