Chứng minh bằng tọa độ/vectơ (lấy \(A\) làm gốc). Gọi

\(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{v} , \overset{⃗}{A D} = \overset{⃗}{u} .\)

Khi đó

\(\overset{⃗}{A} = \overset{⃗}{0} , \overset{⃗}{B} = \overset{⃗}{v} , \overset{⃗}{D} = \overset{⃗}{u} , \overset{⃗}{C} = \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} .\)

Theo giả thiết, \(B\) là trung điểm của \(A E\) nên

\(\overset{⃗}{E} = 2 \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{A} = 2 \overset{⃗}{v} .\)

C và D là trung điểm của \(D F\) (nghĩa là \(C\) là trung điểm của \(D F\)) nên

\(\overset{⃗}{F} = 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{D} = 2 \left(\right. \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} \left.\right) - \overset{⃗}{u} = \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} + \overset{⃗}{v} = \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} .\)

a) Xét tứ giác \(A E F D\) (theo thứ tự \(A \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ E \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ F \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ D\)):

• \(\overset{\rightarrow}{A E} = \overset{⃗}{E} - \overset{⃗}{A} = 2 \overset{⃗}{v} .\)
• \(\overset{\rightarrow}{F D} = \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{F} = \overset{⃗}{u} - \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right) = - 2 \overset{⃗}{v} .\)

Do đó \(\overset{\rightarrow}{A E}\) song song và bằng độ dài với \(\overset{\rightarrow}{D F}\) (chỉ ngược chiều), tức \(A E \parallel F D\).

• \(\overset{\rightarrow}{E F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{E} = \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right) - 2 \overset{⃗}{v} = \overset{⃗}{u} .\)
• \(\overset{\rightarrow}{A D} = \overset{⃗}{u} .\)

Vậy \(E F \parallel A D\). Vì hai cặp cạnh đối diện song song, \(A E F D\) là hình bình hành.

Xét tứ giác \(A B F C\) (theo thứ tự \(A \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ B \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ F \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ C\)):

• \(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{⃗}{v} , \overset{\rightarrow}{F C} = \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{F} = \left(\right. \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} \left.\right) - \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right) = - \overset{⃗}{v}\), nên \(A B \parallel F C\).
• \(\overset{\rightarrow}{B F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{B} = \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right) - \overset{⃗}{v} = \overset{⃗}{u} + \overset{⃗}{v} , \overset{\rightarrow}{C A} = \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{C} = - \left(\right. \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} \left.\right)\), nên \(B F \parallel C A\).

Vậy \(A B F C\) cũng là hình bình hành.

b) Tính hoành độ các trung điểm.

• Trung điểm \(M_{A F}\) của \(A F\):

\(\frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{F}}{2} = \frac{\overset{⃗}{0} + \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right)}{2} = \overset{⃗}{v} + \frac{\overset{⃗}{u}}{2} .\)

• Trung điểm \(M_{D E}\) của \(D E\):

\(\frac{\overset{⃗}{D} + \overset{⃗}{E}}{2} = \frac{\overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v}}{2} = \overset{⃗}{v} + \frac{\overset{⃗}{u}}{2} .\)

• Trung điểm \(M_{B C}\) của \(B C\):

\(\frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{2} = \frac{\overset{⃗}{v} + \left(\right. \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} \left.\right)}{2} = \overset{⃗}{v} + \frac{\overset{⃗}{u}}{2} .\)

Ba trung điểm đều có tọa độ \(\overset{⃗}{v} + \frac{\overset{⃗}{u}}{2}\); do đó chúng trùng nhau.

Kết luận: (a) \(A E F D\) và \(A B F C\) là hai hình bình hành; (b) các trung điểm của \(A F , \textrm{ }\textrm{ } D E , \textrm{ }\textrm{ } B C\) trùng nhau.

