Vì \(C P\) và \(B Q\) là các đường phân giác trong nên \(O\) là giao điểm hai đường phân giác của tam giác \(A B C\), tức là tâm nội tiếp của tam giác.

a) Chứng minh \(\triangle O B C\) cân

Do \(A B = A C\) nên \(\angle B = \angle C\).

Vì \(O\) nằm trên các phân giác \(B Q\) và \(C P\), nên:

\(\angle O B C = \frac{\angle B}{2} , \angle O C B = \frac{\angle C}{2} .\)

Mà \(\angle B = \angle C\), suy ra:

\(\angle O B C = \angle O C B .\)

Vậy:

\(O B = O C .\)

Tam giác \(O B C\) cân tại \(O\).

b) \(O\) cách đều ba cạnh

Tính chất tâm nội tiếp: điểm nằm trên các phân giác trong thì cách đều các cạnh của tam giác.

Vì \(O\) là giao điểm hai phân giác nên:

\(d \left(\right. O , A B \left.\right) = d \left(\right. O , A C \left.\right) = d \left(\right. O , B C \left.\right) .\)

c) \(A O\) đi qua trung điểm và vuông góc với \(B C\)

Trong tam giác cân tại \(A\), phân giác góc \(A\) đồng thời là:

• đường trung tuyến,
• đường cao,
• đường trung trực của đáy \(B C\).

Mà \(O\) nằm trên phân giác góc \(A\), nên:

\(A O \bot B C\)

và đi qua trung điểm của \(B C\).

d) Chứng minh \(C P = B Q\)

Do tam giác cân tại \(A\), hình vẽ đối xứng qua trục \(A O\).

Hai phân giác \(C P\) và \(B Q\) đối xứng nhau qua \(A O\).

Suy ra:

\(C P = B Q .\)

e) Tam giác \(A P Q\) là tam giác gì?

Vì hình đối xứng qua \(A O\):

\(A P = A Q .\)

Suy ra:

\(\triangle A P Q \&\text{nbsp};\text{c} \hat{\text{a}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t}ạ\text{i}\&\text{nbsp}; A .\)

Vì \(O A = O C\) và \(O B = O D\), lại có

\(\angle A O D = \angle C O B = \angle x O y ,\)

nên hai tam giác \(A O D\) và \(C O B\) bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.

Suy ra:

\(A D = B C .\)

Xét hai tam giác \(A B E\) và \(C D E\):

Ta có:

• \(A B = C D\) (vì \(O A - O B = O C - O D\))
• \(A E = C E\), \(B E = D E\) (do hai tam giác \(A O D\) và \(C O B\) bằng nhau nên các đường \(A D\) và \(B C\) đối xứng qua một trục)
• \(A D = B C\) (chứng minh trên)

Suy ra:

\(\triangle A B E \cong \triangle C D E .\)

Từ sự bằng nhau đó, suy ra:

\(\angle A O E = \angle E O C .\)

Vậy \(O E\) chia góc \(x O y\) thành hai góc bằng nhau.

Vì \(O m\) là tia phân giác của góc \(x O y\) nên:

\(\angle x O m = \angle m O y .\)

Do \(I\) nằm trên \(O m\) nên:

\(\angle x O I = \angle I O y .\)

Xét hai tam giác vuông \(I O E\) và \(I O F\):

• \(\angle I E O = \angle I F O = 90^{\circ}\)
• \(O I\) là cạnh chung
• \(\angle I O E = \angle F O I\)

Suy ra:

\(\triangle I O E \cong \triangle I O F \left(\right. c ạ n h h u y \overset{ˋ}{\hat{e}} n – g \overset{ˊ}{o} c n h ọ n \left.\right) .\)

Do đó:

\(O E = O F \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} I E = I F .\)

Vì \(O E = O F\) nên \(O\) cách đều \(E\) và \(F\).
Vì \(I E = I F\) nên \(I\) cũng cách đều \(E\) và \(F\).

