Xét hai tam giác:

• \(\triangle A B C\)
• \(\triangle A B^{'} C^{'}\)

Hai tam giác này đồng dạng vì:

• Có một góc chung tại \(A\),
• Đều là tam giác vuông.

Từ đồng dạng:

\(\frac{A B}{A B^{'}} = \frac{B C}{B^{'} C^{'}}\)

Thay số:

\(\frac{x}{x + h} = \frac{a}{a^{'}}\)

Nhân chéo:

\(a^{'} \left(\right. x \left.\right) = a \left(\right. x + h \left.\right)\)

Khai triển:

\(a^{'} x = a x + a h\)

Chuyển vế:

\(a^{'} x - a x = a h\)

Đặt nhân tử chung:

\(x \left(\right. a^{'} - a \left.\right) = a h\)

Suy ra:

\(\boxed{x = \frac{a h}{a^{'} - a}}\)

Kết luận

Ta đã chứng minh được:

\(\boxed{x = \frac{a h}{a^{'} - a}}\)

Giả thiết

Hình thang \(A B C D\) với \(A B \parallel C D\).

Một đường thẳng \(d \parallel A B\) cắt:

• \(A D\) tại \(M\),
• \(B D\) tại \(N\),
• \(A C\) tại \(P\),
• \(B C\) tại \(Q\).

Cần chứng minh

\(M N = P Q\)

🔹 Bước 1: Xét tam giác \(A B D\)

Trong tam giác \(A B D\):

• \(M \in A D\), \(N \in B D\)
• \(M N \parallel A B\)

👉 Suy ra:

\(\triangle M N D sim \triangle A B D\)

Xét tam giác \(A B C\)

Trong tam giác \(A B C\):

• \(P \in A C\), \(Q \in B C\)
• \(P Q \parallel A B\)

👉 Suy ra:

\(\triangle P Q C sim \triangle A B C\)

So sánh các tỉ số

Vì \(d \parallel A B \parallel C D\), nên các đoạn trên hai cạnh bên bị cắt theo cùng tỉ lệ:

\(\frac{M D}{A D} = \frac{P C}{A C}\)

Thế vào (1) và (2), ta được:

\(\frac{M N}{A B} = \frac{P Q}{A B}\)

Suy ra:

\(M N = P Q\)

Kết luận

\(\boxed{M N = P Q}\)

Giả thiết:
\(\triangle A B C\) có trọng tâm \(G\).
Qua \(G\) kẻ đường thẳng \(d \parallel A B\), cắt \(B C\) tại \(M\).

Cần chứng minh:

\(B M = \frac{1}{3} B C\)

Dùng tính chất trọng tâm

Gọi \(N\) là trung điểm của \(A C\).
Vì \(G\) là trọng tâm nên:

\(\frac{G N}{G A} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{G N}{N A} = \frac{1}{3}\)

Xét tam giác \(N A B\)

Ta có:

• \(G N \parallel A B\) (do \(d \parallel A B\))
• \(M \in B C\)

Xét hai tam giác \(\triangle G N M\) và \(\triangle N A B\):

• \(\angle G N M = \angle N A B\) (so le trong)
• \(\angle G M N = \angle N B A\)

👉 Suy ra:

\(\triangle G N M sim \triangle N A B\)

Lập tỉ số

Từ đồng dạng:

\(\frac{G M}{N B} = \frac{G N}{N A} = \frac{1}{3}\)

Mà \(N\) là trung điểm của \(A C\) nên \(N B = B C\).

Suy ra:

\(\frac{B M}{B C} = \frac{1}{3}\)

Kết luận

\(\boxed{B M = \frac{1}{3} B C}\)

Giả thiết:
Hình thang \(A B C D\) có \(A B \parallel C D\).
Hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại \(O\).

Cần chứng minh:

Xét hai tam giác \(\triangle A O B\) và \(\triangle C O D\)

Ta có:

• \(\angle A O B = \angle C O D\) (hai góc đối đỉnh)
• \(\angle A B O = \angle C D O\) (do \(A B \parallel C D\), các góc so le trong)

👉 Suy ra:

\(\triangle A O B sim \triangle C O D\)

Từ hai tam giác đồng dạng:

\(\frac{O A}{O C} = \frac{O B}{O D}\)

\(O A \cdot O D = O B \cdot O C\)

✅ Kết luận

Ta đã chứng minh được:

\(\boxed{O A \cdot O D = O B \cdot O C}\)

Giả thiết

Cho tam giác \(\triangle A B C\).
Điểm \(D\) nằm trên cạnh \(B C\).

