Cho:

• Đường tròn: \(\left(\right. x - 3 \left.\right)^{2} + \left(\right. y + 2 \left.\right)^{2} = 36\)
• Đường thẳng \(\Delta : 3 x + 4 y + 7 = 0\)
• Đường thẳng \(\Delta_{1} : 5 x - 12 y + 7 = 0\)

a) Tính \(cos ⁡ \alpha\) với \(\alpha\) là góc giữa \(\Delta\) và \(\Delta_{1}\).

Công thức tính góc giữa hai đường thẳng \(a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0\) và \(a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0\):

\(cos ⁡ \alpha = \frac{\mid a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} \mid}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}} \cdot \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}}\)

Áp dụng:

• \(a_{1} = 3\), \(b_{1} = 4\)
• \(a_{2} = 5\), \(b_{2} = - 12\)

Tính tử số:

\(\mid 3 \times 5 + 4 \times \left(\right. - 12 \left.\right) \mid = \mid 15 - 48 \mid = \mid - 33 \mid = 33\)

Tính mẫu số:

\(\sqrt{3^{2} + 4^{2}} \times \sqrt{5^{2} + \left(\right. - 12 \left.\right)^{2}} = \sqrt{9 + 16} \times \sqrt{25 + 144} = \sqrt{25} \times \sqrt{169} = 5 \times 13 = 65\)

Vậy:

\(cos ⁡ \alpha = \frac{33}{65}\)

b) Viết phương trình đường thẳng vuông góc với \(\Delta\) và tiếp xúc với đường tròn (C).

• Phương trình \(\Delta\) là \(3 x + 4 y + 7 = 0\)
• Phương trình đường thẳng vuông góc với \(\Delta\) sẽ có hệ số góc nghịch đảo và đổi dấu:

\(a = 4 , b = - 3\)

Tức là dạng đường thẳng vuông góc với \(\Delta\) có dạng:

\(4 x - 3 y + c = 0\)

Điều kiện tiếp xúc với đường tròn:

Khoảng cách từ tâm đường tròn \(\left(\right. 3 , - 2 \left.\right)\) đến đường thẳng này bằng bán kính 6:

\(d = \frac{\mid 4 \times 3 - 3 \times \left(\right. - 2 \left.\right) + c \mid}{\sqrt{4^{2} + \left(\right. - 3 \left.\right)^{2}}} = \frac{\mid 12 + 6 + c \mid}{5} = \frac{\mid 18 + c \mid}{5} = 6\)

Giải:

\(\mid 18 + c \mid = 30 \Rightarrow 18 + c = 30 \text{ho}ặ\text{c} 18 + c = - 30\) \(c = 12 \text{ho}ặ\text{c} c = - 48\)

Kết luận:

Phương trình các đường thẳng vuông góc với \(\Delta\) và tiếp xúc với (C) là:

\(\boxed{\left{\right. 4 x - 3 y + 12 = 0 \\ 4 x - 3 y - 48 = 0}\)