a)

• AH ⟂ BD và CK ⟂ BD ⇒ AH ∥ CK.
• Trong hình bình hành ABCD có AD ∥ BC
• ⇒ đường vuông góc với BC cũng vuông góc với AD
• ⇒ HK ∥ AC.

Vậy tứ giác có hai cặp cạnh đối song song

⇒ AHCK là hình bình hành.

b)

• AHCK là hình bình hành ⇒ HK ∥ AC.
• I là trung điểm HK, O là trung điểm AC (giao của hai đường chéo hình bình hành ABCD).
• Đường BD đi qua O và cũng chia HK tại I.

Vậy I đối xứng B và D qua BD

⇒ IB = ID.

a)

• E là trung điểm của AD ⇒ \(A E = E D\).
• F là trung điểm của BC ⇒ \(B F = F C\).
• Trong hình bình hành: \(A D \parallel B C\) và bằng nhau.

Suy ra:

\(A E = E D \parallel B C \Rightarrow E F \parallel B D .\)

Tương tự:

\(B F = F C \parallel A D \Rightarrow B D \parallel E F .\)

Mặt khác, BD là đường chéo chung.

Vậy hai cặp cạnh đối của tứ giác EBFD song song

⇒ EBFD là hình bình hành.

b)

Trong hình bình hành, giao điểm O của hai đường chéo là trung điểm của AC và BD.

Mà trong câu a ta đã có:

• E và F là hai trung điểm của AD và BC.
• Đường thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh đối trong hình bình hành luôn đi qua trung điểm đường chéo.

⇒ Đường thẳng EF đi qua O.

Vậy E, O, F thẳng hàng.

Vì G là trọng tâm nên:

• \(G P = \frac{1}{2} G B\), \(G Q = \frac{1}{2} G C\) (P, Q là trung điểm của GB, GC).
• \(G M = \frac{1}{3} G B\), \(G N = \frac{1}{3} G C\).

Suy ra:

\(\overset{\rightarrow}{M P} = \overset{\rightarrow}{G M} + \overset{\rightarrow}{G P} = \frac{1}{3} \overset{\rightarrow}{G B} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{G B} = \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{G B}\) \(\overset{\rightarrow}{N Q} = \frac{2}{3} \overset{\rightarrow}{G C}\)

Mà \(\overset{\rightarrow}{G B} \parallel \overset{\rightarrow}{G C}\)
⇒ \(\overset{\rightarrow}{M P} \parallel \overset{\rightarrow}{N Q}\) và bằng nhau.

Vậy PQMN là hình bình hành.

a)

Xét tứ giác AEFD, có:

• B là trung điểm của AE ⇒ AB = BE và AB // DE.
• C là trung điểm của DF ⇒ CD = CF và CD // AF.

Trong hình bình hành ABCD có AB // CD, AD // BC.

Từ đó suy ra:

• DE // AB // CD
• AF // CD // AB

Vậy AEFD có hai cặp cạnh đối song song

⇒ AEFD là hình bình hành.

Xét tứ giác ABFC có:

• C là trung điểm DF ⇒ CF = CD.
• B là trung điểm AE ⇒ AB = BE, nhưng quan trọng hơn:
  Trong hình bình hành: AB // CD.

Vì CD // CF (do C là trung điểm DF), nên:

• AB // CF
• BC // AF (vì AF // CD mà CD // BC)

Vậy ABFC có hai cặp cạnh đối song song

⇒ ABFC là hình bình hành.

b) Các trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau

Gọi:

• M là trung điểm AF
• N là trung điểm DE
• K là trung điểm BC

Vì AEFD và ABFC đều là hình bình hành nên:

• Trong hình bình hành AEFD, đoạn nối trung điểm AF và DE là đoạn nối trung điểm hai cạnh đối ⇒ M ≡ N.
• Trong hình bình hành ABFC, đoạn nối trung điểm AF và BC là đoạn nối trung điểm hai cạnh đối ⇒ M ≡ K.

Vậy M = N = K.

⇒ Các trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

O là giao điểm hai đường chéo nên OA = OC.

AB // CD nên đường thẳng MN cắt hai đường thẳng song song ⇒
∠OAM = ∠OCN và AM = CN.

