Gọi \(P = S C \cap \left(\right. A M N \left.\right)\); \(O = A C \cap B D\)

\(\Rightarrow M N\); \(A P\); \(S O\) đồng quy tại \(I\)

Ta có: \(\left{\right. & S A ⊥ B C \\ & A B ⊥ B C\)

\(\Rightarrow B C ⊥ \left(\right. S A B \left.\right)\) \(\Rightarrow B C ⊥ A M\)

Mà \(A M ⊥ S B\) nên \(A M ⊥ \left(\right. S B C \left.\right)\)

\(\Rightarrow A M ⊥ S C\) Ta có: \(\left{\right. & S A ⊥ C D \\ & A D ⊥ C D\) \(\Rightarrow C D ⊥ \left(\right. S A D \left.\right)\)

\(\Rightarrow C D ⊥ A N\) Mà \(A N ⊥ S D\) nên \(A N ⊥ \left(\right. S C D \left.\right)\) \(\Rightarrow A N ⊥ S C\)

Do đó \(S C ⊥ \left(\right. A M N \left.\right)\)

\(\Rightarrow u n d e f i n e d \hat{\left(\right. S B ; \left(\right. A M N \left.\right) \left.\right)} = \hat{\left(\right. S B ; P M \left.\right)} = \hat{S M P} \left(\right. d o t a m g i a ˊ c \left(\right. d o t a m g i \overset{ˊ}{a} c \left(\right. d o t a m g i a ˊ c S M P\)vuông tại \(\overset{}{}\)\(P\))

Ta có: \(\frac{S P}{S C} = \frac{S A^{2}}{S C^{2}} = \frac{3}{5}\)

\(\Rightarrow S P = \frac{3}{5} . a \sqrt{5}\)

\(\frac{S M}{S B} = \frac{S A^{2}}{S B^{2}} = \frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow S M = \frac{3}{2} . a\)

\(tan ⁡ \hat{S M P} = \frac{S P}{P M} = \frac{3 a \sqrt{5}}{5} : \frac{3}{2 \sqrt{5}} a = 2\).

Theo dự kiến, cần \(24\) tháng để hoàn thành công trình. Vậy khối lượng công việc trên một tháng theo dự tính là: \(\frac{1}{24}\) (công trình)

Khối lượng công việc của tháng thứ 2 là:

\(T_{2} = \frac{1}{24} + 0 , 04. \frac{1}{24} = \frac{1}{24} \left(\right. 1 + 0 , 04 \left.\right)^{1}\)

Khối lượng công việc của tháng thứ 3 là:

\(T_{3} = \left(\right. \frac{1}{24} + 0 , 04. \frac{1}{24} \left.\right) + 0 , 04. \left(\right. \frac{1}{24} + 0 , 04. \frac{1}{24} \left.\right)\)

\(= \frac{1}{24} . \left(\left(\right. 1 + 0 , 04 \left.\right)\right)^{2}\)

Như vậy khối lượng công việc của tháng thứ \(n\) là: \(T_{n} = \frac{1}{24} . \left(\left(\right. 1 + 0 , 04 \left.\right)\right)^{n - 1}\)

Ta có: \(\frac{1}{24} . \left(\left(\right. 1 + 0 , 04 \left.\right)\right)^{0} + \frac{1}{24} . \left(\left(\right. 1 + 0 , 04 \left.\right)\right)^{1} + . . . + \frac{1}{24} . \left(\left(\right. 1 + 0 , 04 \left.\right)\right)^{n - 1} = 1\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{24} . \frac{1 - \left(\left(\right. 1 + 0 , 04 \left.\right)\right)^{n}}{1 - \left(\right. 1 + 0 , 04 \left.\right)} = 1\)

\(\Leftrightarrow \left(\left(\right. 1 + 0 , 04 \left.\right)\right)^{n} = \frac{49}{25}\)

⇔n=log⁡1+0,044925≈17,2⇔n=log1+0,04​2549​≈17,2

Vậy công trình sẽ hoàn thành ở tháng thứ \(18\) từ khi khởi công.

Gọi \(A , B\) là hai điểm tại hai vị trí chân thang và \(C , D\) là hai điểm tại hai vị trí ngọn thang, \(E F\) là đường chân tường.

Ta có \(E F / / A B\) nên \(\left(\right. E F , A C \left.\right) = \left(\right. A B , A C \left.\right) = \hat{C A B}\).

Kẻ \(C H ⊥ A B\) tại \(H\), \(D K ⊥ A B\) tại \(K\).

Ta có \(C D K H\) là hình chữ nhật nên\(C H = D K\), \(C D = H K\).

Xét \(\Delta C H A\) và \(\Delta D K B\) có:

\[\left{\right. & C A = D B \\ & \hat{C H A} = \hat{D K B} = 9 0^{\circ} \&\text{nbsp}; \\ & C H = D K\]

Nên \(\Delta C H A = \Delta D K B\) (c – g – c).

Suy ra \(A H = K B\).

Khi đó \(A H = \frac{A B - C D}{2} = 10\) (cm) \(= 0 , 1\) (m).

Vì tam giác \(A C H\) vuông tại \(H\) nên

\(cos ⁡ \hat{C A H} = \frac{A H}{A C} = \frac{0 , 1}{6} = \frac{1}{60}\)

\(\hat{C A H} \approx 89 , 0 5^{\circ}\).

Do đó, \(\hat{C A B} \approx 89 , 0 5^{\circ}\)

Vậy góc tạo giữa đường thẳng chân tường và cạnh cột thang khoảng \(89 , 0 5^{\circ} .\)