Suy ra đường thẳng \(O I\) là đường trung trực của đoạn \(E F\).

Do đó:

\(E F \bot O I .\)

Mà \(O I\) trùng với \(O m\), nên:

\(\boxed{E F \bot O m .}\)

Vì \(A D\) là tia phân giác của \(\angle A = 120^{\circ}\) nên

Trong tam giác \(A B C\), ta có

Xét tam giác \(A D C\), suy ra

Vì \(D I\) là tia phân giác của \(\angle A D C\) nên

Khi đó ta có

Suy ra \(I\) nằm trên phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng \(A B\) và \(B C\).

Do một điểm nằm trên phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó, nên khoảng cách từ \(I\) đến \(A B\) bằng khoảng cách từ \(I\) đến \(B C\).

Vì \(H\), \(K\) lần lượt là hình chiếu của \(I\) lên \(A B\), \(B C\), nên

Cho tam giác \(A B C\) có \(A B < A C\). Tia phân giác của góc \(A\) cắt đường thẳng vuông góc với \(B C\) tại trung điểm của \(B C\) ở điểm \(D\).

Từ \(D\) hạ các đường vuông góc đến \(A B\) và \(A C\) lần lượt tại \(H\) và \(K\).

Chứng minh rằng:

\(B H = C K .\)

Lời giải

Gọi \(M\) là trung điểm của \(B C\).

Vì \(D\) nằm trên đường thẳng vuông góc với \(B C\) tại \(M\), nên \(D\) thuộc đường trung trực của \(B C\).

Suy ra:

\(& D B = D C . & & (\text{1})\)

Vì \(A D\) là tia phân giác của góc \(A\), nên:

\(& \angle B A D = \angle C A D . & & (\text{2})\)

Xét hai tam giác \(A B D\) và \(A C D\)

Ta có:

• \(D B = D C\) (từ (1))
• \(A D\) chung
• \(\angle B A D = \angle C A D\) (từ (2))

Suy ra:

\(\triangle A B D \cong \triangle A C D \left(\right. c . g . c \left.\right)\)

Do đó, hai tam giác này đối xứng nhau qua đường thẳng \(A D\).

Xét các hình chiếu

• \(H\) là chân đường vuông góc từ \(D\) xuống \(A B\).
• \(K\) là chân đường vuông góc từ \(D\) xuống \(A C\).

Vì \(A B\) và \(A C\) đối xứng qua \(A D\), mà \(D\) nằm trên trục đối xứng đó, nên:

• \(H\) và \(K\) đối xứng nhau qua \(A D\).
• Các đoạn tương ứng trong hai tam giác bằng nhau.

Suy ra:

\(B H = C K .\)

Ta dùng phương pháp vectơ.

Gọi các vectơ vị trí của \(A , B , C\) lần lượt là \(\overset{⃗}{A} , \overset{⃗}{B} , \overset{⃗}{C}\).

Điều kiện đã cho

1) \(G \in B C\), \(B G = 2 G C\)

\(B G : G C = 2 : 1 \Rightarrow \overset{⃗}{G} = \frac{\overset{⃗}{B} + 2 \overset{⃗}{C}}{3}\)

2) \(C\) là trung điểm của \(A D\)

\(\overset{⃗}{C} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{D}}{2} \Rightarrow \overset{⃗}{D} = 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{A}\)

3) \(E\) là trung điểm của \(B D\)

\(\overset{⃗}{E} = \frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{D}}{2}\)

Thay \(\overset{⃗}{D} = 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{A}\):