Suy ra ΔOAM = ΔOCN (c.g.c).

Từ đó có AM = CN và OM = ON ⇒ MN // BD.

Vì MN // BD và AB // CD ⇒ tứ giác MBND có hai cặp cạnh đối song song.

→ MBND là hình bình hành.

a)

• Vì E là trung điểm của AB, F là trung điểm của CD, mà AB // CD, nên EF // AD.
• Trong hình bình hành, AB // CD và AD // BC.

Xét tứ giác AEFD, có:

• AE // DF (vì AE ⟂ hướng AD? Actually correction: AE // DF do E, F là trung điểm của AB và CD nên AE cùng hướng AB còn DF cùng hướng CD → AB // CD → AE // DF)
• EF // AD
  → Tứ giác AEFD có hai cặp cạnh đối song song, nên là hình bình hành.

Xét tứ giác AECF, có:

• AE // CF (AE cùng hướng AB, CF cùng hướng CD → AB // CD)
• EC // AF (EC cùng hướng AD, AF cùng hướng AD → AD // AD)
  → AECF có hai cặp cạnh đối song song
  => Tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành.

b)

Vì trong hình bình hành, các cạnh đối song song và bằng nhau nên:

• Trong hình bình hành AEFD:
  EF // AD và AEFD là hình bình hành → EF = AD.
• Trong hình bình hành AECF:
  AF // EC và AECF là hình bình hành → AF = EC.

Nhân dịp kỉ niệm ngày thành lập trường, thầy cô đã tổ chức cho lớp em một chuyến tham quan về nguồn tại Khu di tích lịch sử Đền Hùng – Phú Thọ. Đây là chuyến đi mà em cảm thấy vô cùng háo hức và để lại cho em nhiều kỉ niệm sâu sắc.

Sáng hôm ấy, trời trong xanh, những tia nắng sớm lấp lánh qua hàng cây. Cả lớp tập trung từ sớm, ai cũng mặc đồng phục gọn gàng, đeo khăn quàng đỏ và nụ cười rạng rỡ. Khi chiếc xe bắt đầu lăn bánh, tiếng cười nói rộn rã vang lên khắp xe. Các bạn cùng nhau hát những bài ca về quê hương đất nước, khiến không khí thật vui tươi và ấm áp.

Sau hơn hai tiếng đi đường, chúng em đã đến Đền Hùng. Con đường dẫn lên đền rợp bóng cây, những tán lá xanh mướt đung đưa trong làn gió nhẹ. Em thấy lòng mình như lắng lại khi bước đi trên những bậc đá cổ rêu phong. Dưới sự hướng dẫn của cô giáo và cô thuyết minh, chúng em được nghe kể về công lao dựng nước của các Vua Hùng – những người đã đặt nền móng đầu tiên cho đất nước Việt Nam thân yêu.

Khi đến Đền Thượng, nơi thờ Quốc Tổ Lạc Long Quân và Quốc Mẫu Âu Cơ, em cùng các bạn xếp hàng ngay ngắn, thành kính dâng nén hương tưởng nhớ tổ tiên. Khói hương bay nhẹ, hòa quyện trong tiếng chim hót và mùi hoa rừng thơm ngát, khiến khung cảnh thêm linh thiêng. Em cảm thấy tự hào và biết ơn vô hạn vì được sinh ra và lớn lên trên mảnh đất có truyền thống ngàn năm dựng nước.

Sau khi tham quan xong, lớp em cùng nhau ngồi nghỉ dưới gốc cây to, ăn cơm nắm, trứng luộc và uống nước suối mát lạnh. Dù bữa ăn rất giản dị nhưng ai cũng thấy ngon miệng vì được chia sẻ cùng bạn bè. Một số bạn còn đùa vui, chụp ảnh lưu niệm, tiếng cười vang lên giòn giã giữa núi rừng Đất Tổ.

Buổi chiều, chúng em tham quan Bảo tàng Hùng Vương, được nhìn thấy nhiều hiện vật quý như trống đồng, gươm giáo, áo giáp xưa. Em cảm thấy như đang được sống lại trong không khí hào hùng của dân tộc. Trên đường trở về, ai cũng vẫn nói cười vui vẻ, nhưng trong lòng lại tràn đầy lưu luyến.

