Ta làm bằng tọa độ (hoặc vectơ), cách ngắn gọn và trực quan.

Đặt \(B D\) là trục hoành. Gọi \(B \left(\right. 0 , 0 \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } D \left(\right. d , 0 \left.\right)\). Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên

Gọi \(A \left(\right. x_{A} , y_{A} \left.\right)\). Do \(A H \bot B D\) và \(H \in B D\) nên \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên \(B D\), tức \(H \left(\right. x_{A} , 0 \left.\right)\). Tương tự \(K\) là hình chiếu của \(C\) lên \(B D\), nên \(K \left(\right. x_{C} , 0 \left.\right)\). Từ điều trên \(x_{A} + x_{C} = d\).

a) Xét hai vectơ

Vậy \(\overset{\rightarrow}{H C} = \overset{\rightarrow}{A K}\). Do đó \(H C \parallel A K\) và \(H C = A K\). Mặt khác \(A H \bot B D\) và \(C K \bot B D\) nên \(A H \parallel C K\). Hai cặp cạnh đối của tứ giác \(A H C K\) song song nhau, nên \(A H C K\) là hình bình hành.

b) Trung điểm \(I\) của \(H K\) có toạ độ

vì \(x_{A} + x_{C} = d\). Do đó \(I\) chính là trung điểm của đoạn \(B D\). Khi một điểm nằm trên trục (đường thẳng chứa \(B D\)) ở vị trí trung điểm của \(B D\) thì khoảng cách tới \(B\) và tới \(D\) bằng nhau, nên

Kết luận: (a) \(A H C K\) là hình bình hành; (b) \(I\) là điểm cách đều \(B\) và \(D\), tức \(I B = I D\). □

Chứng minh bằng vectơ (lấy \(A\) làm gốc tọa độ).

Gọi \(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{v} , \&\text{nbsp}; \overset{⃗}{A D} = \overset{⃗}{u}\). Khi đó

Vì \(E\) là trung điểm của \(A D\) và \(F\) là trung điểm của \(B C\), nên

a) Xét các vectơ cạnh của tứ giác \(E \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ B \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ F \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ D\).

\(\overset{\rightarrow}{E B} = \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{E} = \overset{⃗}{v} - \frac{\overset{⃗}{u}}{2} .\)
\(\overset{\rightarrow}{F D} = \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{F} = \overset{⃗}{u} - \left(\right. \overset{⃗}{v} + \frac{\overset{⃗}{u}}{2} \left.\right) = \frac{\overset{⃗}{u}}{2} - \overset{⃗}{v} = - \left(\right. \overset{⃗}{v} - \frac{\overset{⃗}{u}}{2} \left.\right) .\)

Do đó \(\overset{\rightarrow}{E B}\) song song và bằng độ dài với \(\overset{\rightarrow}{D F}\) (chỉ ngược chiều), tức \(E B \parallel F D\) và \(E B = F D\).

Tiếp, \(\overset{\rightarrow}{B F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{B} = \overset{⃗}{v} + \frac{\overset{⃗}{u}}{2} - \overset{⃗}{v} = \frac{\overset{⃗}{u}}{2} .\)
\(\overset{\rightarrow}{D E} = \overset{⃗}{E} - \overset{⃗}{D} = \frac{\overset{⃗}{u}}{2} - \overset{⃗}{u} = - \frac{\overset{⃗}{u}}{2} .\)

Vậy \(\overset{\rightarrow}{B F}\) song song và bằng độ dài với \(\overset{\rightarrow}{E D}\) (chỉ ngược chiều), tức \(B F \parallel E D\) và \(B F = E D\).

Vì hai cặp cạnh đối song song, tứ giác \(E B F D\) là hình bình hành.

b) Giao điểm \(O\) của hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) là trung điểm của mỗi đường chéo, nên

Tính

Ta có \(\overset{\rightarrow}{O E} = - \overset{\rightarrow}{O F}\), nên \(E , O , F\) thẳng hàng và \(O\) là trung điểm của \(E F\). Do đó \(E , O , F\) thẳng hàng.

Kết luận: (a) \(E B F D\) là hình bình hành; (b) \(E , O , F\) thẳng hàng (với \(O\) là trung điểm \(E F\)). □

Chứng minh bằng tọa độ vectơ (đơn ngắn, rõ ràng).

Gọi \(\overset{⃗}{a} , \overset{⃗}{b} , \overset{⃗}{c}\) là vectơ vị trí của \(A , B , C\) tương ứng. Vì \(M\) là trung điểm của \(A C\) và \(N\) là trung điểm của \(A B\), nên

\(\overset{⃗}{m} = \frac{\overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{c}}{2} , \overset{⃗}{n} = \frac{\overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b}}{2} .\)

Giao điểm của hai đường trung tuyến (trọng tâm) là

\(\overset{⃗}{g} = \frac{\overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{c}}{3} .\)

Theo giả thiết \(P\) và \(Q\) là trung điểm của \(G B\) và \(G C\), vậy

\(\overset{⃗}{p} = \frac{\overset{⃗}{g} + \overset{⃗}{b}}{2} = \frac{\frac{\overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{c}}{3} + \overset{⃗}{b}}{2} = \frac{\overset{⃗}{a} + 4 \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{c}}{6} ,\) \(\overset{⃗}{q} = \frac{\overset{⃗}{g} + \overset{⃗}{c}}{2} = \frac{\frac{\overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{c}}{3} + \overset{⃗}{c}}{2} = \frac{\overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} + 4 \overset{⃗}{c}}{6} .\)

Tính các vectơ cạnh của tứ giác \(P Q M N\).

1. \(\overset{\rightarrow}{P Q} = \overset{⃗}{q} - \overset{⃗}{p} = \frac{\overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} + 4 \overset{⃗}{c} - \left(\right. \overset{⃗}{a} + 4 \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{c} \left.\right)}{6} = \frac{- 3 \overset{⃗}{b} + 3 \overset{⃗}{c}}{6} = \frac{\overset{⃗}{c} - \overset{⃗}{b}}{2} .\)
2. \(\overset{\rightarrow}{M N} = \overset{⃗}{n} - \overset{⃗}{m} = \frac{\overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b}}{2} - \frac{\overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{c}}{2} = \frac{\overset{⃗}{b} - \overset{⃗}{c}}{2} .\)

Từ đó \(\overset{\rightarrow}{P Q} = - \overset{\rightarrow}{M N}\). Vậy \(P Q \parallel M N\) và \(\mid P Q \mid = \mid M N \mid\).

1. \(\overset{\rightarrow}{P N} = \overset{⃗}{n} - \overset{⃗}{p} = \frac{3 \overset{⃗}{a} + 3 \overset{⃗}{b} + 0 \overset{⃗}{c} - \left(\right. \overset{⃗}{a} + 4 \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{c} \left.\right)}{6} = \frac{2 \overset{⃗}{a} - \overset{⃗}{b} - \overset{⃗}{c}}{6} .\)
2. \(\overset{\rightarrow}{Q M} = \overset{⃗}{m} - \overset{⃗}{q} = \frac{3 \overset{⃗}{a} + 0 \overset{⃗}{b} + 3 \overset{⃗}{c} - \left(\right. \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} + 4 \overset{⃗}{c} \left.\right)}{6} = \frac{- 2 \overset{⃗}{a} + \overset{⃗}{b} + \overset{⃗}{c}}{6} = - \overset{\rightarrow}{P N} .\)

Vậy \(\overset{\rightarrow}{P N} = - \overset{\rightarrow}{Q M}\), do đó \(P N \parallel Q M\) và \(\mid P N \mid = \mid Q M \mid\).

Hai cặp cạnh đối lập cùng song song (và cùng độ dài) nên \(P Q M N\) là hình bình hành. □

Chứng minh bằng tọa độ/vectơ (lấy \(A\) làm gốc). Gọi

\(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{v} , \overset{⃗}{A D} = \overset{⃗}{u} .\)

Khi đó

\(\overset{⃗}{A} = \overset{⃗}{0} , \overset{⃗}{B} = \overset{⃗}{v} , \overset{⃗}{D} = \overset{⃗}{u} , \overset{⃗}{C} = \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} .\)

Theo giả thiết, \(B\) là trung điểm của \(A E\) nên

\(\overset{⃗}{E} = 2 \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{A} = 2 \overset{⃗}{v} .\)

C và D là trung điểm của \(D F\) (nghĩa là \(C\) là trung điểm của \(D F\)) nên

\(\overset{⃗}{F} = 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{D} = 2 \left(\right. \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} \left.\right) - \overset{⃗}{u} = \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} + \overset{⃗}{v} = \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} .\)

a) Xét tứ giác \(A E F D\) (theo thứ tự \(A \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ E \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ F \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ D\)):

• \(\overset{\rightarrow}{A E} = \overset{⃗}{E} - \overset{⃗}{A} = 2 \overset{⃗}{v} .\)
• \(\overset{\rightarrow}{F D} = \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{F} = \overset{⃗}{u} - \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right) = - 2 \overset{⃗}{v} .\)

Do đó \(\overset{\rightarrow}{A E}\) song song và bằng độ dài với \(\overset{\rightarrow}{D F}\) (chỉ ngược chiều), tức \(A E \parallel F D\).

• \(\overset{\rightarrow}{E F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{E} = \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right) - 2 \overset{⃗}{v} = \overset{⃗}{u} .\)
• \(\overset{\rightarrow}{A D} = \overset{⃗}{u} .\)

Vậy \(E F \parallel A D\). Vì hai cặp cạnh đối diện song song, \(A E F D\) là hình bình hành.

Xét tứ giác \(A B F C\) (theo thứ tự \(A \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ B \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ F \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ C\)):

• \(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{⃗}{v} , \overset{\rightarrow}{F C} = \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{F} = \left(\right. \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} \left.\right) - \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right) = - \overset{⃗}{v}\), nên \(A B \parallel F C\).
• \(\overset{\rightarrow}{B F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{B} = \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right) - \overset{⃗}{v} = \overset{⃗}{u} + \overset{⃗}{v} , \overset{\rightarrow}{C A} = \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{C} = - \left(\right. \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} \left.\right)\), nên \(B F \parallel C A\).

Vậy \(A B F C\) cũng là hình bình hành.

b) Tính hoành độ các trung điểm.

• Trung điểm \(M_{A F}\) của \(A F\):

\(\frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{F}}{2} = \frac{\overset{⃗}{0} + \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right)}{2} = \overset{⃗}{v} + \frac{\overset{⃗}{u}}{2} .\)

• Trung điểm \(M_{D E}\) của \(D E\):

\(\frac{\overset{⃗}{D} + \overset{⃗}{E}}{2} = \frac{\overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v}}{2} = \overset{⃗}{v} + \frac{\overset{⃗}{u}}{2} .\)

• Trung điểm \(M_{B C}\) của \(B C\):

\(\frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{2} = \frac{\overset{⃗}{v} + \left(\right. \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} \left.\right)}{2} = \overset{⃗}{v} + \frac{\overset{⃗}{u}}{2} .\)

Ba trung điểm đều có tọa độ \(\overset{⃗}{v} + \frac{\overset{⃗}{u}}{2}\); do đó chúng trùng nhau.

Kết luận: (a) \(A E F D\) và \(A B F C\) là hai hình bình hành; (b) các trung điểm của \(A F , \textrm{ }\textrm{ } D E , \textrm{ }\textrm{ } B C\) trùng nhau.

Chứng minh bằng tọa độ/vectơ (lấy \(A\) làm gốc). Gọi

\(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{v} , \overset{⃗}{A D} = \overset{⃗}{u} .\)

Khi đó

\(\overset{⃗}{A} = \overset{⃗}{0} , \overset{⃗}{B} = \overset{⃗}{v} , \overset{⃗}{D} = \overset{⃗}{u} , \overset{⃗}{C} = \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} .\)

Theo giả thiết, \(B\) là trung điểm của \(A E\) nên

\(\overset{⃗}{E} = 2 \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{A} = 2 \overset{⃗}{v} .\)

C và D là trung điểm của \(D F\) (nghĩa là \(C\) là trung điểm của \(D F\)) nên

\(\overset{⃗}{F} = 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{D} = 2 \left(\right. \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} \left.\right) - \overset{⃗}{u} = \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} + \overset{⃗}{v} = \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} .\)

a) Xét tứ giác \(A E F D\) (theo thứ tự \(A \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ E \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ F \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ D\)):

• \(\overset{\rightarrow}{A E} = \overset{⃗}{E} - \overset{⃗}{A} = 2 \overset{⃗}{v} .\)
• \(\overset{\rightarrow}{F D} = \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{F} = \overset{⃗}{u} - \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right) = - 2 \overset{⃗}{v} .\)

Do đó \(\overset{\rightarrow}{A E}\) song song và bằng độ dài với \(\overset{\rightarrow}{D F}\) (chỉ ngược chiều), tức \(A E \parallel F D\).

• \(\overset{\rightarrow}{E F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{E} = \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right) - 2 \overset{⃗}{v} = \overset{⃗}{u} .\)
• \(\overset{\rightarrow}{A D} = \overset{⃗}{u} .\)

Vậy \(E F \parallel A D\). Vì hai cặp cạnh đối diện song song, \(A E F D\) là hình bình hành.

Xét tứ giác \(A B F C\) (theo thứ tự \(A \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ B \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ F \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ C\)):

• \(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{⃗}{v} , \overset{\rightarrow}{F C} = \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{F} = \left(\right. \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} \left.\right) - \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right) = - \overset{⃗}{v}\), nên \(A B \parallel F C\).
• \(\overset{\rightarrow}{B F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{B} = \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right) - \overset{⃗}{v} = \overset{⃗}{u} + \overset{⃗}{v} , \overset{\rightarrow}{C A} = \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{C} = - \left(\right. \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} \left.\right)\), nên \(B F \parallel C A\).

Vậy \(A B F C\) cũng là hình bình hành.

b) Tính hoành độ các trung điểm.

• Trung điểm \(M_{A F}\) của \(A F\):

\(\frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{F}}{2} = \frac{\overset{⃗}{0} + \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right)}{2} = \overset{⃗}{v} + \frac{\overset{⃗}{u}}{2} .\)

• Trung điểm \(M_{D E}\) của \(D E\):

\(\frac{\overset{⃗}{D} + \overset{⃗}{E}}{2} = \frac{\overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v}}{2} = \overset{⃗}{v} + \frac{\overset{⃗}{u}}{2} .\)

• Trung điểm \(M_{B C}\) của \(B C\):

\(\frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{2} = \frac{\overset{⃗}{v} + \left(\right. \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} \left.\right)}{2} = \overset{⃗}{v} + \frac{\overset{⃗}{u}}{2} .\)

Ba trung điểm đều có tọa độ \(\overset{⃗}{v} + \frac{\overset{⃗}{u}}{2}\); do đó chúng trùng nhau.

Kết luận: (a) \(A E F D\) và \(A B F C\) là hai hình bình hành; (b) các trung điểm của \(A F , \textrm{ }\textrm{ } D E , \textrm{ }\textrm{ } B C\) trùng nhau.