Chứng minh bằng tọa độ/vectơ (lấy \(A\) làm gốc). Gọi

\(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{v} , \overset{⃗}{A D} = \overset{⃗}{u} .\)

Khi đó

\(\overset{⃗}{A} = \overset{⃗}{0} , \overset{⃗}{B} = \overset{⃗}{v} , \overset{⃗}{D} = \overset{⃗}{u} , \overset{⃗}{C} = \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} .\)

Theo giả thiết, \(B\) là trung điểm của \(A E\) nên

\(\overset{⃗}{E} = 2 \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{A} = 2 \overset{⃗}{v} .\)

C và D là trung điểm của \(D F\) (nghĩa là \(C\) là trung điểm của \(D F\)) nên

\(\overset{⃗}{F} = 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{D} = 2 \left(\right. \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} \left.\right) - \overset{⃗}{u} = \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} + \overset{⃗}{v} = \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} .\)

a) Xét tứ giác \(A E F D\) (theo thứ tự \(A \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ E \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ F \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ D\)):

• \(\overset{\rightarrow}{A E} = \overset{⃗}{E} - \overset{⃗}{A} = 2 \overset{⃗}{v} .\)
• \(\overset{\rightarrow}{F D} = \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{F} = \overset{⃗}{u} - \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right) = - 2 \overset{⃗}{v} .\)

Do đó \(\overset{\rightarrow}{A E}\) song song và bằng độ dài với \(\overset{\rightarrow}{D F}\) (chỉ ngược chiều), tức \(A E \parallel F D\).

• \(\overset{\rightarrow}{E F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{E} = \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right) - 2 \overset{⃗}{v} = \overset{⃗}{u} .\)
• \(\overset{\rightarrow}{A D} = \overset{⃗}{u} .\)

Vậy \(E F \parallel A D\). Vì hai cặp cạnh đối diện song song, \(A E F D\) là hình bình hành.

Xét tứ giác \(A B F C\) (theo thứ tự \(A \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ B \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ F \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ C\)):

• \(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{⃗}{v} , \overset{\rightarrow}{F C} = \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{F} = \left(\right. \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} \left.\right) - \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right) = - \overset{⃗}{v}\), nên \(A B \parallel F C\).
• \(\overset{\rightarrow}{B F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{B} = \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right) - \overset{⃗}{v} = \overset{⃗}{u} + \overset{⃗}{v} , \overset{\rightarrow}{C A} = \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{C} = - \left(\right. \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} \left.\right)\), nên \(B F \parallel C A\).

Vậy \(A B F C\) cũng là hình bình hành.

b) Tính hoành độ các trung điểm.

• Trung điểm \(M_{A F}\) của \(A F\):

\(\frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{F}}{2} = \frac{\overset{⃗}{0} + \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right)}{2} = \overset{⃗}{v} + \frac{\overset{⃗}{u}}{2} .\)

• Trung điểm \(M_{D E}\) của \(D E\):

\(\frac{\overset{⃗}{D} + \overset{⃗}{E}}{2} = \frac{\overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v}}{2} = \overset{⃗}{v} + \frac{\overset{⃗}{u}}{2} .\)

• Trung điểm \(M_{B C}\) của \(B C\):

\(\frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{2} = \frac{\overset{⃗}{v} + \left(\right. \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} \left.\right)}{2} = \overset{⃗}{v} + \frac{\overset{⃗}{u}}{2} .\)

Ba trung điểm đều có tọa độ \(\overset{⃗}{v} + \frac{\overset{⃗}{u}}{2}\); do đó chúng trùng nhau.

Kết luận: (a) \(A E F D\) và \(A B F C\) là hai hình bình hành; (b) các trung điểm của \(A F , \textrm{ }\textrm{ } D E , \textrm{ }\textrm{ } B C\) trùng nhau.

Ta làm rõ bằng đối xứng tâm (quay 180° quanh \(O\)) — đây là cách ngắn gọn và trực quan.

Vì \(A B C D\) là hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại \(O\) nên \(O\) là tâm đối xứng của hình (quay \(180^{\circ}\) quanh \(O\) đổi \(A \leftrightarrow C\) và \(B \leftrightarrow D\)). Kí hiệu phép quay tâm \(O\) góc \(180^{\circ}\) là \(R_{O}\).

1. \(R_{O}\) gửi đường thẳng \(A B\) sang đường thẳng \(C D\).
   Vì \(M \in A B\), ảnh của \(M\) qua \(R_{O}\) là một điểm trên \(C D\) nằm trên cùng đường thẳng đi qua \(O\) (vì tâm đối xứng giữ \(O\)). Do đó ảnh của \(M\) chính là \(N\). Tức là

Phép quay 180° quanh \(O\) biến vectơ \(\overset{\rightarrow}{O A}\) thành \(\overset{\rightarrow}{O C}\) và \(\overset{\rightarrow}{O M}\) thành \(\overset{\rightarrow}{O N}\) thỏa \(\overset{\rightarrow}{O C} = - \overset{\rightarrow}{O A} , \&\text{nbsp}; \overset{\rightarrow}{O N} = - \overset{\rightarrow}{O M}\). Do đó

và góc \(\angle A O M\) tương ứng với góc \(\angle C O N\). Vậy tam giác \(O A M\) song song và bằng cạnh — góc (SAS) với tam giác \(O C N\), tức

1. Từ đối xứng \(R_{O}\) còn có \(R_{O} \left(\right. B \left.\right) = D\) và \(R_{O} \left(\right. M \left.\right) = N\). Vì \(R_{O}\) bảo toàn song song và độ dài, đoạn thẳng \(M B\) có ảnh là đoạn \(N D\); vậy \(M B \parallel N D\) và \(M B = N D\). Tương tự ảnh của đoạn \(B N\) là \(D M\), nên \(B N \parallel D M\) và \(B N = D M\). Do đó hai cặp cạnh đối của tứ giác \(M B N D\) song song (và bằng nhau), nên \(M B N D\) là hình bình hành.

Kết luận: \(\triangle O A M \cong \triangle O C N\) và \(M B N D\) là hình bình hành. □

Ta làm rõ bằng đối xứng tâm (quay 180° quanh \(O\)) — đây là cách ngắn gọn và trực quan.

Vì \(A B C D\) là hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại \(O\) nên \(O\) là tâm đối xứng của hình (quay \(180^{\circ}\) quanh \(O\) đổi \(A \leftrightarrow C\) và \(B \leftrightarrow D\)). Kí hiệu phép quay tâm \(O\) góc \(180^{\circ}\) là \(R_{O}\).

1. \(R_{O}\) gửi đường thẳng \(A B\) sang đường thẳng \(C D\).
   Vì \(M \in A B\), ảnh của \(M\) qua \(R_{O}\) là một điểm trên \(C D\) nằm trên cùng đường thẳng đi qua \(O\) (vì tâm đối xứng giữ \(O\)). Do đó ảnh của \(M\) chính là \(N\). Tức là

Phép quay 180° quanh \(O\) biến vectơ \(\overset{\rightarrow}{O A}\) thành \(\overset{\rightarrow}{O C}\) và \(\overset{\rightarrow}{O M}\) thành \(\overset{\rightarrow}{O N}\) thỏa \(\overset{\rightarrow}{O C} = - \overset{\rightarrow}{O A} , \&\text{nbsp}; \overset{\rightarrow}{O N} = - \overset{\rightarrow}{O M}\). Do đó

và góc \(\angle A O M\) tương ứng với góc \(\angle C O N\). Vậy tam giác \(O A M\) song song và bằng cạnh — góc (SAS) với tam giác \(O C N\), tức

1. Từ đối xứng \(R_{O}\) còn có \(R_{O} \left(\right. B \left.\right) = D\) và \(R_{O} \left(\right. M \left.\right) = N\). Vì \(R_{O}\) bảo toàn song song và độ dài, đoạn thẳng \(M B\) có ảnh là đoạn \(N D\); vậy \(M B \parallel N D\) và \(M B = N D\). Tương tự ảnh của đoạn \(B N\) là \(D M\), nên \(B N \parallel D M\) và \(B N = D M\). Do đó hai cặp cạnh đối của tứ giác \(M B N D\) song song (và bằng nhau), nên \(M B N D\) là hình bình hành.