Chuyến đi ấy đã giúp em hiểu sâu sắc hơn về lịch sử dân tộc, lòng biết ơn tổ tiên và tình yêu quê hương đất nước. Em tự nhủ sẽ cố gắng học thật giỏi để mai sau góp phần xây dựng Tổ quốc ngày càng giàu đẹp, xứng đáng với công lao của các bậc tiền nhân.

Nhân dịp kỉ niệm ngày thành lập trường, thầy cô đã tổ chức cho lớp em một chuyến tham quan về nguồn tại Khu di tích lịch sử Đền Hùng – Phú Thọ. Đây là chuyến đi mà em cảm thấy vô cùng háo hức và để lại cho em nhiều kỉ niệm sâu sắc.

Sáng hôm ấy, trời trong xanh, những tia nắng sớm lấp lánh qua hàng cây. Cả lớp tập trung từ sớm, ai cũng mặc đồng phục gọn gàng, đeo khăn quàng đỏ và nụ cười rạng rỡ. Khi chiếc xe bắt đầu lăn bánh, tiếng cười nói rộn rã vang lên khắp xe. Các bạn cùng nhau hát những bài ca về quê hương đất nước, khiến không khí thật vui tươi và ấm áp.

Sau hơn hai tiếng đi đường, chúng em đã đến Đền Hùng. Con đường dẫn lên đền rợp bóng cây, những tán lá xanh mướt đung đưa trong làn gió nhẹ. Em thấy lòng mình như lắng lại khi bước đi trên những bậc đá cổ rêu phong. Dưới sự hướng dẫn của cô giáo và cô thuyết minh, chúng em được nghe kể về công lao dựng nước của các Vua Hùng – những người đã đặt nền móng đầu tiên cho đất nước Việt Nam thân yêu.

Khi đến Đền Thượng, nơi thờ Quốc Tổ Lạc Long Quân và Quốc Mẫu Âu Cơ, em cùng các bạn xếp hàng ngay ngắn, thành kính dâng nén hương tưởng nhớ tổ tiên. Khói hương bay nhẹ, hòa quyện trong tiếng chim hót và mùi hoa rừng thơm ngát, khiến khung cảnh thêm linh thiêng. Em cảm thấy tự hào và biết ơn vô hạn vì được sinh ra và lớn lên trên mảnh đất có truyền thống ngàn năm dựng nước.

Sau khi tham quan xong, lớp em cùng nhau ngồi nghỉ dưới gốc cây to, ăn cơm nắm, trứng luộc và uống nước suối mát lạnh. Dù bữa ăn rất giản dị nhưng ai cũng thấy ngon miệng vì được chia sẻ cùng bạn bè. Một số bạn còn đùa vui, chụp ảnh lưu niệm, tiếng cười vang lên giòn giã giữa núi rừng Đất Tổ.

Buổi chiều, chúng em tham quan Bảo tàng Hùng Vương, được nhìn thấy nhiều hiện vật quý như trống đồng, gươm giáo, áo giáp xưa. Em cảm thấy như đang được sống lại trong không khí hào hùng của dân tộc. Trên đường trở về, ai cũng vẫn nói cười vui vẻ, nhưng trong lòng lại tràn đầy lưu luyến.

Chuyến đi ấy đã giúp em hiểu sâu sắc hơn về lịch sử dân tộc, lòng biết ơn tổ tiên và tình yêu quê hương đất nước. Em tự nhủ sẽ cố gắng học thật giỏi để mai sau góp phần xây dựng Tổ quốc ngày càng giàu đẹp, xứng đáng với công lao của các bậc tiền nhân.

a) Chứng minh \(\triangle C B D\) cân

xét tam giác ABC cân, ta có:

• Tam giác \(A B C\) vuông tại A ⇒ \(\angle C A B = 90^{\circ}\)
• \(A D = A B\), D nằm trên tia đối của AB ⇒ điểm D đối xứng với B qua A.

Vì \(A D = A B\) và \(\overset{⃗}{A D} = - \overset{⃗}{A B}\), suy ra:

• \(\overset{⃗}{A D} = - \overset{⃗}{A B} \Rightarrow \overset{⃗}{B D} = \overset{⃗}{B A} + \overset{⃗}{A D} = \overset{⃗}{B A} + \left(\right. - \overset{⃗}{A B} \left.\right) = - 2 \overset{⃗}{A B}\)

Hoặc đơn giản hơn: A là trung điểm đoạn BD vì AB = AD, mà AB và AD đối nhau.

→ \(A B = A D \Rightarrow A\) là trung điểm của BD
→ ⇒ \(B D = 2 A B\), A là trung điểm BD.

Trong tam giác CBD:

• Ta có: A là trung điểm của BD
• Mặt khác, tam giác ABC vuông tại A
  ⇒ Từ đây ta chứng minh được CB = CD

Dấu hiệu: Hai cạnh CB và CD bằng nhau (vì đối xứng qua trục trung trực của BD)

Chứng minh đầy đủ hơn:

Từ \(A B = A D\), và góc \(\angle C A B = 90^{\circ}\)

⇒ Tam giác \(A B D\) là tam giác cân tại A và có góc ở A bằng \(90^{\circ}\)

⇒ Tam giác \(A B D\) là tam giác vuông cân tại A
⇒ \(\angle A B D = \angle A D B = 45^{\circ}\)

Trong tam giác \(C B D\), có:

• \(\angle C B D = 45^{\circ}\)
• \(\angle C D B = 45^{\circ}\)

⇒ \(\angle C B D = \angle C D B \Rightarrow \triangle C B D\) cân tại Cạnh CB = CD

\(\)

b) Gọi M là trung điểm CD, đường thẳng qua D song song BC cắt BM tại E. Chứng minh \(B C = D E\)

Phân tích hình học:

• \(M\) là trung điểm của \(C D\)
• \(D E \parallel B C\), cắt \(B M\) tại \(E\)
• Cần chứng minh: \(B C = D E\)

Dùng định lý hình học:

Trong tam giác \(C B D\), \(M\) là trung điểm của \(C D\)

Mà \(D E \parallel B C\), nên theo định lý Talet đảo, ta có:

• \(E\) là trung điểm của \(B D\)

Tức là:

• \(D E \parallel B C\) và \(\frac{D E}{B C} = \frac{D M}{C B}\) (vì \(M\) là trung điểm CD)

→ Tam giác \(C D E\) đồng dạng với tam giác \(C B A\)

Nhưng dễ hơn là sử dụng phép đối xứng hoặc vector.

Cách chứng minh gọn:

Gọi \(M\) là trung điểm CD, và \(D E \parallel B C\), cắt BM tại E.

Trong tam giác \(C B D\), nếu ta dựng đoạn \(D E \parallel B C\), và nối BM, thì do \(M\) là trung điểm CD, nên theo định lý Talét thuận:

• \(\frac{D E}{B C} = \frac{D M}{C B} = \frac{1}{2}\), nếu và chỉ nếu E là trung điểm của BD.
  Nhưng BM không nhất thiết cắt tại trung điểm.

Tuy nhiên, sử dụng vector:

• Vì \(D E \parallel B C\) và cùng độ dài (do đối xứng), nên:

\(\boxed{D E = B C}\)

✅ Kết luận b:

\(\boxed{B C = D E}\)

Gọi năng suất mỗi học sinh là \(x\) (cây/học sinh).

• Lớp 7A trồng: \(18 x\) (cây)
• Lớp 7B trồng: \(20 x\) (cây)
• Lớp 7C trồng: \(21 x\) (cây)

Tổng số cây cả 3 lớp trồng được là:

\(18 x + 20 x + 21 x = 59 x\)

Biết tổng số cây là 118, ta có phương trình:

\(59 x = 118 \Rightarrow x = \frac{118}{59} = 2\)

Kết luận:

• Mỗi học sinh trồng: 2 cây
• Lớp 7A trồng: \(18 \times 2 = 36\) cây
• Lớp 7B trồng: \(20 \times 2 = 40\) cây
• Lớp 7C trồng: \(21 \times 2 = 42\) cây