• Qua \(D\) kẻ đường thẳng song song với \(A B\), cắt \(A C\) tại \(F\).
• Qua \(D\) kẻ đường thẳng song song với \(A C\), cắt \(A B\) tại \(E\).

Cần chứng minh:

\(\frac{A E}{A B} + \frac{A F}{A C} = 1\)

Chứng minh

Áp dụng định lý Ta-lét

• Vì \(D E \parallel A C\) nên trong tam giác \(A B C\):

\(\frac{A E}{A B} = \frac{B D}{B C}\)

• Vì \(D F \parallel A B\) nên:

\(\frac{A F}{A C} = \frac{C D}{B C}\)

Cộng hai tỉ số

Cộng hai đẳng thức trên:

\(\frac{A E}{A B} + \frac{A F}{A C} = \frac{B D}{B C} + \frac{C D}{B C}\)

Gộp mẫu số:

\(= \frac{B D + C D}{B C}\)

Mà \(B D + C D = B C\), nên:

\(\frac{B D + C D}{B C} = \frac{B C}{B C} = 1\)

Kết luận

\(\boxed{\frac{A E}{A B} + \frac{A F}{A C} = 1}\)

✔️ Điều phải chứng minh.

Xét tứ giác \(A I K D\)

• Vì \(I\) là trung điểm của \(A B\) nên
  \(A I = \frac{A B}{2} = B C .\)
• Trong hình chữ nhật: \(A D = B C\) ⇒ \(A I = A D\).
• \(I K\) nối trung điểm của \(A B\) và \(D C\) nên:
• • \(I K \parallel A D\),
  • \(I K = A D = B C\).
• \(A I \parallel D K\) (do cùng song song \(B C\)).

⇒ \(A I K D\) là hình bình hành có một góc vuông và bốn cạnh bằng nhau
⇒ \(A I K D\) là hình vuông.

Xét tứ giác \(B I K C\)

• \(B I = A I = B C\),
• \(K C = B C\),
• \(I K \parallel B C\), \(B I \parallel K C\),
• Có góc vuông tại \(B\).

⇒ \(B I K C\) cũng là hình vuông.

b)

• \(I\) là trung điểm của \(A B\) ⇒ \(D I = C I\) (đối xứng qua trục giữa hình chữ nhật).
• \(D I \bot I C\) (vì \(D I\) nằm trong hình vuông \(A I K D\), \(I C\) nằm trong hình vuông \(B I K C\)).

⇒ \(\triangle D I C\) vuông tại \(I\) và cân
⇒ \(\triangle D I C\) là tam giác vuông cân.

c) Gọi \(S , R\) lần lượt là tâm các hình vuông \(A I K D\), \(B I K C\).

\(I S K R\) là hình vuông

• \(S\) là tâm hình vuông \(A I K D\) ⇒ \(S\) là trung điểm hai đường chéo.
• \(R\) là tâm hình vuông \(B I K C\).
• Do hai hình vuông \(A I K D\) và \(B I K C\) bằng nhau và kề nhau:
• • \(I S = K R\),
  • \(S K = I R\),
  • Các góc đều là \(90^{\circ}\).

⇒ \(I S K R\) là hình bình hành có một góc vuông và bốn cạnh bằng nhau
⇒ \(I S K R\) là hình vuông.

• ->\(A I K D\), \(B I K C\) là hình vuông
• ->\(\triangle D I C\) là tam giác vuông cân
• ->\(I S K R\) là hình vuông

Giả thiết

• \(A B C D\) là hình vuông ⇒
  \(A B = B C = C D = D A\),
  \(A B \bot B C\), \(B C \bot C D\), …
• Trên các cạnh:
• • \(A B\) lấy \(M\) sao cho \(A M = x\),
  • \(B C\) lấy \(N\) sao cho \(B N = x\),
  • \(C D\) lấy \(P\) sao cho \(C P = x\),
  • \(D A\) lấy \(Q\) sao cho \(D Q = x\).

a) \(M B = N C = P D = Q A\)

• Trên cạnh \(A B\):

• Trên cạnh \(B C\):

• Trên cạnh \(C D\):

• Trên cạnh \(D A\):

Mà:

⟹

b) \(\triangle Q A M = \triangle N C P\)

Xét hai tam giác \(Q A M\) và \(N C P\):

• \(Q A = N C\) (chứng minh ở câu a),
• \(A M = C P\) (giả thiết),
• \(\angle Q A M = \angle N C P = 90^{\circ}\)
  (vì \(A B C D\) là hình vuông).

