a) Diện tích tam giác OAB Dùng công thức tính diện tích tam giác OAB với O(0,0), A(-1,1), B(3,9): $$\text{Diện tích} = \frac{1}{2} | x_1y_2 - x_2y_1 |$$ = (1/2) | (-1)(9) - (3)(1) | = (1/2) | -9 - 3 | = (1/2) | -12 | = 6 *b) Điểm C để diện tích ABC lớn nhất* - C thuộc (P) => C(c, c²) - Diện tích ABC lớn nhất khi C xa AB nhất - Đường AB: y = 2x + 3 (qua A và B) - Khoảng cách từ C(c,c²) đến AB: $$d = \frac{|2c + 3 - c^2|}{\sqrt{2^2 + 1}}$$ - c² - 2c - 3 = -(c² + 2c + 1) + 4 = -(c-1)² + 4 - Max khi c = 1 => C(1,1) Vậy a) Diện tích OAB = 6 b) C(1,1)

Tọa độ giao điểm là (1, 2) và (-1/2, 1/2). Tìm giao điểm của (P): y = 2x^2 và (d): y = x + 1. - Để tìm giao điểm, giải phương trình: 2x^2 = x + 1 - ⇔ 2x^2 - x - 1 = 0 - Áp dụng công thức bậc 2: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ - Với a = 2, b = -1, c = -1 $$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}$$ $$x = \frac{1 \pm 3}{4}$$ - x = 1 hoặc x = -1/2 - Với x = 1, y = 2(1)^2 = 2 - Với x = -1/2, y = 2(-1/2)^2 = 1/2 Vậy (1, 2) và (-1/2, 1/2)

a) Vẽ đồ thị (P) và (d) - Đồ thị (P): y = (1/4)x^2 là một parabol mở lên với đỉnh tại (0,0). - Đồ thị (d): y = (-1/2)x + 2 là một đường thẳng với độ dốc -1/2 và cắt trục y tại (0,2). b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) Để tìm giao điểm, ta giải phương trình: (1/4)x^2 = (-1/2)x + 2 ⇔ x^2 = -2x + 8 ⇔ x^2 + 2x - 8 = 0 ⇔ (x + 4)(x - 2) = 0 ⇔ x = -4 hoặc x = 2 - Với x = -4, y = (1/4)(-4)^2 = 4 - Với x = 2, y = (1/4)(2)^2 = 1 Vậy tọa độ giao điểm là (-4, 4) và (2, 1).

Đặt A(0,0), B(R,0), C(0,R), D(0,-R), O(R/2, 0) vì AB, CD là đường kính vuông góc. I thuộc AO => I(R/2 - AI, 0) với AI = 2AO/3 = 2(R/2)/3 = R/3 => I(R/2 - R/3, 0) = (R/6, 0) C(0,R), I(R/6, 0) Phương trình CI: x/(R/6) + y/R = 1 => 6x/R + y/R = 1 => y = R - 6x E ∈ (O): (x - R/2)^2 + (y - 0)^2 = (R/2)^2 Thay y = R - 6x: (x - R/2)^2 + (R - 6x)^2 = R^2/4

tìm x, y => E => CE Cách khác đơn giản hơn: Dùng phương tích: CI CE = CA CD CI = √(R/6)^2 + R^2 = R√(1 + 1/36) = R√37/6 CA = R√2, CD = R => CE = (R√2 2 R) / (R√37/6) = 12 R / √37 => R = CE √37 / 12

a) Chứng minh BD = (BC + AB - AC) / 2 Gọi E, F là các điểm tiếp xúc của (I) với AB, AC. Ta có: AE = AF, BD = BE, CD = CF (tính chất tiếp tuyến) AB + AC = AE + EB + AF + FC = 2AE + BD + DC => AE = AF = (AB + AC - BC) / 2 BD = AB - AE = AB - (AB + AC - BC) / 2 = (2 AB - AB - AC + BC) / 2 = (AB + BC - AC) / 2 b) Chứng minh S_ABC = BD . DC S_ABC = (1/2) AB AC = (1/2) (s - a) (s - b) với s = (AB + AC + BC) / 2, a = BC, b = AC, c = AB = (1/2) ((AB + AC + BC)/2 - BC) ((AB + AC + BC)/2 - AC) = (1/2) ((AB + AC - BC)/2) ((AB - AC + BC)/2) BD = (AB + BC - AC) / 2 DC = (AC + BC - AB) / 2 BD DC = (AB + BC - AC)(AC + BC - AB) / 4 = (BC^2 - (AC - AB)^2) / 4 = (AB AC) / 2 = S_ABC Vậy, S_ABC = BD . DC

Để tính độ dài IG, chúng ta sẽ sử dụng các bước sau: Tính BC Δ ABC vuông tại A, nên: BC = √(AB^2 + AC^2) = √(9^2 + 12^2) = √(81 + 144) = √225 = 15 cm Tính diện tích Δ ABC A = (1/2) AB AC = (1/2) 9 12 = 54 cm^2 Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp s = (AB + AC + BC) / 2 = (9 + 12 + 15) / 2 = 18 cm r = A / s = 54 / 18 = 3 cm Tìm tọa độ I và G Đặt A(0,0), B(9,0), C(0,12) I = ((9_0 + 12_0 + 15_3) / (9 + 12 + 15), (9_0 + 12_3 + 15_0) / (9 + 12 + 15)) = (45/36, 36/36) = (5/4, 1) G = ((0+9+0)/3, (0+0+12)/3) = (3, 4) Tính IG IG = √((5/4 - 3)^2 + (1 - 4)^2) = √((-7/4)^2 + (-3)^2) = √(49/16 + 9) = √(49/16 + 144/16) = √(193/16) = √193 / 4 cm Vậy, độ dài IG là √193 / 4 cm.

Để tính bán kính r của đường tròn nội tiếp Δ ABC, chúng ta sẽ sử dụng công thức: r = A / s trong đó A là diện tích Δ ABC và s là nửa chu vi Δ ABC. Tính diện tích ΔABC Δ ABC vuông tại A, nên: A = (1/2) AB AC = (1/2) 6 8 = 24 cm^2 Tính nửa chu vi Δ ABC BC = √(AB^2 + AC^2) = √(6^2 + 8^2) = √(36 + 64) = √100 = 10 cm s = (AB + AC + BC) / 2 = (6 + 8 + 10) / 2 = 12 cm Tính bán kính r r = A / s = 24 / 12 = 2 cm Vậy, bán kính r của đường tròn nội tiếp Δ ABC là 2 cm.

a) Vẽ đồ thị của hàm số y = x^2 Hàm số y = x^2 là một hàm số bậc hai, có đồ thị là một parabol mở lên trên với đỉnh tại (0,0). x -2 -1 0 1 2 y = x^2 4 1 0 1 4 b) Tìm các điểm trên Parabol có tung độ bằng 16 y = x^2 = 16 => x = 4 Vậy, các điểm trên Parabol có tung độ bằng 16 là (4, 16) và (-4, 16). c) Tìm các điểm trên Parabol (khác gốc tọa độ) cách đều hai trục tọa độ Điểm cách đều hai trục tọa độ có dạng (a, a) hoặc (a, -a). - (a, a): a = a^2 => a = 0 hoặc a = 1 => (1, 1) - (a, -a): -a = a^2 => a = 0 hoặc a = -1 => (-1, 1) Vậy, các điểm trên Parabol cách đều hai trục tọa độ là (1, 1) và (-1, 1).

*a) Vẽ đồ thị của hàm số y = 1/2 x^2* Hàm số y = 1/2 x^2 là một hàm số bậc hai, có đồ thị là một parabol mở lên trên với đỉnh tại (0,0). x -2 -1 0 1 2 y = 1/2 x^2 2 1/2 0 1/2 2 *b) Kiểm tra các điểm thuộc đồ thị hàm số* - M(-5; -25/2): -25/2 = 1/2(-5)^2 => -25/2 = 25/2 (sai) => M không thuộc đồ thị - N(-3/2; 9/8): 9/8 = 1/2(-3/2)^2 => 9/8 = 9/8 (đúng) => N thuộc đồ thị - Q(1/2; 2): 2 ≠ 1/2(1/2)^2 => 2 ≠ 1/8 (sai) => Q không thuộc đồ thị Vậy, chỉ có điểm N thuộc đồ thị hàm số.

*a) Vẽ đồ thị của hàm số y = -1/4 x^2* Hàm số y = -1/4 x^2 là một hàm số bậc hai, có đồ thị là một parabol mở xuống dưới với đỉnh tại (0,0). Để vẽ đồ thị, bạn có thể chọn một số điểm thuộc hàm số, chẳng hạn: - x = 0 => y = -1/4(0)^2 = 0 => (0,0) - x = 2 => y = -1/4(2)^2 = -1 => (2,-1) - x = -2 => y = -1/4(-2)^2 = -1 => (-2,-1) - x = 4 => y = -1/4(4)^2 = -4 => (4,-4) - x = -4 => y = -1/4(-4)^2 = -4 => (-4,-4) Sau đó, bạn có thể nối các điểm này lại để được đồ thị của hàm số. *b) Kiểm tra các điểm thuộc đồ thị hàm số* - E(-8;-16): -16 = -1/4(-8)^2 => -16 = -1/4(64) => -16 = -16 (đúng) => E thuộc đồ thị - F(-1/3; -1/36): -1/36 = -1/4(-1/3)^2 => -1/36 = -1/4(1/9) => -1/36 = -1/36 (đúng) => F thuộc đồ thị - Q(2/5; 4/100): 4/100 = -1/4(2/5)^2 => 1/25 = -1/4(4/25) => 1/25 ≠ -1/25 (sai) => Q không thuộc đồ thị Vậy, E và F thuộc đồ thị hàm số, còn Q không thuộc đồ thị.