Chứng minh bằng tọa độ/vectơ (lấy \(A\) làm gốc). Gọi

\(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{v} , \overset{⃗}{A D} = \overset{⃗}{u} .\)

Khi đó

\(\overset{⃗}{A} = \overset{⃗}{0} , \overset{⃗}{B} = \overset{⃗}{v} , \overset{⃗}{D} = \overset{⃗}{u} , \overset{⃗}{C} = \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} .\)

Theo giả thiết, \(B\) là trung điểm của \(A E\) nên

\(\overset{⃗}{E} = 2 \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{A} = 2 \overset{⃗}{v} .\)

C và D là trung điểm của \(D F\) (nghĩa là \(C\) là trung điểm của \(D F\)) nên

\(\overset{⃗}{F} = 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{D} = 2 \left(\right. \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} \left.\right) - \overset{⃗}{u} = \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} + \overset{⃗}{v} = \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} .\)

a) Xét tứ giác \(A E F D\) (theo thứ tự \(A \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ E \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ F \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ D\)):

• \(\overset{\rightarrow}{A E} = \overset{⃗}{E} - \overset{⃗}{A} = 2 \overset{⃗}{v} .\)
• \(\overset{\rightarrow}{F D} = \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{F} = \overset{⃗}{u} - \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right) = - 2 \overset{⃗}{v} .\)

Do đó \(\overset{\rightarrow}{A E}\) song song và bằng độ dài với \(\overset{\rightarrow}{D F}\) (chỉ ngược chiều), tức \(A E \parallel F D\).

• \(\overset{\rightarrow}{E F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{E} = \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right) - 2 \overset{⃗}{v} = \overset{⃗}{u} .\)
• \(\overset{\rightarrow}{A D} = \overset{⃗}{u} .\)

Vậy \(E F \parallel A D\). Vì hai cặp cạnh đối diện song song, \(A E F D\) là hình bình hành.

Xét tứ giác \(A B F C\) (theo thứ tự \(A \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ B \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ F \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ C\)):

• \(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{⃗}{v} , \overset{\rightarrow}{F C} = \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{F} = \left(\right. \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} \left.\right) - \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right) = - \overset{⃗}{v}\), nên \(A B \parallel F C\).
• \(\overset{\rightarrow}{B F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{B} = \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right) - \overset{⃗}{v} = \overset{⃗}{u} + \overset{⃗}{v} , \overset{\rightarrow}{C A} = \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{C} = - \left(\right. \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} \left.\right)\), nên \(B F \parallel C A\).

Vậy \(A B F C\) cũng là hình bình hành.

b) Tính hoành độ các trung điểm.

• Trung điểm \(M_{A F}\) của \(A F\):

\(\frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{F}}{2} = \frac{\overset{⃗}{0} + \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right)}{2} = \overset{⃗}{v} + \frac{\overset{⃗}{u}}{2} .\)

• Trung điểm \(M_{D E}\) của \(D E\):

\(\frac{\overset{⃗}{D} + \overset{⃗}{E}}{2} = \frac{\overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v}}{2} = \overset{⃗}{v} + \frac{\overset{⃗}{u}}{2} .\)

• Trung điểm \(M_{B C}\) của \(B C\):

\(\frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{2} = \frac{\overset{⃗}{v} + \left(\right. \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} \left.\right)}{2} = \overset{⃗}{v} + \frac{\overset{⃗}{u}}{2} .\)

Ba trung điểm đều có tọa độ \(\overset{⃗}{v} + \frac{\overset{⃗}{u}}{2}\); do đó chúng trùng nhau.

Kết luận: (a) \(A E F D\) và \(A B F C\) là hai hình bình hành; (b) các trung điểm của \(A F , \textrm{ }\textrm{ } D E , \textrm{ }\textrm{ } B C\) trùng nhau.

Chứng minh bằng tọa độ/vectơ (lấy \(A\) làm gốc). Gọi

\(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{v} , \overset{⃗}{A D} = \overset{⃗}{u} .\)

Khi đó

\(\overset{⃗}{A} = \overset{⃗}{0} , \overset{⃗}{B} = \overset{⃗}{v} , \overset{⃗}{D} = \overset{⃗}{u} , \overset{⃗}{C} = \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} .\)

Theo giả thiết, \(B\) là trung điểm của \(A E\) nên

\(\overset{⃗}{E} = 2 \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{A} = 2 \overset{⃗}{v} .\)

C và D là trung điểm của \(D F\) (nghĩa là \(C\) là trung điểm của \(D F\)) nên

\(\overset{⃗}{F} = 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{D} = 2 \left(\right. \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} \left.\right) - \overset{⃗}{u} = \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} + \overset{⃗}{v} = \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} .\)

a) Xét tứ giác \(A E F D\) (theo thứ tự \(A \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ E \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ F \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ D\)):

• \(\overset{\rightarrow}{A E} = \overset{⃗}{E} - \overset{⃗}{A} = 2 \overset{⃗}{v} .\)
• \(\overset{\rightarrow}{F D} = \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{F} = \overset{⃗}{u} - \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right) = - 2 \overset{⃗}{v} .\)

Do đó \(\overset{\rightarrow}{A E}\) song song và bằng độ dài với \(\overset{\rightarrow}{D F}\) (chỉ ngược chiều), tức \(A E \parallel F D\).

• \(\overset{\rightarrow}{E F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{E} = \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right) - 2 \overset{⃗}{v} = \overset{⃗}{u} .\)
• \(\overset{\rightarrow}{A D} = \overset{⃗}{u} .\)

Vậy \(E F \parallel A D\). Vì hai cặp cạnh đối diện song song, \(A E F D\) là hình bình hành.

Xét tứ giác \(A B F C\) (theo thứ tự \(A \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ B \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ F \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ C\)):

• \(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{⃗}{v} , \overset{\rightarrow}{F C} = \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{F} = \left(\right. \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} \left.\right) - \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right) = - \overset{⃗}{v}\), nên \(A B \parallel F C\).
• \(\overset{\rightarrow}{B F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{B} = \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right) - \overset{⃗}{v} = \overset{⃗}{u} + \overset{⃗}{v} , \overset{\rightarrow}{C A} = \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{C} = - \left(\right. \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} \left.\right)\), nên \(B F \parallel C A\).

Vậy \(A B F C\) cũng là hình bình hành.

b) Tính hoành độ các trung điểm.

• Trung điểm \(M_{A F}\) của \(A F\):

\(\frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{F}}{2} = \frac{\overset{⃗}{0} + \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right)}{2} = \overset{⃗}{v} + \frac{\overset{⃗}{u}}{2} .\)

• Trung điểm \(M_{D E}\) của \(D E\):

\(\frac{\overset{⃗}{D} + \overset{⃗}{E}}{2} = \frac{\overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v}}{2} = \overset{⃗}{v} + \frac{\overset{⃗}{u}}{2} .\)

• Trung điểm \(M_{B C}\) của \(B C\):

\(\frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{2} = \frac{\overset{⃗}{v} + \left(\right. \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} \left.\right)}{2} = \overset{⃗}{v} + \frac{\overset{⃗}{u}}{2} .\)

Ba trung điểm đều có tọa độ \(\overset{⃗}{v} + \frac{\overset{⃗}{u}}{2}\); do đó chúng trùng nhau.

Kết luận: (a) \(A E F D\) và \(A B F C\) là hai hình bình hành; (b) các trung điểm của \(A F , \textrm{ }\textrm{ } D E , \textrm{ }\textrm{ } B C\) trùng nhau.

Chứng minh bằng tọa độ/vectơ (lấy \(A\) làm gốc). Gọi

\(\overset{⃗}{A B} = \overset{⃗}{v} , \overset{⃗}{A D} = \overset{⃗}{u} .\)

Khi đó

\(\overset{⃗}{A} = \overset{⃗}{0} , \overset{⃗}{B} = \overset{⃗}{v} , \overset{⃗}{D} = \overset{⃗}{u} , \overset{⃗}{C} = \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} .\)

Theo giả thiết, \(B\) là trung điểm của \(A E\) nên

\(\overset{⃗}{E} = 2 \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{A} = 2 \overset{⃗}{v} .\)

C và D là trung điểm của \(D F\) (nghĩa là \(C\) là trung điểm của \(D F\)) nên

\(\overset{⃗}{F} = 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{D} = 2 \left(\right. \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} \left.\right) - \overset{⃗}{u} = \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} + \overset{⃗}{v} = \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} .\)

a) Xét tứ giác \(A E F D\) (theo thứ tự \(A \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ E \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ F \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ D\)):

• \(\overset{\rightarrow}{A E} = \overset{⃗}{E} - \overset{⃗}{A} = 2 \overset{⃗}{v} .\)
• \(\overset{\rightarrow}{F D} = \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{F} = \overset{⃗}{u} - \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right) = - 2 \overset{⃗}{v} .\)

Do đó \(\overset{\rightarrow}{A E}\) song song và bằng độ dài với \(\overset{\rightarrow}{D F}\) (chỉ ngược chiều), tức \(A E \parallel F D\).

• \(\overset{\rightarrow}{E F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{E} = \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right) - 2 \overset{⃗}{v} = \overset{⃗}{u} .\)
• \(\overset{\rightarrow}{A D} = \overset{⃗}{u} .\)

Vậy \(E F \parallel A D\). Vì hai cặp cạnh đối diện song song, \(A E F D\) là hình bình hành.

Xét tứ giác \(A B F C\) (theo thứ tự \(A \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ B \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ F \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ C\)):

• \(\overset{\rightarrow}{A B} = \overset{⃗}{v} , \overset{\rightarrow}{F C} = \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{F} = \left(\right. \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} \left.\right) - \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right) = - \overset{⃗}{v}\), nên \(A B \parallel F C\).
• \(\overset{\rightarrow}{B F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{B} = \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right) - \overset{⃗}{v} = \overset{⃗}{u} + \overset{⃗}{v} , \overset{\rightarrow}{C A} = \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{C} = - \left(\right. \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} \left.\right)\), nên \(B F \parallel C A\).

Vậy \(A B F C\) cũng là hình bình hành.

b) Tính hoành độ các trung điểm.

• Trung điểm \(M_{A F}\) của \(A F\):

\(\frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{F}}{2} = \frac{\overset{⃗}{0} + \left(\right. \overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v} \left.\right)}{2} = \overset{⃗}{v} + \frac{\overset{⃗}{u}}{2} .\)

• Trung điểm \(M_{D E}\) của \(D E\):

\(\frac{\overset{⃗}{D} + \overset{⃗}{E}}{2} = \frac{\overset{⃗}{u} + 2 \overset{⃗}{v}}{2} = \overset{⃗}{v} + \frac{\overset{⃗}{u}}{2} .\)

• Trung điểm \(M_{B C}\) của \(B C\):

\(\frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{2} = \frac{\overset{⃗}{v} + \left(\right. \overset{⃗}{v} + \overset{⃗}{u} \left.\right)}{2} = \overset{⃗}{v} + \frac{\overset{⃗}{u}}{2} .\)

Ba trung điểm đều có tọa độ \(\overset{⃗}{v} + \frac{\overset{⃗}{u}}{2}\); do đó chúng trùng nhau.

Kết luận: (a) \(A E F D\) và \(A B F C\) là hai hình bình hành; (b) các trung điểm của \(A F , \textrm{ }\textrm{ } D E , \textrm{ }\textrm{ } B C\) trùng nhau.

Ta làm rõ bằng đối xứng tâm (quay 180° quanh \(O\)) — đây là cách ngắn gọn và trực quan.

Vì \(A B C D\) là hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại \(O\) nên \(O\) là tâm đối xứng của hình (quay \(180^{\circ}\) quanh \(O\) đổi \(A \leftrightarrow C\) và \(B \leftrightarrow D\)). Kí hiệu phép quay tâm \(O\) góc \(180^{\circ}\) là \(R_{O}\).