⟹ \(\triangle Q A M \cong \triangle N C P\) (cạnh – góc – cạnh).

c) tứ giác \(M N P Q\) là hình vuông

\(M N P Q\) là hình bình hành

• Từ câu b), hai tam giác bằng nhau
  ⇒ \(Q M = N P\) và \(Q M \parallel N P\).
• Tương tự, có:

⟹ \(M N P Q\) là hình bình hành.

\(M N P Q\) có góc vuông

• \(M N \subset A B \parallel C D\),
• \(N P \subset B C \parallel A D\),
• Mà \(A B \bot B C\).

⟹

Kết luận

• \(M N P Q\) là hình bình hành,
• Có một góc vuông,

⟹ \(M N P Q\) là hình chữ nhật.

Lại có:

• \(Q M = N P\) (hai cạnh kề bằng nhau),

⟹ \(M N P Q\) là hình vuông.

Kết luận

a) \(M B = N C = P D = Q A\).
b) \(\triangle Q A M \cong \triangle N C P\).
c) \(M N P Q\) là hình vuông.

Giả thiết

Lấy \(K\) trên tia đối của tia \(I M\) sao cho \(I K = I M\).

\(I\) là trung điểm của \(A C\).

• \(\triangle A B C\) vuông tại \(A\).
• \(A M\) là đường trung tuyến ⇒ \(M\) là trung điểm của \(B C\)

a) tứ giác \(A M C K\) là hình thoi

\(I\) là trung điểm của cả \(A C\) và \(M K\)

• Theo giả thiết: \(I\) là trung điểm của \(A C\).
• Do \(K\) nằm trên tia đối của \(I M\) và \(I K = I M\)
  ⇒ \(I\) là trung điểm của \(M K\).

hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm

• Trong tứ giác \(A M C K\), hai đường chéo là \(A C\) và \(M K\).
• Chúng cắt nhau tại \(I\) và \(I\) là trung điểm của cả hai.

⟹ \(A M C K\) là hình bình hành.

các cạnh bằng nhau

• Trong tam giác vuông \(A B C\), trung tuyến ứng với cạnh huyền:

\(A M = B M = C M\)

⇒ \(A M = C M\).

• Vì \(A M C K\) là hình bình hành:

\(A M = C K , M C = A K\)

⟹

\(A M = M C = C K = K A\)

Vậy \(A M C K\) là hình thoi.

b) tứ giác \(A K M B\) là hình bình hành

• \(I\) là trung điểm của \(A C\) (giả thiết).
• Trong tam giác vuông \(A B C\):
• • \(M\) là trung điểm của \(B C\),
  • \(I\) là trung điểm của \(A C\).

⇒ \(I M \parallel A B\) (đường trung bình).

• Do \(K\) đối xứng với \(M\) qua \(I\):

\(I M = I K \Rightarrow I \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{trung}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; M K\)

⟹ \(A B \parallel M K\).

• Mặt khác:
• • \(A K\) nối đỉnh với điểm đối xứng của \(M\),
  • \(M B\) nối trung điểm cạnh huyền với đỉnh \(B\).

⇒ \(A K \parallel M B\).

⟹ Tứ giác \(A K M B\) có hai cặp cạnh đối song song.

\(A K M B\) là hình bình hành.

c) Điều kiện để tứ giác \(A M C K\) là hình vuông

Từ câu a), \(A M C K\) luôn là hình thoi.

Muốn là hình vuông thì cần thêm một góc vuông.

• Góc \(\angle A M C\) là góc tạo bởi hai trung tuyến đến cạnh huyền.
• Ta có:

\(A M \bot M C \textrm{ }\textrm{ } \Longleftrightarrow \textrm{ }\textrm{ } A B = A C\)

⟹ \(\triangle A B C\) phải vuông cân tại \(A\).

a) \(A M C K\) là hình thoi.
b) \(A K M B\) là hình bình hành.
c) \(A M C K\) là hình vuông khi và chỉ khi

\(\boxed{A B = A C}\)

(tức là \(\triangle A B C\) vuông cân tại \(A\)).

