a) Tính cosα với α là góc giữa Δ và Δ₁: * Vectơ pháp tuyến của đường thẳng Δ: \vec{n_\Delta} = (3; 4) * Vectơ pháp tuyến của đường thẳng Δ₁: \vec{n_{\Delta_1}} = (5; -12) Công thức tính cosin của góc giữa hai đường thẳng (hoặc hai vectơ pháp tuyến của chúng) là: cos \alpha = \frac{|\vec{n_\Delta} \cdot \vec{n_{\Delta_1}}|}{|\vec{n_\Delta}| \cdot |\vec{n_{\Delta_1}}|} Trong đó: * \vec{n_\Delta} \cdot \vec{n_{\Delta_1}} là tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến. * |\vec{n_\Delta}| và |\vec{n_{\Delta_1}}| là độ dài của hai vectơ pháp tuyến. Tính các giá trị: * \vec{n_\Delta} \cdot \vec{n_{\Delta_1}} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot (-12) = 15 - 48 = -33 * |\vec{n_\Delta}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 * |\vec{n_{\Delta_1}}| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 Thay vào công thức: cos \alpha = \frac{|-33|}{5 \cdot 13} = \frac{33}{65} Vậy, cos \alpha = \frac{33}{65}. b) Viết phương trình đường thẳng vuông góc với Δ và tiếp xúc (C): * Đường thẳng vuông góc với Δ: Đường thẳng vuông góc với Δ có dạng 4x - 3y + c = 0 (vì vectơ pháp tuyến của đường thẳng này là (4; -3), vuông góc với vectơ pháp tuyến của Δ là (3; 4)). * Tiếp xúc với đường tròn (C): Đường tròn (C) có tâm I(3; -2) và bán kính R = \sqrt{36} = 6. Để đường thẳng 4x - 3y + c = 0 tiếp xúc với đường tròn (C), khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng phải bằng bán kính R. Công thức khoảng cách từ điểm (x_0; y_0) đến đường thẳng Ax + By + C = 0 là: d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} Trong trường hợp này, (x_0; y_0) = (3; -2), A = 4, B = -3, C = c. Vậy: d = \frac{|4 \cdot 3 + (-3) \cdot (-2) + c|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|12 + 6 + c|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|18 + c|}{\sqrt{25}} = \frac{|18 + c|}{5} Để đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, ta có d = R: \frac{|18 + c|}{5} = 6 |18 + c| = 30 Trường hợp 1: 18 + c = 30 \Rightarrow c = 30 - 18 = 12 Phương trình đường thẳng là: 4x - 3y + 12 = 0 Trường hợp 2: 18 + c = -30 \Rightarrow c = -30 - 18 = -48 Phương trình đường thẳng là: 4x - 3y - 48 = 0 Vậy có hai đường thẳng vuông góc với Δ và tiếp xúc với (C) là: * 4x - 3y + 12 = 0 * 4x - 3y - 48 = 0

Phân tích bài toán: * Khung ảnh bên trong có kích thước 17 cm x 25 cm. * Độ rộng viền xung quanh là x cm. * Diện tích toàn bộ khung ảnh (bao gồm cả viền) là 513 cm². * Yêu cầu tìm độ rộng viền x tối đa để diện tích toàn bộ khung ảnh lớn nhất là 513 cm². Giải bài toán: * Tính kích thước của toàn bộ khung ảnh: * Chiều dài của khung ảnh (bao gồm viền) sẽ là chiều dài bên trong cộng với độ rộng viền ở cả hai bên: 25 cm + x cm + x cm = 25 + 2x (cm). * Chiều rộng của khung ảnh (bao gồm viền) sẽ là chiều rộng bên trong cộng với độ rộng viền ở cả hai bên: 17 cm + x cm + x cm = 17 + 2x (cm). * Tính diện tích của toàn bộ khung ảnh: * Diện tích hình chữ nhật được tính bằng chiều dài nhân với chiều rộng. Vậy diện tích của toàn bộ khung ảnh là: (25 + 2x) * (17 + 2x) (cm²). * Thiết lập phương trình: * Theo đề bài, diện tích của toàn bộ khung ảnh là 513 cm². Do đó, ta có phương trình: (25 + 2x) * (17 + 2x) = 513 * Giải phương trình: * Nhân các biểu thức trong ngoặc: 425 + 50x + 34x + 4*x² = 513 * Sắp xếp lại thành phương trình bậc hai: 4x² + 84x* + 425 - 513 = 0 4x² + 84x* - 88 = 0 * Chia cả hai vế cho 4 để đơn giản phương trình: x² + 21x* - 22 = 0* * Giải phương trình bậc hai này. Chúng ta có thể phân tích thành nhân tử hoặc sử dụng công thức nghiệm. Phân tích thành nhân tử: (x + 22)(x - 1) = 0 * Các nghiệm của phương trình là: x + 22 = 0 => x = -22 x - 1 = 0 => x = 1 * Chọn nghiệm phù hợp: * Vì độ rộng viền không thể là một giá trị âm, nên ta loại nghiệm x = -22. * Vậy, độ rộng viền x = 1 cm. Kết luận: Bạn Hà cần phải làm độ rộng viền khung ảnh tối đa là 1 cm để diện tích của cả khung ảnh lớn nhất là 513 cm².

Phân tích bài toán: * Khung ảnh bên trong có kích thước 17 cm x 25 cm. * Độ rộng viền xung quanh là x cm. * Diện tích toàn bộ khung ảnh (bao gồm cả viền) là 513 cm². * Yêu cầu tìm độ rộng viền x tối đa để diện tích toàn bộ khung ảnh lớn nhất là 513 cm². Giải bài toán: * Tính kích thước của toàn bộ khung ảnh: * Chiều dài của khung ảnh (bao gồm viền) sẽ là chiều dài bên trong cộng với độ rộng viền ở cả hai bên: 25 cm + x cm + x cm = 25 + 2x (cm). * Chiều rộng của khung ảnh (bao gồm viền) sẽ là chiều rộng bên trong cộng với độ rộng viền ở cả hai bên: 17 cm + x cm + x cm = 17 + 2x (cm). * Tính diện tích của toàn bộ khung ảnh: * Diện tích hình chữ nhật được tính bằng chiều dài nhân với chiều rộng. Vậy diện tích của toàn bộ khung ảnh là: (25 + 2x) * (17 + 2x) (cm²). * Thiết lập phương trình: * Theo đề bài, diện tích của toàn bộ khung ảnh là 513 cm². Do đó, ta có phương trình: (25 + 2x) * (17 + 2x) = 513 * Giải phương trình: * Nhân các biểu thức trong ngoặc: 425 + 50x + 34x + 4*x² = 513 * Sắp xếp lại thành phương trình bậc hai: 4x² + 84x* + 425 - 513 = 0 4x² + 84x* - 88 = 0 * Chia cả hai vế cho 4 để đơn giản phương trình: x² + 21x* - 22 = 0* * Giải phương trình bậc hai này. Chúng ta có thể phân tích thành nhân tử hoặc sử dụng công thức nghiệm. Phân tích thành nhân tử: (x + 22)(x - 1) = 0 * Các nghiệm của phương trình là: x + 22 = 0 => x = -22 x - 1 = 0 => x = 1 * Chọn nghiệm phù hợp: * Vì độ rộng viền không thể là một giá trị âm, nên ta loại nghiệm x = -22. * Vậy, độ rộng viền x = 1 cm. Kết luận: Bạn Hà cần phải làm độ rộng viền khung ảnh tối đa là 1 cm để diện tích của cả khung ảnh lớn nhất là 513 cm².