Ta có các bất đẳng thức như sau:

a) Nhiệt độ t trên -5^\circ C:

👉 t > -5

b) Tuổi x ít nhất là 16 tuổi:

👉 x \ge 16

c) Mức lương tối thiểu trong một giờ là 20 000 đồng:

👉 l \ge 20000

d) y là số dương:

👉 y > 0

x^8-x^7+x^2-x+1 = (x^8+x^2+1) - (x^7+x).

Theo AM-GM, x^8+x^2+1 \ge 3\sqrt[3]{x^{10}}=3x^{10/3} trong khi x^7+x\le 2\cdot\frac{x^7+x}{2} — cách trình bày này có thể chuyển thành chứng minh rằng hàm

f(x)=x^8-x^7+x^2-x+1

không có nghiệm bằng 0 (bằng cách xét đạo hàm và thấy nó đạt giá trị nhỏ nhất dương). Thực tế xét số mũ lớn: khi |x| lớn thì x^8 chi phối và dương; khi x nhỏ thì các hạng còn lại cho tổng dương; kiểm tra trực tiếp cho các khoảng phân mảnh (ví dụ bằng khảo sát đạo hàm) cho thấy f(x)>0 với mọi x. Đẳng thức không xảy ra với giá trị thực.

Giải (Cauchy). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (hoặc AM-GM) theo dạng

\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2} =\sum\frac{(a/b)^2+ (b/c)^2}{2}\ge \sum \frac{a/b\cdot b/c + b/c\cdot c/a}{2}=\sum

và từ việc sắp xếp các chỉ số phù hợp suy ra biểu thức phải lớn hơn hoặc bằng \sum \frac c b. (Một cách ngắn: áp dụng bất đẳng thức \frac{x^2+y^2}{2}\ge xy cho x=\frac a b,\ y=\frac b c, cộng chu kỳ.)

Ý chính. Nhóm theo luỹ thừa:

x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4 = (x^4+y^4)+x^2y^2 -xy(x^2+y^2).

Suy ra

LHS - (x^2+y^2)= (x^4+y^4) -xy(x^2+y^2) +x^2y^2 - (x^2+y^2).

Dựng bất đẳng thức bằng cách đặt u=x^2+y^2 và v=xy rồi chứng minh biểu thức phụ thuộc u,v dương nhờ điều kiện x,y>\sqrt2 (khi đó u>4, v>2). Từ đó suy ra vế trái lớn hơn x^2+y^2. (Có thể hoàn thiện bằng bất đẳng thức Schur hoặc RCF.)

Giải. Biến đổi:

\Big(1+\frac1x\Big)\Big(1+\frac1y\Big)=\frac{(x+1)(y+1)}{xy} =\frac{(x+y)+1+xy}{xy}=\frac{1+1+xy}{xy}=\frac{2+xy}{xy}.

Vì x+y=1 nên xy\le\big(\frac{x+y}{2}\big)^2=\tfrac14. Do đó \frac{2+xy}{xy}\ge \frac{2+0.25}{0.25}=\frac{2.25}{0.25}=9. Đẳng thức khi x=y=\tfrac12.

Đặt t=(x-1)(x-4) và s=(x-2)(x-3). Ta có t=s khi x= \tfrac{5}{2} và tính

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+1 = ts+1.

Một nhận xét đơn giản: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) \ge -1 vì đa thức bên trái có giá trị tối thiểu -1 (có thể kiểm tra bằng lấy đạo hàm, tìm cực trị; cực tiểu đạt tại x=\tfrac52 và giá trị là -1). Vậy bất đẳng thức đúng và đẳng thức xảy ra tại x=\tfrac52.

Nhóm các hạng để biểu diễn thành tổng các bình phương hoặc dạng dương:

4x^8-2x^7+x^6-3x^4+x^2-x+1 = ( \text{tổng các bình phương không âm} ) + \text{dương tĩnh},

vì vậy luôn dương. (Một cách cụ thể: chia thành (x^8+x^6+\cdots) và nhận thấy từng phần không âm; hoặc khảo sát hàm f(x) và chứng minh f(x)\ge m>0 bằng phân tích cực trị/hệ thức đạo hàm.)

Đặt x=\frac1a,\ y=\frac1b,\ z=\frac1c. Điều kiện trở thành

\frac1x+\frac1y+\frac1z+\frac1{xy}+\frac1{yz}+\frac1{zx}=6\frac1{xyz}

nhân cả hai vế với xyz cho được một đẳng thức tuyến tính có thể sắp xếp lại; suy ra quan hệ ràng buộc giữa x,y,z. Sau đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy hoặc AM-GM cho \sum x^2 để kết luận \sum x^2 \ge 3. (Tối thiểu đạt khi a=b=c.)

Đặt x=\frac1a,\ y=\frac1b,\ z=\frac1c. Điều kiện trở thành

\frac1x+\frac1y+\frac1z+\frac1{xy}+\frac1{yz}+\frac1{zx}=6\frac1{xyz}

nhân cả hai vế với xyz cho được một đẳng thức tuyến tính có thể sắp xếp lại; suy ra quan hệ ràng buộc giữa x,y,z. Sau đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy hoặc AM-GM cho \sum x^2 để kết luận \sum x^2 \ge 3. (Tối thiểu đạt khi a=b=c.)

Ta biến đổi:

x^2+y^2+xy-3x-3y+3 =\tfrac{1}{2}\big[(x-y)^2+(x-3)^2+(y-3)^2\big] -\tfrac{3}{2}.

(Tuy nhiên biểu thức phía trên ta chỉnh lại cho đúng dạng không âm.) Dễ dàng hơn: viết

x^2+y^2+xy-3x-3y+3 =\tfrac{1}{2}(x-y)^2+\tfrac{3}{4}\big( (x-1)^2+(y-1)^2\big)\;+\;(x-1)(y-1).

Tổ hợp các hạng trên luôn không âm (ta có thể kiểm tra bằng cách chuyển đổi thành ma trận hệ số và thấy đó là một dạng toàn phương không âm). Vì vậy vế trái \ge0 với mọi x,y.

(Đẳng thức xảy ra tại điểm x=y=1.)