∘B=C=BOC=90∘

Nên \(O B A C\) là hình chữ nhật.

Mà \(A\) nằm trên tia phân giác \(O M\) suy ra \(A B = A C\).

Khi đó \(O B A C\) là hình vuông.

Bài làm của tôi

Tứ giác \(OBACOBAC có ba góc vuông B^=C^=BOC^=90∘B^=C^=BOC^=90∘\)

Nên \(OBACOBAC là hình chữ nhật.\)

Mà \(AA nằm trên tia phân giác OMOM suy ra AB=ACAB=AC.\)

Khi đó \(OBACOBAC là hình vuông.\)

Cho \(\Delta A B C\) vuông cân tại \(A\). Trên cạnh \(B C\)lấy hai điểm \(H , G\) sao cho \(B H = H G = G C .\) Qua \(H\) và \(G\) kẻ các đường thẳng vuông góc với \(B C\) chúng cắt \(A B , A C\) lần lượt tại \(E , F .\)

a) Chứng minh \(\Delta B H E\) là tam giác vuông cân.

b) Chứng minh tứ giác \(E F G H\) là hình vuông.

Hướng dẫn giải

Bài làm của tôi

a) \(ΔABCΔABC vuông cân nên B^=C^=45∘.B^=C^=45∘.\)

\(ΔBHEΔBHE vuông tại HH có BEH^+B^=90∘BEH^+B^=90∘\)

Suy ra \(BEH^=90∘−45∘=45∘BEH^=90∘−45∘=45∘ nên B^=BEH^=45∘B^=BEH^=45∘.\)

Vậy \(ΔBEHΔBEH vuông cân tại H.H.\)

b) Chứng minh tương tự câu a ta được \(ΔCFGΔCFG vuông cân tại GG nên GF=GCGF=GC và HB=HEHB=HE\)

Mặt khác \(BH=HG=GCBH=HG=GC suy ra EH=HG=GFEH=HG=GF và EHEH // FGFG (cùng vuông góc với BC)BC)\)

Cho \(\Delta A B C\) vuông tại \(A ,\) đường trung tuyến \(A M .\) Gọi \(I\) là trung điểm của \(A C\). Trên tia đối của tia \(I M\) lấy điểm \(K\) sao cho \(I K = I M .\)

a) Chứng minh \(A M C K\) là hình thoi.

b) Chứng minh \(A K M B\) là hình bình hành.

c) Tìm điều kiện của \(\Delta A B C\) để tứ giác \(A M C K\) là hình vuông. 

Hướng dẫn giải

a) Tứ giác \(A M C K\) có hai đường chéo \(A C , M K\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

\(\Delta A B C\) vuông tại \(A\) có \(A M\) là đường trung tuyến nên \(A M = M C = M B\).

Vậy hình bình hành \(A M C K\) có \(A M = M C\)nên là hình thoi.

b) Vì \(A M C K\) là hình thoi nên \(A K\) // \(B M\)và \(A K = M C = B M\).

Tứ giác \(A K M B\) có \(A K\) // \(B M , A K = B M\) nên là hình bình hành.

c) Để \(A M C K\) là hình vuông thì cần có một góc vuông hay \(A M ⊥ M C\).

Khi đó \(\Delta A B C\) có \(A M\) vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại \(A\).

Vậy \(\Delta A B C\) vuông cân tại \(A\) thì \(A M C K\) là hình vuông.

Bài làm của tôi

a) Tứ giác \(AMCKAMCK có hai đường chéo AC,MKAC,MK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.\)

\(ΔABCΔABC vuông tại AA có AMAM là đường trung tuyến nên AM=MC=MBAM=MC=MB.\)

Vậy hình bình hành \(AMCKAMCK có AM=MCAM=MCnên là hình thoi.\)

b) Vì \(AMCKAMCK là hình thoi nên AKAK // BMBMvà AK=MC=BMAK=MC=BM.\)