\(\overset{⃗}{E} = \frac{\overset{⃗}{B} + 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{A}}{2}\)

a) Chứng minh \(A , G , E\) thẳng hàng

\(\overset{⃗}{A G} = \overset{⃗}{G} - \overset{⃗}{A} = \frac{\overset{⃗}{B} + 2 \overset{⃗}{C}}{3} - \overset{⃗}{A} = \frac{\overset{⃗}{B} + 2 \overset{⃗}{C} - 3 \overset{⃗}{A}}{3}\) \(\overset{⃗}{A E} = \overset{⃗}{E} - \overset{⃗}{A} = \frac{\overset{⃗}{B} + 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{A}}{2} - \overset{⃗}{A} = \frac{\overset{⃗}{B} + 2 \overset{⃗}{C} - 3 \overset{⃗}{A}}{2}\) \(\Rightarrow \overset{⃗}{A E} = \frac{3}{2} \overset{⃗}{A G}\)

Hai vectơ cùng phương

\(\Rightarrow A , G , E \&\text{nbsp};\text{th}ẳ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{ng}.\)

b) Chứng minh \(D G\) đi qua trung điểm của \(A B\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(A B\):

\(\overset{⃗}{M} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B}}{2}\)

Ta có:

\(\overset{⃗}{G} = \frac{\overset{⃗}{B} + 2 \overset{⃗}{C}}{3} , \overset{⃗}{D} = 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{A}\)

Tính:

\(\frac{\overset{⃗}{D} + \overset{⃗}{G}}{2} = \frac{2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{A} + \frac{\overset{⃗}{B} + 2 \overset{⃗}{C}}{3}}{2}\)

Quy đồng và rút gọn được:

\(= \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B}}{2} = \overset{⃗}{M}\) \(\Rightarrow M \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{trung}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; D G\) \(\Rightarrow D G \&\text{nbsp};đ\text{i}\&\text{nbsp};\text{qua}\&\text{nbsp};\text{trung}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; A B .\)

Giả sử \(\triangle A B C\) cân tại \(A\) nên

\(A B = A C .\)

Gọi \(B D , C E\) là các trung tuyến và cắt nhau tại \(G\) (trọng tâm).

a) Chứng minh \(B D = C E\)

Vì \(A B = A C\) nên tam giác \(A B C\) cân tại \(A\).

Trong tam giác cân, hai trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau.

Ở đây:

• \(B D\) là trung tuyến ứng với cạnh \(A C\),
• \(C E\) là trung tuyến ứng với cạnh \(A B\).

Do \(A B = A C\) nên:

\(B D = C E .\)

b) Chứng minh \(\triangle G B C\) cân

Vì \(G\) là trọng tâm nên:

\(B G = \frac{2}{3} B D , C G = \frac{2}{3} C E .\)

Mà \(B D = C E\) nên:

\(B G = C G .\)

Vậy \(\triangle G B C\) là tam giác cân tại \(G\). ✅

c) Chứng minh \(G D + G E > \frac{1}{2} B C\)

Ta có:

\(G D = \frac{1}{3} B D , G E = \frac{1}{3} C E .\)

Suy ra:

\(G D + G E = \frac{1}{3} \left(\right. B D + C E \left.\right) .\)

Theo bất đẳng thức đã chứng minh trước đó trong tam giác:

\(B D + C E > \frac{3}{2} B C .\)

Do đó:

\(G D + G E = \frac{1}{3} \left(\right. B D + C E \left.\right) > \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} B C = \frac{1}{2} B C .\)

Gọi \(G\) là giao điểm của hai trung tuyến \(B M\) và \(C N\) (tức là trọng tâm).

Ta có tính chất trọng tâm:

\(B G = \frac{2}{3} B M , C G = \frac{2}{3} C N\)

Xét tam giác \(G B C\), theo bất đẳng thức tam giác:

\(B G + C G > B C\)

Thay vào:

\(\frac{2}{3} B M + \frac{2}{3} C N > B C\) \(\frac{2}{3} \left(\right. B M + C N \left.\right) > B C\)

Nhân hai vế với \(\frac{3}{2}\):

\(B M + C N > \frac{3}{2} B C\)