Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất về tam giác bằng nhau và tính chất đối xứng của hình bình hành.

a) Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành

Xét hai tam giác vuông $\Delta AHD$ và $\Delta CKB$:

• $AD = CB$: Tính chất các cạnh đối của hình bình hành $ABCD$ bằng nhau.
• $\widehat{ADH} = \widehat{CBK}$: Hai góc ở vị trí so le trong (do $AD \parallel BC$).
• $\widehat{AHD} = \widehat{CKB} = 90^\circ$: Theo giả thiết kẻ đường vuông góc.

Suy ra: $\Delta AHD = \Delta CKB$ (cạnh huyền - góc nhọn).

Từ hai tam giác bằng nhau, ta có:

1. $AH = CK$ (hai cạnh tương ứng).
2. Vì $AH \perp BD$ và $CK \perp BD$ nên $AH \parallel CK$ (hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau).

Kết luận: Tứ giác $AHCK$ có một cặp cạnh đối $AH$ và $CK$ vừa song song vừa bằng nhau, nên $AHCK$ là hình bình hành.

b) Chứng minh IB = ID

Để chứng minh $IB = ID$, ta cần chỉ ra $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $BD$.

1. Xét hình bình hành $AHCK$:
2. • Theo câu a, $AHCK$ là hình bình hành.
   • $I$ là trung điểm của đường chéo $HK$ (theo giả thiết).
   • Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên $I$ cũng phải là trung điểm của đường chéo $AC$.
3. Xét hình bình hành $ABCD$:
4. • Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Theo tính chất hình bình hành, $O$ là trung điểm của $AC$.
   • Mà ở bước trên ta đã chỉ ra $I$ là trung điểm của $AC$. Do đó, điểm $I$ trùng với điểm $O$.
   • Vì $I$ trùng với giao điểm hai đường chéo của hình bình hành $ABCD$, nên $I$ phải là trung điểm của đường chéo còn lại là $BD$.

Kết luận: Vì $I$ là trung điểm của $BD$ nên $IB = ID$.

a) Chứng minh tứ giác EBFD là hình bình hành

Xét hình bình hành $ABCD$, ta có:

• $AD \parallel BC$ và $AD = BC$ (tính chất hình bình hành).

Vì $E$ là trung điểm của $AD$ nên:

Vì $F$ là trung điểm của $BC$ nên:

Mà $AD = BC$, suy ra $ED = BF$.

Mặt khác, vì $AD \parallel BC$ nên $ED \parallel BF$ (do $E$ thuộc $AD$ và $F$ thuộc $BC$).

Xét tứ giác $EBFD$, ta có:

• $ED \parallel BF$
• $ED = BF$

Kết luận: Tứ giác $EBFD$ có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên $EBFD$ là hình bình hành.

b) Chứng minh ba điểm E, O, F thẳng hàng

Để chứng minh ba điểm này thẳng hàng, ta sẽ dựa vào tính chất giao điểm của các đường chéo trong hình bình hành.

1. Xét hình bình hành $ABCD$:
2. • $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$.
   • Theo tính chất hình bình hành, $O$ phải là trung điểm của $BD$.
3. Xét hình bình hành $EBFD$ (đã chứng minh ở câu a):
4. • Tứ giác này có hai đường chéo là $EF$ và $BD$.
   • Theo tính chất hình bình hành, hai đường chéo $EF$ và $BD$ phải cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
   • Mà theo lập luận trên, $O$ chính là trung điểm của $BD$.

Do đó, đường chéo $EF$ phải đi qua trung điểm $O$ của $BD$.

Kết luận: Ba điểm $E, O, F$ thẳng hàng (và $O$ cũng là trung điểm của $EF$).

Để chứng minh tứ giác $PQMN$ là hình bình hành, chúng ta sẽ sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác để chỉ ra một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.

