GọiM,N,P,Q lần lượt là trung điểm của 4 cạnh AB,BC,CD,DA của hình thoi ABCD

Gọi O là giao điểm AC và BD

Ta có AC vuông góc với BD

Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông ta được:

OM=1/2AB;ON=1/2BC

OP=1/2CD;OQ=1/2AD

Mặt khác AB=BC=CD=DA nên OM=ON=OP=OQ

Do bốn điểmM,N,P,Q cùng nằm trên một đường tròn

Gọi O là trung điểm BC

Ta có BD là đường cao nên BC vuông tại AC,hay tam giác BCD vuông tại D

Trong tam giác vuông BCD có DO là trung tuyến ứng với cạnh huyền DC nên:

OD=OB=OC=1/2BC(1)

Tương tự ta có:OE=OB=OC=1/2BC(2)

và OF=OB=OC=1/2BC(3)

Từ 1 và 2 và 3 suy raOB=OC=OD=OE=OF

Do đó 5 điểm B,C,D,E,F cùng thuộc một đường tròn

Gọi O là giao điểm của đường chéoAC và BD

Theo tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật ta có:OA=OB=OC=OD(=1/2Ac=1/2BD)

Vậy 4 điểm A,B,C,D Cùng thuộc(O;1/2AC)

Áp dụng định lí pythagore vào tam giác vuông ABC ta có:AC^2=AB^2+BC^2=a^2+b^2

Do đỏ=1/2AC=1/2 căn a^2+b^2

Tam giác ABC có hai đường cao BB' và CC' nên góc BC'C=gócBB'C=90

Suy ra OB=OC=OB'=OC'(đường cao ứng với cạnh huyền)

Do đó bốn điểm B,C,B',C'

Cho tứ giác ABCD có B=D=90 nên OA=OB=OC=OD(đường cao ứng với cạnh huyền).

Suy ra bốn điểm A,B,C,D cùng nằm trên một đường trong tâm O, đường kính AC