Kết luận: \(\triangle O A M \cong \triangle O C N\) và \(M B N D\) là hình bình hành. □

Ta làm rõ bằng đối xứng tâm (quay 180° quanh \(O\)) — đây là cách ngắn gọn và trực quan.

Vì \(A B C D\) là hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại \(O\) nên \(O\) là tâm đối xứng của hình (quay \(180^{\circ}\) quanh \(O\) đổi \(A \leftrightarrow C\) và \(B \leftrightarrow D\)). Kí hiệu phép quay tâm \(O\) góc \(180^{\circ}\) là \(R_{O}\).

1. \(R_{O}\) gửi đường thẳng \(A B\) sang đường thẳng \(C D\).
   Vì \(M \in A B\), ảnh của \(M\) qua \(R_{O}\) là một điểm trên \(C D\) nằm trên cùng đường thẳng đi qua \(O\) (vì tâm đối xứng giữ \(O\)). Do đó ảnh của \(M\) chính là \(N\). Tức là

Phép quay 180° quanh \(O\) biến vectơ \(\overset{\rightarrow}{O A}\) thành \(\overset{\rightarrow}{O C}\) và \(\overset{\rightarrow}{O M}\) thành \(\overset{\rightarrow}{O N}\) thỏa \(\overset{\rightarrow}{O C} = - \overset{\rightarrow}{O A} , \&\text{nbsp}; \overset{\rightarrow}{O N} = - \overset{\rightarrow}{O M}\). Do đó

và góc \(\angle A O M\) tương ứng với góc \(\angle C O N\). Vậy tam giác \(O A M\) song song và bằng cạnh — góc (SAS) với tam giác \(O C N\), tức

1. Từ đối xứng \(R_{O}\) còn có \(R_{O} \left(\right. B \left.\right) = D\) và \(R_{O} \left(\right. M \left.\right) = N\). Vì \(R_{O}\) bảo toàn song song và độ dài, đoạn thẳng \(M B\) có ảnh là đoạn \(N D\); vậy \(M B \parallel N D\) và \(M B = N D\). Tương tự ảnh của đoạn \(B N\) là \(D M\), nên \(B N \parallel D M\) và \(B N = D M\). Do đó hai cặp cạnh đối của tứ giác \(M B N D\) song song (và bằng nhau), nên \(M B N D\) là hình bình hành.

Kết luận: \(\triangle O A M \cong \triangle O C N\) và \(M B N D\) là hình bình hành. □

Ta làm rõ bằng đối xứng tâm (quay 180° quanh \(O\)) — đây là cách ngắn gọn và trực quan.

Vì \(A B C D\) là hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại \(O\) nên \(O\) là tâm đối xứng của hình (quay \(180^{\circ}\) quanh \(O\) đổi \(A \leftrightarrow C\) và \(B \leftrightarrow D\)). Kí hiệu phép quay tâm \(O\) góc \(180^{\circ}\) là \(R_{O}\).

1. \(R_{O}\) gửi đường thẳng \(A B\) sang đường thẳng \(C D\).
   Vì \(M \in A B\), ảnh của \(M\) qua \(R_{O}\) là một điểm trên \(C D\) nằm trên cùng đường thẳng đi qua \(O\) (vì tâm đối xứng giữ \(O\)). Do đó ảnh của \(M\) chính là \(N\). Tức là

Phép quay 180° quanh \(O\) biến vectơ \(\overset{\rightarrow}{O A}\) thành \(\overset{\rightarrow}{O C}\) và \(\overset{\rightarrow}{O M}\) thành \(\overset{\rightarrow}{O N}\) thỏa \(\overset{\rightarrow}{O C} = - \overset{\rightarrow}{O A} , \&\text{nbsp}; \overset{\rightarrow}{O N} = - \overset{\rightarrow}{O M}\). Do đó

và góc \(\angle A O M\) tương ứng với góc \(\angle C O N\). Vậy tam giác \(O A M\) song song và bằng cạnh — góc (SAS) với tam giác \(O C N\), tức

1. Từ đối xứng \(R_{O}\) còn có \(R_{O} \left(\right. B \left.\right) = D\) và \(R_{O} \left(\right. M \left.\right) = N\). Vì \(R_{O}\) bảo toàn song song và độ dài, đoạn thẳng \(M B\) có ảnh là đoạn \(N D\); vậy \(M B \parallel N D\) và \(M B = N D\). Tương tự ảnh của đoạn \(B N\) là \(D M\), nên \(B N \parallel D M\) và \(B N = D M\). Do đó hai cặp cạnh đối của tứ giác \(M B N D\) song song (và bằng nhau), nên \(M B N D\) là hình bình hành.

Kết luận: \(\triangle O A M \cong \triangle O C N\) và \(M B N D\) là hình bình hành. □

Ta làm rõ bằng đối xứng tâm (quay 180° quanh \(O\)) — đây là cách ngắn gọn và trực quan.

Vì \(A B C D\) là hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại \(O\) nên \(O\) là tâm đối xứng của hình (quay \(180^{\circ}\) quanh \(O\) đổi \(A \leftrightarrow C\) và \(B \leftrightarrow D\)). Kí hiệu phép quay tâm \(O\) góc \(180^{\circ}\) là \(R_{O}\).

1. \(R_{O}\) gửi đường thẳng \(A B\) sang đường thẳng \(C D\).
   Vì \(M \in A B\), ảnh của \(M\) qua \(R_{O}\) là một điểm trên \(C D\) nằm trên cùng đường thẳng đi qua \(O\) (vì tâm đối xứng giữ \(O\)). Do đó ảnh của \(M\) chính là \(N\). Tức là

Phép quay 180° quanh \(O\) biến vectơ \(\overset{\rightarrow}{O A}\) thành \(\overset{\rightarrow}{O C}\) và \(\overset{\rightarrow}{O M}\) thành \(\overset{\rightarrow}{O N}\) thỏa \(\overset{\rightarrow}{O C} = - \overset{\rightarrow}{O A} , \&\text{nbsp}; \overset{\rightarrow}{O N} = - \overset{\rightarrow}{O M}\). Do đó

và góc \(\angle A O M\) tương ứng với góc \(\angle C O N\). Vậy tam giác \(O A M\) song song và bằng cạnh — góc (SAS) với tam giác \(O C N\), tức

1. Từ đối xứng \(R_{O}\) còn có \(R_{O} \left(\right. B \left.\right) = D\) và \(R_{O} \left(\right. M \left.\right) = N\). Vì \(R_{O}\) bảo toàn song song và độ dài, đoạn thẳng \(M B\) có ảnh là đoạn \(N D\); vậy \(M B \parallel N D\) và \(M B = N D\). Tương tự ảnh của đoạn \(B N\) là \(D M\), nên \(B N \parallel D M\) và \(B N = D M\). Do đó hai cặp cạnh đối của tứ giác \(M B N D\) song song (và bằng nhau), nên \(M B N D\) là hình bình hành.

Kết luận: \(\triangle O A M \cong \triangle O C N\) và \(M B N D\) là hình bình hành. □

Ta chứng minh bằng phương pháp vectơ (hoặc toạ độ). Gọi \(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{v} , \textrm{ }\textrm{ } \overset{⃗}{A D} = \overset{⃗}{u}\). Lấy \(A\) làm gốc toạ độ, khi đó

Vì \(E\) là trung điểm của \(A B\) và \(F\) là trung điểm của \(C D\), nên

a) Xét tứ giác \(A E F D\) (theo thứ tự A–E–F–D).

• \(\overset{\rightarrow}{A E} = \overset{⃗}{E} - \overset{⃗}{A} = \frac{\overset{⃗}{v}}{2} .\)
• \(\overset{\rightarrow}{F D} = \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{F} = \overset{⃗}{u} - \left(\right. \frac{\overset{⃗}{v}}{2} + \overset{⃗}{u} \left.\right) = - \frac{\overset{⃗}{v}}{2} .\)

Do đó \(\overset{\rightarrow}{A E}\) song song và bằng độ dài với \(\overset{\rightarrow}{D F}\) (chỉ ngược chiều), tức \(A E \parallel F D\) và \(A E = F D\).

• \(\overset{\rightarrow}{E F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{E} = \left(\right. \frac{\overset{⃗}{v}}{2} + \overset{⃗}{u} \left.\right) - \frac{\overset{⃗}{v}}{2} = \overset{⃗}{u} .\)
• \(\overset{\rightarrow}{A D} = \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{A} = \overset{⃗}{u} .\)

Do đó \(E F \parallel A D\) và \(E F = A D\).

Vì hai cặp cạnh đối diện của tứ giác \(A E F D\) song song, nên \(A E F D\) là hình bình hành.

Xét tứ giác \(A E C F\) (A–E–C–F):

• \(\overset{\rightarrow}{A E} = \frac{\overset{⃗}{v}}{2}\) và \(\overset{\rightarrow}{C F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{C} = \left(\right. \frac{\overset{⃗}{v}}{2} + \overset{⃗}{u} \left.\right) - \left(\right. \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} \left.\right) = - \frac{\overset{⃗}{v}}{2}\), nên \(A E \parallel C F\) và \(A E = C F\).
• \(\overset{\rightarrow}{A F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{A} = \frac{\overset{⃗}{v}}{2} + \overset{⃗}{u}\) và \(\overset{\rightarrow}{E C} = \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{E} = \left(\right. \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} \left.\right) - \frac{\overset{⃗}{v}}{2} = \frac{\overset{⃗}{v}}{2} + \overset{⃗}{u}\), nên \(A F \parallel E C\) và \(A F = E C\).

Vậy \(A E C F\) cũng là hình bình hành.

b) Từ các tính toán trên ta thu được trực tiếp:

Kết luận: (a) \(A E F D\) và \(A E C F\) đều là hình bình hành; (b) \(E F = A D\) và \(A F = E C\). □

Ta chứng minh bằng phương pháp vectơ (hoặc toạ độ). Gọi \(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{v} , \textrm{ }\textrm{ } \overset{⃗}{A D} = \overset{⃗}{u}\). Lấy \(A\) làm gốc toạ độ, khi đó

Vì \(E\) là trung điểm của \(A B\) và \(F\) là trung điểm của \(C D\), nên

a) Xét tứ giác \(A E F D\) (theo thứ tự A–E–F–D).

• \(\overset{\rightarrow}{A E} = \overset{⃗}{E} - \overset{⃗}{A} = \frac{\overset{⃗}{v}}{2} .\)
• \(\overset{\rightarrow}{F D} = \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{F} = \overset{⃗}{u} - \left(\right. \frac{\overset{⃗}{v}}{2} + \overset{⃗}{u} \left.\right) = - \frac{\overset{⃗}{v}}{2} .\)

Do đó \(\overset{\rightarrow}{A E}\) song song và bằng độ dài với \(\overset{\rightarrow}{D F}\) (chỉ ngược chiều), tức \(A E \parallel F D\) và \(A E = F D\).

• \(\overset{\rightarrow}{E F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{E} = \left(\right. \frac{\overset{⃗}{v}}{2} + \overset{⃗}{u} \left.\right) - \frac{\overset{⃗}{v}}{2} = \overset{⃗}{u} .\)
• \(\overset{\rightarrow}{A D} = \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{A} = \overset{⃗}{u} .\)

Do đó \(E F \parallel A D\) và \(E F = A D\).

Vì hai cặp cạnh đối diện của tứ giác \(A E F D\) song song, nên \(A E F D\) là hình bình hành.

