oki☺

cs

nhà xác

ai hỏi

☠

k

☠☕⚡⛇⚽

cái bàn

☕

Ta sẽ sử dụng kỹ thuật so sánh từng số hạng của tổng $A$ với một phân số khác mà ta có thể tính tổng được.

1. Cơ sở so sánh

Ta có bất đẳng thức cơ bản sau:

Với $n$ là số nguyên lớn hơn hoặc bằng 2.

2. Biến đổi phân số

Ta sử dụng phương pháp phân tích phân số thành hiệu (công thức tổng quát của Telescoping Sum):

3. Áp dụng vào tổng A

Áp dụng bất đẳng thức $\frac{1}{n^2} < \frac{1}{n(n-1)}$ cho từng số hạng trong $A$:

• $\frac{1}{2^2} < \frac{1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2}$
• $\frac{1}{3^2} < \frac{1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$
• $\frac{1}{4^2} < \frac{1}{4 \cdot 3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$
• ...
• $\frac{1}{10^2} < \frac{1}{10 \cdot 9} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10}$

4. Chứng minh

Từ đó, ta có bất đẳng thức:

Gọi $B$ là tổng ở vế phải. Đây là một tổng rút gọn (Telescoping Sum), trong đó các số hạng đối nhau sẽ triệt tiêu lẫn nhau:

Sau khi triệt tiêu, $B$ chỉ còn lại số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng:

Vì $1 - \frac{1}{10} < 1$, ta có:

Hay:

Do $\frac{9}{10} < 1$, nên ta kết luận: