a) Do ABCD là hình bình hành

\(\Rightarrow A D = B C\) và \(A D\) // \(B C\)

Do \(A D\) // \(B C\) (cmt)

\(\Rightarrow \hat{A D H} = \hat{C B K}\) (so le trong)

Xét hai tam giác vuông: \(\Delta A D H\) và \(\Delta C B K\) có:

\(A D = B C\) (cmt)

\(\hat{A D H} = \hat{C B K}\) (cmt)

\(\Rightarrow \Delta A D H = \Delta C B K\) (cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow A H = C K\) (hai cạnh tương ứng)

Do \(A H \bot B D\) (gt)

\(C K \bot B D\) (gt)

\(\Rightarrow A H\) // \(C K\)

Xét tứ giác AHCK có:

\(A H\) // \(C K\) (cmt)

\(A H = C K\) (cmt)

\(\Rightarrow A H C K\) là hình bình hành

b) Do AHCK là hình bình hành (cmt)

\(I\) là trung điểm của HK (gt)

\(\Rightarrow I\) là trung điểm của AC

Do ABCD là hình bình hành (gt)

\(I\) là trung điểm của AC (cmt)

\(\Rightarrow I\) là trung điểm của BD

\(\Rightarrow I B = I D\)

a) Ta có : t/g ABCD là hbh 

Suy ra : AD=BC

Mà E là trung điểm của AD ; F là trung điểm của BC

Suy ra : AE=DE=BF=CF

Xét tứ giác EBFD có : BF//ED ( BC//AD )

                                    BF=ED ( cmt )

Suy ra : t/g EBFD là hbh.

b) Từ O là giao điểm của hai đường chéo của hbh ABCD hay là giao điểm của AC và BD.

Suy ra : O là trung điểm của BD hay 3 điểm B ; O ; D thẳng hàng 

Ta có : t/g EBFD là hbh ( cmt ) 

Suy ra : BD cắt EF tại trung điểm của mỗi đường .

Mà O là trung điểm của BD 

Suy ra : O cũng là trung điểm của EF.

suy ra : 3 điểm F;O;E thẳng hàng.

A B C G M N P Q

Xét tg ABG có

NA=NC; PB=PG => PN là đường trung bình của tg ABG

\(\Rightarrow P N = \frac{1}{2} A G\) (1)

=> PN//AG (2)

Xét tg ACG có

MA=MC; QC=QG => QN là đường trung bình của tg ACG

\(\Rightarrow Q M = \frac{1}{2} A G\) (3)

=> QM//AG (4)

Từ (2) và (4) => PN//QM

Từ (1) và (3) \(\Rightarrow P N = Q M = \frac{1}{2} A G\)

=> PQMN là hình bình hành (Tứ giác có một cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O.

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

Mà O là trung điểm của AF.

Suy ra O cũng là trung điểm của BC.

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

A B C D O M N

Xét tg OAM và tg OCN có

\(\hat{B A C} = \hat{A C D}\) (góc so le trong)

OA=OC (trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

\(\hat{A O M} = \hat{C O N}\) (góc đối đỉnh)

=> tg OAM = tg OCN (g.c.g) => AM=CN

Ta có

AB=CD (cạnh đối hbh) => AB-AM=CD-CN => MB=ND (1)

Ta có

AB//CD (cạnh đối hbh) => MB//ND (2)

Từ (1) và (2) => MBND là hình bình hành (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD.

Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE = BE = 1221​AB, CF = DF = 1221​CD

Do đó AE = BE = CF = DF.

Xét tứ giác AEFD có:

     AE // DF (vì AB // CD);

     AE = DF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Xét tứ giác AECF có:

     AE // CF (vì AB // CD);

     AE = CF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AECF là hình bình hành.

Vậy hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành.

b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD.

Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC.

Vậy EF = AD, AF = EC.

Dưới đây là **bài làm tự luận (7 điểm)** đầy đủ và trình bày rõ ràng cho hai bài tập:

## **Bài 1**

**1.** Một hộp có 10 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ ghi một trong các số 0, 1, 2, 3, ..., 9. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ trong hộp.