1. \(R_{O}\) gửi đường thẳng \(A B\) sang đường thẳng \(C D\).
   Vì \(M \in A B\), ảnh của \(M\) qua \(R_{O}\) là một điểm trên \(C D\) nằm trên cùng đường thẳng đi qua \(O\) (vì tâm đối xứng giữ \(O\)). Do đó ảnh của \(M\) chính là \(N\). Tức là

Phép quay 180° quanh \(O\) biến vectơ \(\overset{\rightarrow}{O A}\) thành \(\overset{\rightarrow}{O C}\) và \(\overset{\rightarrow}{O M}\) thành \(\overset{\rightarrow}{O N}\) thỏa \(\overset{\rightarrow}{O C} = - \overset{\rightarrow}{O A} , \&\text{nbsp}; \overset{\rightarrow}{O N} = - \overset{\rightarrow}{O M}\). Do đó

và góc \(\angle A O M\) tương ứng với góc \(\angle C O N\). Vậy tam giác \(O A M\) song song và bằng cạnh — góc (SAS) với tam giác \(O C N\), tức

1. Từ đối xứng \(R_{O}\) còn có \(R_{O} \left(\right. B \left.\right) = D\) và \(R_{O} \left(\right. M \left.\right) = N\). Vì \(R_{O}\) bảo toàn song song và độ dài, đoạn thẳng \(M B\) có ảnh là đoạn \(N D\); vậy \(M B \parallel N D\) và \(M B = N D\). Tương tự ảnh của đoạn \(B N\) là \(D M\), nên \(B N \parallel D M\) và \(B N = D M\). Do đó hai cặp cạnh đối của tứ giác \(M B N D\) song song (và bằng nhau), nên \(M B N D\) là hình bình hành.

Kết luận: \(\triangle O A M \cong \triangle O C N\) và \(M B N D\) là hình bình hành. □

Ta làm rõ bằng đối xứng tâm (quay 180° quanh \(O\)) — đây là cách ngắn gọn và trực quan.

Vì \(A B C D\) là hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại \(O\) nên \(O\) là tâm đối xứng của hình (quay \(180^{\circ}\) quanh \(O\) đổi \(A \leftrightarrow C\) và \(B \leftrightarrow D\)). Kí hiệu phép quay tâm \(O\) góc \(180^{\circ}\) là \(R_{O}\).

1. \(R_{O}\) gửi đường thẳng \(A B\) sang đường thẳng \(C D\).
   Vì \(M \in A B\), ảnh của \(M\) qua \(R_{O}\) là một điểm trên \(C D\) nằm trên cùng đường thẳng đi qua \(O\) (vì tâm đối xứng giữ \(O\)). Do đó ảnh của \(M\) chính là \(N\). Tức là

Phép quay 180° quanh \(O\) biến vectơ \(\overset{\rightarrow}{O A}\) thành \(\overset{\rightarrow}{O C}\) và \(\overset{\rightarrow}{O M}\) thành \(\overset{\rightarrow}{O N}\) thỏa \(\overset{\rightarrow}{O C} = - \overset{\rightarrow}{O A} , \&\text{nbsp}; \overset{\rightarrow}{O N} = - \overset{\rightarrow}{O M}\). Do đó

và góc \(\angle A O M\) tương ứng với góc \(\angle C O N\). Vậy tam giác \(O A M\) song song và bằng cạnh — góc (SAS) với tam giác \(O C N\), tức

1. Từ đối xứng \(R_{O}\) còn có \(R_{O} \left(\right. B \left.\right) = D\) và \(R_{O} \left(\right. M \left.\right) = N\). Vì \(R_{O}\) bảo toàn song song và độ dài, đoạn thẳng \(M B\) có ảnh là đoạn \(N D\); vậy \(M B \parallel N D\) và \(M B = N D\). Tương tự ảnh của đoạn \(B N\) là \(D M\), nên \(B N \parallel D M\) và \(B N = D M\). Do đó hai cặp cạnh đối của tứ giác \(M B N D\) song song (và bằng nhau), nên \(M B N D\) là hình bình hành.

Kết luận: \(\triangle O A M \cong \triangle O C N\) và \(M B N D\) là hình bình hành. □