Chứng minh

1. Xét tam giác $ABC$:

• Ta có $M$ là trung điểm của $AC$, $N$ là trung điểm của $AB$ (do $BM, CN$ là các đường trung tuyến).
• Suy ra $MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$.
• Theo tính chất đường trung bình: $$MN \parallel BC \quad \text{và} \quad MN = \frac{1}{2}BC \quad (1)$$

2. Xét tam giác $GBC$:

• Ta có $P$ là trung điểm của $GB$, $Q$ là trung điểm của $GC$ (theo giả thiết).
• Suy ra $PQ$ là đường trung bình của $\Delta GBC$.
• Theo tính chất đường trung bình: $$PQ \parallel BC \quad \text{và} \quad PQ = \frac{1}{2}BC \quad (2)$$

3. Kết luận tứ giác $PQMN$ là hình bình hành:

• Từ $(1)$ và $(2)$, ta thấy:
• • $MN \parallel PQ$ (vì cùng song song với $BC$).
  • $MN = PQ$ (vì cùng bằng $\frac{1}{2}BC$).
• Tứ giác $PQMN$ có một cặp cạnh đối ($MN$ và $PQ$) vừa song song vừa bằng nhau.
• Vậy tứ giác $PQMN$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Mở rộng kiến thức:

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$, nên theo tính chất trọng tâm ta có $GM = \frac{1}{2}GB$. Mà $P$ là trung điểm của $GB$ nên $GP = \frac{1}{2}GB$. Từ đó suy ra $GM = GP$. Tương tự ta có $GN = GQ$.

Điều này cho thấy $G$ chính là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành $PQMN$ và là trung điểm của mỗi đường.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ vận dụng các tính chất về trung điểm và các dấu hiệu nhận biết hình bình hành (đặc biệt là dấu hiệu: tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

a) Chứng minh tứ giác AEFD và ABFC là hình bình hành

1. Chứng minh tứ giác ABFC là hình bình hành:

• Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB \parallel CD$ và $AB = CD$.
• Theo đề bài, $C$ là trung điểm của $DF$, suy ra $CD = CF$.
• Từ đó ta có: $AB = CF$ (vì cùng bằng $CD$).
• Do $D, C, F$ thẳng hàng nên $AB \parallel CF$ (vì $AB \parallel CD$).
• Tứ giác $ABFC$ có cặp cạnh đối $AB$ và $CF$ vừa song song vừa bằng nhau.
• Kết luận: Tứ giác $ABFC$ là hình bình hành.

2. Chứng minh tứ giác AEFD là hình bình hành:

• Vì $B$ là trung điểm của $AE$ nên $AE = 2AB$.
• Vì $C$ là trung điểm của $DF$ nên $DF = 2CD$.
• Mà $AB = CD$ (tính chất hình bình hành $ABCD$), suy ra $AE = DF$.
• Vì $E$ nằm trên đường thẳng $AB$ và $F$ nằm trên đường thẳng $CD$, mà $AB \parallel CD$ nên $AE \parallel DF$.
• Tứ giác $AEFD$ có một cặp cạnh đối $AE$ và $DF$ vừa song song vừa bằng nhau.
• Kết luận: Tứ giác $AEFD$ là hình bình hành.

b) Chứng minh các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau

Để chứng minh điều này, ta sẽ chỉ ra rằng mỗi đoạn thẳng đều là đường chéo của một hình bình hành chung một điểm giao.

1. Xét hình bình hành AEFD (chứng minh ở câu a):
2. • Hai đường chéo của nó là $AF$ và $DE$.
   • Theo tính chất hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
   • Gọi $O$ là trung điểm của AF và DE (1).
3. Xét hình bình hành ABFC (chứng minh ở câu a):
4. • Hai đường chéo của nó là $AF$ và $BC$.
   • Theo tính chất hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
   • Mà $O$ đã là trung điểm của $AF$, nên $O$ cũng phải là trung điểm của BC (2).

Từ (1) và (2), ta thấy điểm $O$ đồng thời là trung điểm của cả ba đoạn thẳng $AF, DE, BC$.

Kết luận: Trung điểm của ba đoạn thẳng $AF, DE, BC$ trùng nhau.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất về góc và cạnh của hình bình hành, kết hợp với các trường hợp bằng nhau của tam giác.

1. Chứng minh $\Delta OAM = \Delta OCN$

Xét hai tam giác $OAM$ và $OCN$, ta có:

• $OA = OC$: Vì $ABCD$ là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ($O$ là trung điểm của $AC$).
• $\widehat{O_1} = \widehat{O_2}$: Hai góc ở vị trí đối đỉnh.
• $\widehat{A_1} = \widehat{C_1}$: Vì $AB \parallel CD$ (tính chất hình bình hành) nên hai góc này ở vị trí so le trong.