### a) Viết tập hợp gồm các kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên thẻ được rút ra:

Vì mỗi thẻ ghi một số từ 0 đến 9, nên tập hợp là:

` A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} `

### b) Liệt kê các kết quả có lợi cho biến cố : “Số xuất hiện trên thẻ được rút là số nguyên tố.”

Các số nguyên tố trong khoảng từ 0 đến 9 là: 2, 3, 5, 7. => Tập hợp các kết quả có lợi:

` B = \{2, 3, 5, 7\} `

**Tính xác suất của biến cố :**

Tổng số kết quả có thể xảy ra là 10 (vì có 10 thẻ). Số kết quả có lợi là 4. Vậy xác suất:

` P(B) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} `

## **Bài 2**

Dựa vào biểu đồ số lượt khách đến cửa hàng X:

- Tại 9 giờ: 20 lượt

- Tại 11 giờ: 50 lượt

- Tại 13 giờ: 35 lượt

- Tại 15 giờ: 30 lượt

- Tại 17 giờ: 45 lượt

### a) Cửa hàng đông khách nhất và vắng khách nhất:

- **Đông khách nhất** vào **11 giờ** với **50 lượt khách**

- **Vắng khách nhất** vào **9 giờ** với **20 lượt khách**

### b) Số lượt khách đến cửa hàng từ 15 giờ đến 17 giờ tăng hay giảm bao nhiêu lượt?

- Lúc 15 giờ: 30 lượt

- Lúc 17 giờ: 45 lượt

Vì 45 > 30 nên **số lượt khách đã tăng**:

` 45 - 30 = 15 \text{ lượt khách} `

## **Kết luận:**

-

**Bài 1:**

- a)

- b)

-

**Bài 2:**

- a) Đông khách nhất vào **11h**, vắng khách nhất vào **9h**

- b) Số lượt khách **tăng 15 lượt** từ 15h đến 17h

Ta có các đa thức:

a) Tính

P(x) = (x^3 - 2x^2 + 5x - 3) + (-x^3 + 2x^2 - 3x + 5)

Cộng từng hạng tử đồng bậc:

P(x) = (x^3 - x^3) + (-2x^2 + 2x^2) + (5x - 3x) + (-3 + 5)

P(x) = 0 + 0 + 2x + 2 = 2x + 2 ]

b) Tính

Ta nhân A(x) = x^3 -

Dưới đây là lời giải chi tiết cho cả hai bài:

Bài 1

1. Một hộp có 10 thẻ, mỗi thẻ ghi một trong các số từ 0 đến 9.
Vì ghi “mỗi thẻ ghi một trong các số 0,1,2,3,…,9” và có 10 thẻ, nên mỗi số xuất hiện một lần.

a) Tập hợp các kết quả có thể xảy ra:

b) Các kết quả có lợi cho biến cố : “Số xuất hiện là số nguyên tố”

Các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng 9 là: 2, 3, 5, 7.
=> Các kết quả có lợi là: {2, 3, 5, 7}

Xác suất của biến cố là:

P(B) = \frac{\text{số kết quả có lợi}}{\text{tổng số kết quả}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}

Bài 2

(Do không có biểu đồ đính kèm, phần này sẽ giả định hoặc cần bạn cung cấp hình ảnh biểu đồ. Tuy nhiên, mình có thể hướng dẫn cách làm:)

a) Đọc biểu đồ cột, tìm:

• Thời điểm đông khách nhất là khi cột cao nhất.
• Thời điểm vắng khách nhất là khi cột thấp nhất.

b) Tìm số lượt khách tại 15 giờ và tại 17 giờ.

• Nếu lượt khách tăng: Lấy số lượt khách lúc 17h trừ 15h, kết quả dương.
• Nếu lượt khách giảm: Kết quả sẽ là số âm (hoặc ghi rõ “giảm”).

 Tình yêu thương là biểu hiện cao đẹp nhất cho mối quan hệ giữa người với người trong cuộc sống. Tình yêu thương là một khái niệm trừu tượng của thế giới tinh thần, được hiểu là tình cảm yêu mến, thương cảm, gắn bó sâu sắc giữa người với người, thậm chí là giữa người với động vật, thực vật,… Tình yêu thương là tình cảm xuất phát từ trái tim, được biểu hiện phong phú, đa dạng thông qua hành động, cử chỉ, lời nói của con người như đồng cảm, giúp đỡ, đoàn kết, kính trọng,.... Đó có thể là tình yêu thương giữa người người thân quen, bạn bè, thầy cô,… cũng có thể là tình yêu thương giữa những con người xa lạ, những con người cùng khổ, cùng đồng cảm với nhau trong cuộc sống. Trong cuộc sống, tình yêu thương giúp con người trở nên gần gũi, thấu hiểu và gắn bó với nhau hơn, từ đó xây dựng một xã hội văn minh, giàu giá trị nhân văn nhân đạo. Người sống có tình yêu thương sẽ được mọi người yêu quý, kính trọng và giúp đỡ. Ngược lại, nếu ta sống vô cảm, ích kỉ, không có tình thương thì sẽ nhận lại những hậu quả thích đáng, đó là sự xa lánh, lạnh nhạt của những người xung quanh. Vì vậy, mỗi chúng ta cần hiểu rõ giá trị của tình yêu thương, bởi: “Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình”.