⇒Theo giả thiết:

\(\triangle A B C\) vuông cân tại \(A\) ⇒ \(A B \bot A C\) và \(A B = A C\).

• Trên \(B C\) lấy \(H , G\) sao cho \(B H = H G = G C\).
• Qua \(H , G\) kẻ các đường thẳng vuông góc với \(B C\), cắt \(A B , A C\) lần lượt tại \(E , F\).

a)\(\triangle B H E\) là tam giác vuông cân

• Do \(H E \bot B C\) và \(B H \subset B C\)
  ⇒ \(\angle B H E = 90^{\circ}\).
  ⟹ \(\triangle B H E\) là tam giác vuông tại \(H\).
• Xét \(\triangle A B C\) vuông cân tại \(A\):
  ⇒ \(\angle A B C = \angle A C B = 45^{\circ}\).
• Vì \(H E \bot B C\) nên \(\angle B E H = 45^{\circ}\).

⟹ Trong tam giác vuông \(B H E\), có một góc nhọn bằng \(45^{\circ}\)
⇒ hai cạnh góc vuông bằng nhau:

Vậy \(\triangle B H E\) là tam giác vuông cân tại \(H\).

\(E F G H\) là hình chữ nhật

• \(H E \bot B C\), \(G F \bot B C\)
  ⇒ \(H E \parallel G F\).
• \(H G \subset B C\), mà \(E F \bot H E\)
  ⇒ \(E F \parallel H G\).

⟹ \(E F G H\) là hình bình hành.

• \(H E \bot H G\)
  ⇒ \(E F G H\) có một góc vuông
  ⟹ \(E F G H\) là hình chữ nhật.

\(E F = F G\)

• Theo câu a, \(\triangle B H E\) vuông cân ⇒ \(B H = H E\).
• Tương tự, \(\triangle C G F\) cũng là tam giác vuông cân
  ⇒ \(G C = G F\).

Mà:

⟹ Hai cạnh kề của hình chữ nhật \(E F G H\) bằng nhau.

• \(E F G H\) là hình chữ nhật
• Có hai cạnh kề bằng nhau

⟹ Tứ giác \(E F G H\) là hình vuông.

⇒Theo giả thiết:

\(\triangle A B C\) vuông cân tại \(A\) ⇒ \(A B \bot A C\) và \(A B = A C\).

• Trên \(B C\) lấy \(H , G\) sao cho \(B H = H G = G C\).
• Qua \(H , G\) kẻ các đường thẳng vuông góc với \(B C\), cắt \(A B , A C\) lần lượt tại \(E , F\).

a)\(\triangle B H E\) là tam giác vuông cân

• Do \(H E \bot B C\) và \(B H \subset B C\)
  ⇒ \(\angle B H E = 90^{\circ}\).
  ⟹ \(\triangle B H E\) là tam giác vuông tại \(H\).
• Xét \(\triangle A B C\) vuông cân tại \(A\):
  ⇒ \(\angle A B C = \angle A C B = 45^{\circ}\).
• Vì \(H E \bot B C\) nên \(\angle B E H = 45^{\circ}\).

⟹ Trong tam giác vuông \(B H E\), có một góc nhọn bằng \(45^{\circ}\)
⇒ hai cạnh góc vuông bằng nhau:

Vậy \(\triangle B H E\) là tam giác vuông cân tại \(H\).

\(E F G H\) là hình chữ nhật

• \(H E \bot B C\), \(G F \bot B C\)
  ⇒ \(H E \parallel G F\).
• \(H G \subset B C\), mà \(E F \bot H E\)
  ⇒ \(E F \parallel H G\).

⟹ \(E F G H\) là hình bình hành.

• \(H E \bot H G\)
  ⇒ \(E F G H\) có một góc vuông
  ⟹ \(E F G H\) là hình chữ nhật.

\(E F = F G\)

• Theo câu a, \(\triangle B H E\) vuông cân ⇒ \(B H = H E\).
• Tương tự, \(\triangle C G F\) cũng là tam giác vuông cân
  ⇒ \(G C = G F\).

Mà:

⟹ Hai cạnh kề của hình chữ nhật \(E F G H\) bằng nhau.

• \(E F G H\) là hình chữ nhật
• Có hai cạnh kề bằng nhau

⟹ Tứ giác \(E F G H\) là hình vuông.