Từ ba điều kiện trên, ta kết luận:

2. Chứng minh tứ giác MBND là hình bình hành

Để chứng minh $MBND$ là hình bình hành, chúng ta sẽ chứng minh hai đường chéo của nó cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

• Từ việc $\Delta OAM = \Delta OCN$ (đã chứng minh ở trên), ta suy ra các cặp cạnh tương ứng bằng nhau: $$OM = ON$$Điều này có nghĩa là $O$ là trung điểm của $MN$.
• Mặt khác, theo tính chất hình bình hành $ABCD$, $O$ đã là trung điểm của đường chéo $BD$ ($OB = OD$).

Xét tứ giác $MBND$, ta thấy:

• Hai đường chéo $MN$ và $BD$ cắt nhau tại $O$.
• $O$ là trung điểm của $MN$ ($OM = ON$).
• $O$ là trung điểm của $BD$ ($OB = OD$).

Kết luận: Tứ giác $MBND$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên $MBND$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

a) Chứng minh tứ giác AEFD và AECF là hình bình hành

1. Chứng minh tứ giác AEFD là hình bình hành:

• Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB \parallel CD$ và $AB = CD$.
• Ta có $E$ là trung điểm của $AB$ nên $AE = \frac{1}{2}AB$.
• Ta có $F$ là trung điểm của $CD$ nên $DF = \frac{1}{2}CD$.
• Vì $AB = CD$ nên $AE = DF$.
• Mặt khác, vì $AB \parallel CD$ nên $AE \parallel DF$.
• Tứ giác $AEFD$ có một cặp cạnh đối $AE$ và $DF$ vừa song song vừa bằng nhau, do đó AEFD là hình bình hành.

2. Chứng minh tứ giác AECF là hình bình hành:

• Tương tự, ta có $E$ thuộc $AB$ và $F$ thuộc $CD$ nên $AE \parallel FC$ (do $AB \parallel CD$).
• Ta có $AE = \frac{1}{2}AB$ và $FC = \frac{1}{2}CD$. Vì $AB = CD$ nên $AE = FC$.
• Tứ giác $AECF$ có cặp cạnh đối $AE$ và $FC$ vừa song song vừa bằng nhau, do đó AECF là hình bình hành.

b) Chứng minh EF = AD và AF = EC

Dựa vào kết quả của các hình bình hành đã chứng minh ở câu a, ta sử dụng tính chất: "Trong hình bình hành, các cạnh đối bằng nhau".

• Chứng minh $EF = AD$:
• • Vì tứ giác $AEFD$ là hình bình hành (chứng minh ở câu a), nên cặp cạnh đối còn lại của nó phải bằng nhau.
  • Vậy $EF = AD$.
• Chứng minh $AF = EC$:
• • Vì tứ giác $AECF$ là hình bình hành (chứng minh ở câu a), nên cặp cạnh đối của nó bằng nhau.
  • Vậy $AF = EC$.

Nhân dịp kỉ niệm ngày thành lập trường, lớp em đã có chuyến tham quan về nguồn đến với các di tích lịch sử trong tỉnh. Sáng sớm hôm ấy, cả lớp háo hức tập trung tại trường, chuẩn bị hành trang và tinh thần sôi nổi cho chuyến đi. Khi đến nơi, chúng em được hướng dẫn viên kể lại những câu chuyện lịch sử hào hùng của các di tích, khiến cả lớp cảm thấy tự hào về truyền thống của dân tộc. Em còn nhớ rõ khoảnh khắc đứng trước tượng đài, nghe tiếng gió rì rào, lòng dâng lên niềm xúc động khó tả. Trong chuyến đi, chúng em vừa học, vừa tham gia các trò chơi tập thể, chụp ảnh lưu niệm và thưởng thức cảnh đẹp thiên nhiên xung quanh. Những tiếng cười, những giây phút cùng nhau khám phá lịch sử đã để lại trong em nhiều ấn tượng sâu sắc. Trở về nhà, em cảm thấy mình không chỉ hiểu hơn về lịch sử quê hương mà còn gắn bó hơn với các bạn trong lớp. Đây thực sự là một chuyến đi đầy ý nghĩa và là kỉ niệm mà em sẽ luôn nhớ mãi.

Câu 1. Bài thơ “Cảnh ngày hè” được viết theo thể thơ thất ngôn tứ tuyệt (mỗi câu 7 chữ, 4 câu 1 bài).