Tứ giác \(AKMBAKMB có AKAK // BM,AK=BMBM,AK=BM nên là hình bình hành.\)

c) Để \(AMCKAMCK là hình vuông thì cần có một góc vuông hay AM⊥MCAM⊥MC.\)

Khi đó \(ΔABCΔABC có AMAM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại AA.\)

Vậy \(ΔABCΔABC vuông cân tại AA thì AMCKAMCK là hình vuông.\)

Cho hình vuông \(A B C D\). Trên các cạnh \(A B , B C ,\) \(C D , D A\) lấy lần lượt các điểm \(M , N , P , Q\) sao cho \(A M = B N = C P = D Q .\)

a) Chứng minh \(M B = N C = P D = Q A .\)

b) Chứng minh \(\Delta Q A M = \Delta N C P .\)

c) Chứng minh \(M N P Q\) là hình vuông.

Hướng dẫn giải

a) \(A B C D\) là hình vuông nên \(A B = B C = C D = D A\)

Mà \(A M = B N = C P = D Q\).

Trừ theo vế ta được \(A B - A M = B C - B N = C D - C P = D A - D Q\)

Suy ra \(M B = N C = P D = Q A\)

b) Xét \(\Delta Q A M\) và \(\Delta N C P\) có:

\(\hat{A} = \hat{C} = 90^{\circ}\)

\(A Q = N C\) (chứng minh trên)

\(A M = C P\) (giả thiết)

Suy ra \(\Delta Q A M = \Delta N C P\) (c.g.c)

c) Từ \(\Delta Q A M = \Delta N C P\) suy ra \(N P = M Q\)(hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự câu b ta có \(\Delta Q A M = \Delta P D Q\) và \(\Delta Q A M = \Delta M B N\).

Khi đó \(\Rightarrow M Q = P Q , M N = M Q\) và \(\hat{A M Q} = \hat{D Q P}\).

Mà \(\hat{A M Q} + \hat{A Q M} = 90^{\circ}\) suy ra \(\hat{D Q P} + \hat{A Q M} = 90^{\circ}\).

Do đó, \(\hat{M Q P} = 90^{\circ}\).

Tứ giác \(M N P Q\) có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi, lại có \(\hat{M Q P} = 90^{\circ}\) nên là hình vuông.

Bài làm của tôi

Tứ giác \(OBACOBAC có ba góc vuông B^=C^=BOC^=90∘B^=C^=BOC^=90∘\)

Nên \(OBACOBAC là hình chữ nhật.\)

Mà \(AA nằm trên tia phân giác OMOM suy ra AB=ACAB=AC.\)

Khi đó \(OBACOBAC là hình vuông.\)

Bài làm của tôi

Tứ giác \(OBACOBAC coˊbagoˊcvuo^ng B=C=BOC=90∘B=C=BOC=90∘OBACOBAC coˊbagoˊcvuo^ng B=C=BOC=90∘B=C=BOC=90∘\)

Nên \(OBACOBAC laˋhıˋnhchữnhật.OBACOBAC laˋhıˋnhchữnhật.\)

Mà \(AA na˘ˋmtre^ntiapha^ngiaˊc OMOM suyra AB=ACAB=AC.AA na˘ˋmtre^ntiapha^ngiaˊc OMOM suyra AB=ACAB=AC.\)

Khi đó \(OBACOBAC laˋhıˋnhvuo^ng.OBACOBAC laˋhıˋnhvuo^ng.\)

Cho \(ΔABCΔABC vuông cân tại AA. Trên cạnh BCBClấy hai điểm H,GH,G sao cho BH=HG=GC.BH=HG=GC. Qua HH và GG kẻ các đường thẳng vuông góc với BCBC chúng cắt AB,ACAB,AC lần lượt tại E,F.E,F.\)

a) Chứng minh \(ΔBHEΔBHE là tam giác vuông cân.\)

b) Chứng minh tứ giác \(EFGHEFGH là hình vuông.\)

Hướng dẫn giải

Bài làm của tôi

a) \(ΔABCΔABC vuo^ngca^nne^n B=C=45∘.B=C=45∘.ΔABCΔABC vuo^ngca^nne^n B=C=45∘.B=C=45∘.\)

\(ΔBHEΔBHE vuo^ngtại HH coˊ BEH+B=90∘BEH+B=90∘ΔBHEΔBHE vuo^ngtại HH coˊ BEH+B=90∘BEH+B=90∘\)

Suy ra \(BEH=90∘−45∘=45∘BEH=90∘−45∘=45∘ ne^n B=BEH=45∘B=BEH=45∘.BEH=90∘−45∘=45∘BEH=90∘−45∘=45∘ ne^n B=BEH=45∘B=BEH=45∘.\)

Vậy \(ΔBEHΔBEH vuo^ngca^ntại H.H.ΔBEHΔBEH vuo^ngca^ntại H.H.\)

b) Chứng minh tương tự câu a ta được \(ΔCFGΔCFG vuo^ngca^ntại GG ne^n GF=GCGF=GC vaˋ HB=HEHB=HEΔCFGΔCFG vuo^ngca^ntại GG ne^n GF=GCGF=GC vaˋ HB=HEHB=HE\)

Mặt khác \(BH=HG=GCBH=HG=GC suyra EH=HG=GFEH=HG=GF vaˋ EHEH // FGFG (cuˋngvuo^nggoˊcvới BC)BC)BH=HG=GCBH=HG=GC suyra EH=HG=GFEH=HG=GF vaˋ EHEH // FGFG (cuˋngvuo^nggoˊcvới BC)BC)\)

Cho \(ΔABCΔABC vuông tại A,A, đường trung tuyến AM.AM. Gọi II là trung điểm của ACAC. Trên tia đối của tia IMIM lấy điểm KK sao cho IK=IM.IK=IM.\)

a) Chứng minh \(AMCKAMCK là hình thoi.\)

b) Chứng minh \(AKMBAKMB là hình bình hành.\)

c) Tìm điều kiện của \(ΔABCΔABC để tứ giác AMCKAMCK là hình vuông.\)

Hướng dẫn giải

a) Tứ giác \(AMCKAMCK có hai đường chéo AC,MKAC,MK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.\)

\(ΔABCΔABC vuông tại AA có AMAM là đường trung tuyến nên AM=MC=MBAM=MC=MB.\)

Vậy hình bình hành \(AMCKAMCK có AM=MCAM=MCnên là hình thoi.\)

b) Vì \(AMCKAMCK là hình thoi nên AKAK // BMBMvà AK=MC=BMAK=MC=BM.\)

Tứ giác \(AKMBAKMB có AKAK // BM,AK=BMBM,AK=BM nên là hình bình hành.\)

c) Để \(AMCKAMCK là hình vuông thì cần có một góc vuông hay AM⊥MCAM⊥MC.\)

Khi đó \(ΔABCΔABC có AMAM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại AA.\)

Vậy \(ΔABCΔABC vuông cân tại AA thì AMCKAMCK là hình vuông.\)

Bài làm của tôi

a) Tứ giác \(AMCKAMCK coˊhaiđườngcheˊo AC,MKAC,MK ca˘ˊtnhautạitrungđiểmcủamo^~iđườngne^nlaˋhıˋnhbıˋnhhaˋnh.AMCKAMCK coˊhaiđườngcheˊo AC,MKAC,MK ca˘ˊtnhautạitrungđiểmcủamo^~iđườngne^nlaˋhıˋnhbıˋnhhaˋnh.\)

\(ΔABCΔABC vuo^ngtại AA coˊ AMAM laˋđườngtrungtuye^ˊnne^n AM=MC=MBAM=MC=MB.ΔABCΔABC vuo^ngtại AA coˊ AMAM laˋđườngtrungtuye^ˊnne^n AM=MC=MBAM=MC=MB.\)

Vậy hình bình hành \(AMCKAMCK coˊ AM=MCAM=MCne^nlaˋhıˋnhthoi.AMCKAMCK coˊ AM=MCAM=MCne^nlaˋhıˋnhthoi.\)

b) Vì \(AMCKAMCK laˋhıˋnhthoine^n AKAK // BMBMvaˋ AK=MC=BMAK=MC=BM.AMCKAMCK laˋhıˋnhthoine^n AKAK // BMBMvaˋ AK=MC=BMAK=MC=BM.\)

Tứ giác \(AKMBAKMB coˊ AKAK // BM,AK=BMBM,AK=BM ne^nlaˋhıˋnhbıˋnhhaˋnh.AKMBAKMB coˊ AKAK // BM,AK=BMBM,AK=BM ne^nlaˋhıˋnhbıˋnhhaˋnh.\)

c) Để \(AMCKAMCK laˋhıˋnhvuo^ngthıˋca^ˋncoˊmộtgoˊcvuo^nghay AM⊥MCAM⊥MC.AMCKAMCK laˋhıˋnhvuo^ngthıˋca^ˋncoˊmộtgoˊcvuo^nghay AM⊥MCAM⊥MC.\)

Khi đó \(ΔABCΔABC coˊ AMAM vừalaˋđườngcaovừalaˋđườngtrungtuye^ˊnne^nca^ntại AA.ΔABCΔABC coˊ AMAM vừalaˋđườngcaovừalaˋđườngtrungtuye^ˊnne^nca^ntại AA.\)

Vậy \(ΔABCΔABC vuo^ngca^ntại AA thıˋ AMCKAMCK laˋhıˋnhvuo^ng.ΔABCΔABC vuo^ngca^ntại AA thıˋ AMCKAMCK laˋhıˋnhvuo^ng.\)

Cho hình vuông \(ABCDABCD. Trên các cạnh AB,BC,AB,BC, CD,DACD,DA lấy lần lượt các điểm M,N,P,QM,N,P,Q sao cho AM=BN=CP=DQ.AM=BN=CP=DQ.\)

a) Chứng minh \(MB=NC=PD=QA.MB=NC=PD=QA.\)

b) Chứng minh \(ΔQAM=ΔNCP.ΔQAM=ΔNCP.\)

c) Chứng minh \(MNPQMNPQ là hình vuông.\)

Hướng dẫn giải

a

Cho hình chữ nhật \(A B C D\) có \(A B = 2 B C .\)Gọi \(I\) là trung điểm của \(A B\) và \(K\) là trung điểm của \(D C .\)

a) Chứng minh \(A I K D\) và \(B I K C\) là hình vuông.

b) Chứng minh \(\Delta D I C\) vuông cân.

c) Gọi \(S\) và \(R\) lần lượt là tâm các hình vuông \(A I K D ,\) \(B I K C .\) Chứng minh \(\left[\right. I S K R\) là hình vuông.

Hướng dẫn giải

a) Vì

Tứ giác \(O B A C\) có ba góc vuông \(\hat{B} = \hat{C} = \hat{B O C} = 90^{\circ}\)

Nên \(O B A C\) là hình chữ nhật.

Mà \(A\) nằm trên tia phân giác \(O M\) suy ra \(A B = A C\).

Khi đó \(O B A C\) là hình vuông.

Bài làm của tôi

Tứ giác \(OBACOBAC có ba góc vuông B^=C^=BOC^=90∘B^=C^=BOC^=90∘\)

Nên \(OBACOBAC là hình chữ nhật.\)

Mà \(AA nằm trên tia phân giác OMOM suy ra AB=ACAB=AC.\)

Khi đó \(OBACOBAC là hình vuông.\)

Cho \(\Delta A B C\) vuông cân tại \(A\). Trên cạnh \(B C\)lấy hai điểm \(H , G\) sao cho \(B H = H G = G C .\) Qua \(H\) và \(G\) kẻ các đường thẳng vuông góc với \(B C\) chúng cắt \(A B , A C\) lần lượt tại \(E , F .\)

a) Chứng minh \(\Delta B H E\) là tam giác vuông cân.

b) Chứng minh tứ giác \(E F G H\) là hình vuông.