Xét tứ giác \(A E C F\) (A–E–C–F):

• \(\overset{\rightarrow}{A E} = \frac{\overset{⃗}{v}}{2}\) và \(\overset{\rightarrow}{C F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{C} = \left(\right. \frac{\overset{⃗}{v}}{2} + \overset{⃗}{u} \left.\right) - \left(\right. \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} \left.\right) = - \frac{\overset{⃗}{v}}{2}\), nên \(A E \parallel C F\) và \(A E = C F\).
• \(\overset{\rightarrow}{A F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{A} = \frac{\overset{⃗}{v}}{2} + \overset{⃗}{u}\) và \(\overset{\rightarrow}{E C} = \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{E} = \left(\right. \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} \left.\right) - \frac{\overset{⃗}{v}}{2} = \frac{\overset{⃗}{v}}{2} + \overset{⃗}{u}\), nên \(A F \parallel E C\) và \(A F = E C\).

Vậy \(A E C F\) cũng là hình bình hành.

b) Từ các tính toán trên ta thu được trực tiếp:

Kết luận: (a) \(A E F D\) và \(A E C F\) đều là hình bình hành; (b) \(E F = A D\) và \(A F = E C\). □

Ta chứng minh bằng phương pháp vectơ (hoặc toạ độ). Gọi \(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{v} , \textrm{ }\textrm{ } \overset{⃗}{A D} = \overset{⃗}{u}\). Lấy \(A\) làm gốc toạ độ, khi đó

Vì \(E\) là trung điểm của \(A B\) và \(F\) là trung điểm của \(C D\), nên

a) Xét tứ giác \(A E F D\) (theo thứ tự A–E–F–D).

• \(\overset{\rightarrow}{A E} = \overset{⃗}{E} - \overset{⃗}{A} = \frac{\overset{⃗}{v}}{2} .\)
• \(\overset{\rightarrow}{F D} = \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{F} = \overset{⃗}{u} - \left(\right. \frac{\overset{⃗}{v}}{2} + \overset{⃗}{u} \left.\right) = - \frac{\overset{⃗}{v}}{2} .\)

Do đó \(\overset{\rightarrow}{A E}\) song song và bằng độ dài với \(\overset{\rightarrow}{D F}\) (chỉ ngược chiều), tức \(A E \parallel F D\) và \(A E = F D\).

• \(\overset{\rightarrow}{E F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{E} = \left(\right. \frac{\overset{⃗}{v}}{2} + \overset{⃗}{u} \left.\right) - \frac{\overset{⃗}{v}}{2} = \overset{⃗}{u} .\)
• \(\overset{\rightarrow}{A D} = \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{A} = \overset{⃗}{u} .\)

Do đó \(E F \parallel A D\) và \(E F = A D\).

Vì hai cặp cạnh đối diện của tứ giác \(A E F D\) song song, nên \(A E F D\) là hình bình hành.

Xét tứ giác \(A E C F\) (A–E–C–F):

• \(\overset{\rightarrow}{A E} = \frac{\overset{⃗}{v}}{2}\) và \(\overset{\rightarrow}{C F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{C} = \left(\right. \frac{\overset{⃗}{v}}{2} + \overset{⃗}{u} \left.\right) - \left(\right. \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} \left.\right) = - \frac{\overset{⃗}{v}}{2}\), nên \(A E \parallel C F\) và \(A E = C F\).
• \(\overset{\rightarrow}{A F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{A} = \frac{\overset{⃗}{v}}{2} + \overset{⃗}{u}\) và \(\overset{\rightarrow}{E C} = \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{E} = \left(\right. \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} \left.\right) - \frac{\overset{⃗}{v}}{2} = \frac{\overset{⃗}{v}}{2} + \overset{⃗}{u}\), nên \(A F \parallel E C\) và \(A F = E C\).

Vậy \(A E C F\) cũng là hình bình hành.

b) Từ các tính toán trên ta thu được trực tiếp:

Kết luận: (a) \(A E F D\) và \(A E C F\) đều là hình bình hành; (b) \(E F = A D\) và \(A F = E C\). □