Câu 2. Trong bốn dòng thơ đầu, những hình ảnh thiên nhiên được nhắc đến là:

• Cây cối (cành lá, cây xanh mát)
• Chim chóc (chim hót, bướm bay)
• Sóng nước (sông, ao, nước mát)
• Không gian mùa hè rộn ràng (ánh nắng, tiếng ve kêu)

Câu 3. Phân tích tác dụng của biện pháp đảo ngữ trong câu:

“Lao xao chợ cá làng ngư phủ,
Dắng dỏi cầm ve lầu tịch dương.”

• Đảo ngữ là sắp xếp từ khác so với trật tự thông thường, nhấn mạnh một bộ phận trong câu.
• Ở đây, nhờ đảo ngữ, tiếng động sinh hoạt (chợ cá, ve kêu) được làm nổi bật, tạo cảm giác sống động, nhộn nhịp của cảnh hè.
• Đồng thời làm nổi bật sắc thái âm thanh đặc trưng của ngày hè ở làng quê.

Câu 4. Trong hai dòng thơ cuối, tác giả bộc lộ tình cảm bình dị, yêu thiên nhiên và niềm vui thanh thản khi tận hưởng cuộc sống giản dị của mùa hè, đồng thời thể hiện tấm lòng gần gũi, chan hòa với thiên nhiên.

Câu 5. Chủ đề của bài thơ là:

• Ngợi ca vẻ đẹp thanh bình, sôi động của thiên nhiên ngày hè ở làng quê, đồng thời thể hiện tình cảm giản dị, vui vẻ của con người khi hòa mình với thiên nhiên.
• Căn cứ: Qua hình ảnh sinh động của cảnh vật mùa hè (cây xanh, chim hót, chợ cá, ve kêu) và cảm xúc của người thưởng thức thiên nhiên.

Câu 6. (Viết đoạn văn 5–7 dòng)

Từ niềm vui giản dị mà Nguyễn Trãi tìm thấy trong thiên nhiên ngày hè, em rút ra bài học rằng chúng ta nên biết giữ gìn tinh thần lạc quan, yêu cuộc sống và tận hưởng những điều bình dị xung quanh. Cuộc sống đôi khi bận rộn, áp lực, nhưng nếu biết quan sát thiên nhiên, cảm nhận vẻ đẹp nhỏ bé, bình dị, con người sẽ thấy tâm hồn thanh thản hơn. Em sẽ học cách tận hưởng từng khoảnh khắc giản dị, yêu quý thiên nhiên, và giữ cho mình tinh thần vui vẻ, nhẹ nhàng trong đời sống hàng ngày.

f(100)=> x=100

=>x+1=101

thay x+1=101 ta được:

f(100)=x⁸-(x+1)x⁷+(x+1)x⁶-(x+1)x⁵+...+(x+1)x²-(x+1)x+25

=x⁸-(x⁸+x⁷)+(x⁷+x⁶)-(x⁶+x⁵)+...+(x³+x²)-(x²+x)+25

=x⁸-x⁸-x⁷+x⁷+x⁶-x⁶-x⁵+...+x³+x²-x²-x+25

=-x+25

=-100+25

=-75

a,Xét tam giác BAD và tam giác EDA:

AD chung

ABD=AED=90 độ( tam giác ABC vuông tại B, DE vuông góc AC)

BAD=CAD(AD là tia phân giác)

Suy ra tam giác BAD= tam giác EDA(cạnh huyền - góc nhọn)

b, Vì tam giác BAD= tam giác EDA (cmt)

Suy ra: AB=AE(2 cạnh tương ứng)

Suy ra A thuộc trung trực BE ₁

Vì tam giác BAD = tam giác EDA(CMA)

Suy ra:BD=DE

Suy ra: D thuộc trung trực BE ₂ 

Từ 1 và 2 

Suy ra AD là đường trung trực BE

c,AB=AE(cmt) ₃

BK=EC(gt) ₄

AB+BK=AK ₅

AE+EC=AC ₆

Từ 3,4,5,6

Suya ra AK =AC

Suy ra tam giác AKC cân tại A ₇

Mà AD là tia phân giác  ₈

_{Từ 7 và 8}

Suy ra AD là đg cao tam giác AKC

Xét tam giác AKC có:

Đg cao CB( tam giác ABC vuông tại B)

Đg cao AD (cmt)

Mà AD cắt CB tại D

Suy ra D là trực tâm tam giác AKC ₉

Suy ra KE là đg cao còn lại ₁₀ 

Từ 9,10

Suy ra D thuộc KE

Suy ra K,D,E thg hàng