Hướng dẫn giải

Bài làm của tôi

a) \(ΔABCΔABC vuông cân nên B^=C^=45∘.B^=C^=45∘.\)

\(ΔBHEΔBHE vuông tại HH có BEH^+B^=90∘BEH^+B^=90∘\)

Suy ra \(BEH^=90∘−45∘=45∘BEH^=90∘−45∘=45∘ nên B^=BEH^=45∘B^=BEH^=45∘.\)

Vậy \(ΔBEHΔBEH vuông cân tại H.H.\)

b) Chứng minh tương tự câu a ta được \(ΔCFGΔCFG vuông cân tại GG nên GF=GCGF=GC và HB=HEHB=HE\)

Mặt khác \(BH=HG=GCBH=HG=GC suy ra EH=HG=GFEH=HG=GF và EHEH // FGFG (cùng vuông góc với BC)BC)\)

Cho \(\Delta A B C\) vuông tại \(A ,\) đường trung tuyến \(A M .\) Gọi \(I\) là trung điểm của \(A C\). Trên tia đối của tia \(I M\) lấy điểm \(K\) sao cho \(I K = I M .\)

a) Chứng minh \(A M C K\) là hình thoi.

b) Chứng minh \(A K M B\) là hình bình hành.

c) Tìm điều kiện của \(\Delta A B C\) để tứ giác \(A M C K\) là hình vuông. 

Hướng dẫn giải

a) Tứ giác \(A M C K\) có hai đường chéo \(A C , M K\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

\(\Delta A B C\) vuông tại \(A\) có \(A M\) là đường trung tuyến nên \(A M = M C = M B\).

Vậy hình bình hành \(A M C K\) có \(A M = M C\)nên là hình thoi.

b) Vì \(A M C K\) là hình thoi nên \(A K\) // \(B M\)và \(A K = M C = B M\).

Tứ giác \(A K M B\) có \(A K\) // \(B M , A K = B M\) nên là hình bình hành.

c) Để \(A M C K\) là hình vuông thì cần có một góc vuông hay \(A M ⊥ M C\).

Khi đó \(\Delta A B C\) có \(A M\) vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại \(A\).

Vậy \(\Delta A B C\) vuông cân tại \(A\) thì \(A M C K\) là hình vuông.

Bài làm của tôi

a) Tứ giác \(AMCKAMCK có hai đường chéo AC,MKAC,MK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.\)

\(ΔABCΔABC vuông tại AA có AMAM là đường trung tuyến nên AM=MC=MBAM=MC=MB.\)

Vậy hình bình hành \(AMCKAMCK có AM=MCAM=MCnên là hình thoi.\)

b) Vì \(AMCKAMCK là hình thoi nên AKAK // BMBMvà AK=MC=BMAK=MC=BM.\)

Tứ giác \(AKMBAKMB có AKAK // BM,AK=BMBM,AK=BM nên là hình bình hành.\)

c) Để \(AMCKAMCK là hình vuông thì cần có một góc vuông hay AM⊥MCAM⊥MC.\)

Khi đó \(ΔABCΔABC có AMAM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại AA.\)

Vậy \(ΔABCΔABC vuông cân tại AA thì AMCKAMCK là hình vuông.\)

Cho hình vuông \(A B C D\). Trên các cạnh \(A B , B C ,\) \(C D , D A\) lấy lần lượt các điểm \(M , N , P , Q\) sao cho \(A M = B N = C P = D Q .\)

a) Chứng minh \(M B = N C = P D = Q A .\)

b) Chứng minh \(\Delta Q A M = \Delta N C P .\)

c) Chứng minh \(M N P Q\) là hình vuông.

Hướng dẫn giải

a

a) Tứ giác \(A M C K\) có hai đường chéo \(A C , M K\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

\(\Delta A B C\) vuông tại \(A\) có \(A M\) là đường trung tuyến nên \(A M = M C = M B\).

Vậy hình bình hành \(A M C K\) có \(A M = M C\)nên là hình thoi.

b) Vì \(A M C K\) là hình thoi nên \(A K\) // \(B M\)và \(A K = M C = B M\).

