a) \(- \mid 3 x + 1 \mid \leq 0\) với mọi \(x\) nên giá trị lớn nhất của biểu thức \(- \mid 3 x + 1 \mid\) là \(0\) đạt được khi \(3 x + 1 = 0\) hay \(x = - \frac{1}{3}\).

b) Ta có: \(\frac{1}{\mid x + 6 \mid + 2} \geq 2\).

Suy ra \(\frac{1}{\mid x + 6 \mid + 2} \leq \frac{1}{2}\).

Giá trị lớn nhất của biểu thức \(\frac{1}{\mid x + 6 \mid + 2}\) là \(\frac{1}{2}\) đạt được khi \(x + 6 = 0\) hay \(x = - 6\).

Vì \(\sqrt{x - 3} \geq 0\) với mọi \(x \geq 3\) nên \(- 2 \sqrt{x - 3} \leq 0\)

Suy ra \(Q = - 2 \sqrt{x - 3} + 1 \leq 1\).

Dấu "=" xảy ra khi \(x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(Q\) là \(max ⁡ Q = 1\) đạt được khi \(x = 3\).

Vì \(\sqrt{x} \geq 0\) với \(x \geq 0\) nên \(A = \sqrt{x} - 1 \geq - 1\).

Dấu "=" xảy ra khi \(x=0\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A\) là \(min ⁡ A = - 1\) đạt được khi \(x = 0\).

a) \(\mid 2 x + 3 \mid = x + 1\).

+ Trường hợp 1: \(x \geq - \frac{3}{2} \Rightarrow 2 x + 3 = x + 1 \Rightarrow x = - 2\) (không thỏa mãn).

+ Trường hợp 2: \(x<-\frac{3}{2}\Rightarrow-\left(\right.2x+3\left.\right)=x+1\Rightarrow-2x-3=x+1\Rightarrow-3x=4\Rightarrow x=-\frac{4}{3}\) (không thỏa mãn).

Vậy không có giá trị của \(x\) thỏa mãn.

b) \(\mid 5 x - 3 \mid - x = 7\).

+ Trường hợp 1: \(x\geq\frac{3}{5}\Rightarrow5x-3-x=7\Rightarrow x=\frac{5}{2}\) (thỏa mãn).

+ Trường hợp 2: \(x<\frac{3}{5}\Rightarrow3-5x-x=7\Rightarrow x=-\frac{2}{3}\) (thỏa mãn).

∣x​−1∣−3=1⇒∣x​−1∣=4⇒x​−1=4 hoặc \(\sqrt{x} - 1 = - 4\).

\(\Rightarrow \sqrt{x} = 5\) hoặc \(\sqrt{x} = - 3\) (không thỏa mãn vì \(\sqrt{x} \geq 0\)).

\(\Rightarrow x = 25\).

Vậy \(x = 25.\) 

Tiền lãi một tháng là: \(\left(\right. 2 062 400 - 2 000 000 \left.\right) : 6 = 10 400\) (đồng).

Lãi suất hàng tháng là: \(\frac{10400.100\%}{2000000}=0,52\%\).

a) \(0 , \left(\right. 3 \left.\right) + 3 \frac{1}{2} + 0 , 4 \left(\right. 2 \left.\right)\).

 Ta đưa \(0 , \left(\right. 3 \left.\right)\) và \(0 , 4 \left(\right. 2 \left.\right)\) về phân số như sau:

+ Đặt \(x = 0 , \left(\right. 3 \left.\right)\) thì \(10 x = 3 , \left(\right. 3 \left.\right) = 3 + 0 , \left(\right. 3 \left.\right) = 3 + x\).

Suy ra \(9 x = 3\) hay \(x = \frac{1}{3} = 0 , \left(\right. 3 \left.\right)\).

+ Ta có \(0 , 4 \left(\right. 2 \left.\right) = 0 , 4 + 0 , 0 \left(\right. 2 \left.\right)\)

Đặt \(y = 0 , 0 \left(\right. 2 \left.\right)\) thì \(100 y = 2 , \left(\right. 2 \left.\right) = 2 + 10 y\)

Suy ra \(90 y = 2\) hay \(y = 0 , 0 \left(\right. 2 \left.\right) = \frac{1}{45}\).

Do đó, \(0 , 4 \left(\right. 2 \left.\right) = 0 , 4 + 0 , 0 \left(\right. 2 \left.\right) = \frac{19}{45}\).

 Quay trở lại bài toán: \(0 , \left(\right. 3 \left.\right) + 3 \frac{1}{2} + 0 , 4 \left(\right. 2 \left.\right) = \frac{1}{3} + \frac{7}{2} + \frac{19}{45} = \frac{383}{90} .\)

b) \(\frac{4}{9}+1,2\left(\right.31\left.\right)-0,\left(\right.13\left.\right)\).