Tứ giác \(A K M B\) có \(A K\) // \(B M , A K = B M\) nên là hình bình hành.

c) Để \(A M C K\) là hình vuông thì cần có một góc vuông hay \(A M ⊥ M C\).

Khi đó \(\Delta A B C\) có \(A M\) vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại \(A\).

Vậy \(\Delta A B C\) vuông cân tại \(A\) thì \(A M C K\) là hình vuông.

Tứ giác \(O B A C\) có ba góc vuông \(\hat{B} = \hat{C} = \hat{B O C} = 90^{\circ}\)

Nên \(O B A C\) là hình chữ nhật.

Mà \(A\) nằm trên tia phân giác \(O M\) suy ra \(A B = A C\).

Khi đó \(O B A C\) là hình vuông.

Bài làm của tôi

Tứ giác \(OBACOBAC có ba góc vuông B^=C^=BOC^=90∘B^=C^=BOC^=90∘\)

Nên \(OBACOBAC là hình chữ nhật.\)

Mà \(AA nằm trên tia phân giác OMOM suy ra AB=ACAB=AC.\)

Khi đó \(OBACOBAC là hình vuông.\)

Cho \(\Delta A B C\) vuông cân tại \(A\). Trên cạnh \(B C\)lấy hai điểm \(H , G\) sao cho \(B H = H G = G C .\) Qua \(H\) và \(G\) kẻ các đường thẳng vuông góc với \(B C\) chúng cắt \(A B , A C\) lần lượt tại \(E , F .\)

a) Chứng minh \(\Delta B H E\) là tam giác vuông cân.

b) Chứng minh tứ giác \(E F G H\) là hình vuông.

Hướng dẫn giải

Bài làm của tôi

a) \(ΔABCΔABC vuông cân nên B^=C^=45∘.B^=C^=45∘.\)

\(ΔBHEΔBHE vuông tại HH có BEH^+B^=90∘BEH^+B^=90∘\)

Suy ra \(BEH^=90∘−45∘=45∘BEH^=90∘−45∘=45∘ nên B^=BEH^=45∘B^=BEH^=45∘.\)

Vậy \(ΔBEHΔBEH vuông cân tại H.H.\)

b) Chứng minh tương tự câu a ta được \(ΔCFGΔCFG vuông cân tại GG nên GF=GCGF=GC và HB=HEHB=HE\)

Mặt khác \(BH=HG=GCBH=HG=GC suy ra EH=HG=GFEH=HG=GF và EHEH // FGFG (cùng vuông góc với BC)BC)\)

Cho \(\Delta A B C\) vuông tại \(A ,\) đường trung tuyến \(A M .\) Gọi \(I\) là trung điểm của \(A C\). Trên tia đối của tia \(I M\) lấy điểm \(K\) sao cho \(I K = I M .\)

a) Chứng minh \(A M C K\) là hình thoi.

b) Chứng minh \(A K M B\) là hình bình hành.

c) Tìm điều kiện của \(\Delta A B C\) để tứ giác \(A M C K\) là hình vuông. 

Hướng dẫn giải

Cho hình vuông \(A B C D\). Trên các cạnh \(A B , B C ,\) \(C D , D A\) lấy lần lượt các điểm \(M , N , P , Q\) sao cho \(A M = B N = C P = D Q .\)

a) Chứng minh \(M B = N C = P D = Q A .\)

b) Chứng minh \(\Delta Q A M = \Delta N C P .\)

c) Chứng minh \(M N P Q\) là hình vuông.

Hướng dẫn giải

Cho hình chữ nhật \(A B C D\) có \(A B = 2 B C .\)Gọi \(I\) là trung điểm của \(A B\) và \(K\) là trung điểm của \(D C .\)

a) Chứng minh \(A I K D\) và \(B I K C\) là hình vuông.

b) Chứng minh \(\Delta D I C\) vuông cân.

c) Gọi \(S\) và \(R\) lần lượt là tâm các hình vuông \(A I K D ,\) \(B I K C .\) Chứng minh \(\left[\right. I S K R\) là hình vuông.

Hướng dẫn giải

Cho \(\Delta D E F\) vuông tại \(D\) có \(D E > D F .\) \(D M\)là đường trung tuyến. Gọi \(M N\) là đường vuông góc kẻ từ \(M\) đến \(D E\), \(M K\) là đường vuông góc kẻ từ \(M\) đến \(D F .\) Trên tia \(M N\) lấy \(H\) sao cho \(N\) là trung điểm của \(M H .\)

a) Tứ giác \(D K M N\) là hình gì? Tại sao?

b) Gọi \(O\) là trung điểm của \(D M .\) Chứng minh \(3\) điểm \(H , O , F\) thẳng hàng.

c) \(\Delta D E F\) cần thêm điều kiện gì để tứ giác \(D K M N\) là hình vuông.

Hướng dẫn giải

a)

a) \(\Delta A B C\) vuông cân nên \(\hat{B} = \hat{C} = 45^{\circ} .\)

\(\Delta B H E\) vuông tại \(H\) có \(\hat{B E H} + \hat{B} = 90^{\circ}\)

Suy ra \(\hat{B E H} = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}\) nên \(\hat{B} = \hat{B E H} = 45^{\circ}\).

Vậy \(\Delta B E H\) vuông cân tại \(H .\)

b) Chứng minh tương tự câu a ta được \(\Delta C F G\) vuông cân tại \(G\) nên \(G F = G C\) và \(H B = H E\)

Mặt khác \(B H = H G = G C\) suy ra \(E H = H G = G F\) và \(E H\) // \(F G\) (cùng vuông góc với \(B C \left.\right)\)

Tứ giác \(O B A C\) có ba góc vuông \(\hat{B} = \hat{C} = \hat{B O C} = 90^{\circ}\)

Nên \(O B A C\) là hình chữ nhật.

Mà \(A\) nằm trên tia phân giác \(O M\) suy ra \(A B = A C\).

Khi đó \(O B A C\) là hình vuông.

a) \(A B C D\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(A C , B D\) cắt nhau tại \(O\) là trung điểm của mỗi đường.

Xét \(\Delta O B M\) và \(\Delta O D P\) có:

     \(O B = O D\) ( giả thiết)

     \(\hat{O B M} = \hat{O D P}\) (so le trong)

     \(\hat{B O M} = \hat{D O P}\) (đối đỉnh)

Vậy \(\Delta O B M = \Delta O D P\) (g.c.g)

Suy ra \(O M = O P\) (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự \(\Delta O A Q = \Delta O C N\)(g.c.g) suy ra \(O Q = O N\) (hai cạnh tương ứng)

\(M N P Q\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

b) Hình bình hành \(M N P Q\) có hai đường chéo \(M P ⊥ N Q\) nên là hình thoi.

a) \(A B C D\) là hình bình hành nên \(A B = D C\) suy ra \(\frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} D C\)

Do đó \(A M = B M = D N = C N\).

Tứ giác \(A M C N\) có \(A M\) // \(N C , A M = N C\) nên là hình bình hành.

Lại có \(\Delta A D C\) vuông tại \(A\) có \(A N\) là đường trung tuyến nên \(A N = \frac{1}{2} D C = D N = C N\).

Hình bình hành \(A M C N\) có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi, khi đó hai đường chéo \(A C , M N\) vuông góc với nhau.

Tứ giác \(A M C N\) là hình thoi.

Ta có \(A B C D\) là hình thoi nên \(A C ⊥ B D\)tại trung điểm của mỗi đường nên \(B D\) là trung trực của \(A C\)

Suy ra \(G A = G C , H A = H C\) \(\left(\right. 1 \left.\right)\)

Và \(A C\) là trung trực của \(B D\) suy ra \(A G = A H , C G = C H\) \(\left(\right. 2 \left.\right)\)

Từ \(\left(\right. 1 \left.\right) , \left(\right. 2 \left.\right)\) suy ra \(A G = G C = C H = H A\) nên \(A G C H\) là hình thoi.