 Ta đưa \(1 , 2 \left(\right. 31 \left.\right)\) và \(0 , \left(\right. 13 \left.\right)\) về phân số như sau:

Đặt \(x = 0 , \left(\right. 01 \left.\right)\) thì \(100 x = 1 , \left(\right. 01 \left.\right) = 1 + x\).

Suy ra \(99 x = 1\) hay \(x = \frac{1}{99} = 0 , \left(\right. 01 \left.\right)\).

+ Tính \(1 , 2 \left(\right. 31 \left.\right)\):

Xét \(0,\left(\right.31\left.\right)=0,\left(\right.01\left.\right).31=31.\frac{1}{99}=\frac{31}{99}\).

Vậy \(1 , 2 \left(\right. 31 \left.\right) = 1 + 0 , 2 + 0 , 0 \left(\right. 31 \left.\right) = 1 + \frac{1}{5} + \frac{31}{990} = \frac{1219}{990}\).

+ Tính \(0 , \left(\right. 13 \left.\right) = 13.0 , 0 \left(\right. 1 \left.\right) = 13. \frac{1}{99} = \frac{13}{99}\).

 Quay trở lại bài toán: \(\frac{4}{9}+1,2\left(\right.31\left.\right)-0,\left(\right.13\left.\right)=\frac{4}{9}+\frac{1219}{990}-\frac{13}{99}=\frac{139}{90}\).

a) \(A = x^{2} - 2 x + 3\) khi \(\mid x \mid = 0 , 5\).

Ta có \(\mid x \mid = 0 , 5\) thì \(x = 0 , 5\) hoặc \(x = - 0 , 5\).

+ Với \(x = 0 , 5\) ta có \(A = 0 , 5^{2} - 2.0 , 5 + 3 = 2 , 25\).

+ Với \(x = - 0 , 5\) ta có \(A = \left(\right. - 0 , 5 \left.\right)^{2} - 2. \left(\right. - 0 , 5 \left.\right) + 3 = 4 , 25\).

b) \(B = x - 3 + \mid 1 - 3 x \mid\) khi \(\mid x \mid = \frac{1}{3}\).

Ta có \(\mid x \mid = \frac{1}{3}\) thì \(x = \frac{1}{3}\) hoặc \(x = - \frac{1}{3}\).

+ Với \(x = \frac{1}{3}\) ta có \(B = \frac{1}{3} - 3 + \mid 1 - 3. \frac{1}{3} \mid = - \frac{8}{3}\).

+ Với \(x = - \frac{1}{3}\) ta có \(B = - \frac{1}{3} - 3 + \mid 1 - 3. \left(\right. - \frac{1}{3} \left.\right) \mid = - \frac{1}{3} - 3 + 2 = - \frac{4}{3}\).

a) \(m = \sqrt{25 + 9}\) và \(n = \sqrt{25} + \sqrt{9}\).

Ta có \(m = \sqrt{34}\) và \(n = 5 + 3 = 8 = \sqrt{64}\).

Mà \(34 < 64\) nên \(m < n\).

b) \(y = \sqrt{49 - 16}\) và \(z = \sqrt{81} - \sqrt{9}\).

Ta có \(y = \sqrt{49 - 16} = \sqrt{33}\) và \(z=9-3=6=\sqrt{36}\).

Mà \(33 < 36\) nên \(y < z\).

a) A = \(\sqrt{36} . \left(\right. 3 \sqrt{4} - \sqrt{\frac{1}{9}} \left.\right) + 2\)

= \(6. \left(\right. 3.2 - \frac{1}{3} \left.\right) + 2\)

= \(36 - 2 + 2 = 36.\)

b) B = \(\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{16}}\)

= \(\sqrt{\frac{9 + 16}{9.16}}\)

= \(\sqrt{\frac{5^{2}}{3^{2} . 4^{2}}}\)

= \(\frac{5}{12}\).

c) C = \(\left(\right.\sqrt{\frac{1}{9}}+\sqrt{\frac{25}{36}}-\sqrt{\frac{49}{81}}\left.\right):\sqrt{\frac{441}{324}}\)

= \(\left(\right. \frac{1}{3} + \frac{5}{6} - \frac{7}{9} \left.\right) : \sqrt{\frac{2 1^{2}}{1 8^{2}}}\)

= \(\frac{7}{18} : \frac{7}{6}\)

= \(\frac{1}{3}\).

d) \(\sqrt{\left(\left(\right. \frac{- 2}{5} \left.\right)\right)^{2}} + \sqrt{1 , 44} - \sqrt{256}\)

= \(\frac{2}{5} + 1 , 2 - 16\)

= \(- \frac{72}{5}\).