Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ sau cho mọi x, y > 0:

\sqrt{x^2 - xy + y^2} \ge \frac{x+y}{2}

Bình phương hai vế (vì cả hai vế đều không âm):

x^2 - xy + y^2 \ge \left(\frac{x+y}{2}\right)^2

x^2 - xy + y^2 \ge \frac{x^2 + 2xy + y^2}{4}

Nhân cả hai vế với 4:

4x^2 - 4xy + 4y^2 \ge x^2 + 2xy + y^2

3(x^2 - 2xy + y^2) \ge 0

3(x - y)^2 \ge 0

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y. Vậy, bất đẳng thức \sqrt{x^2 - xy + y^2} \ge \frac{x+y}{2} đã được chứng minh. Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức phụ Áp dụng bất đẳng thức phụ đã chứng minh cho ba hạng tử của vế trái (VT) bất đẳng thức cần chứng minh: Với (x, y) = (a, b): \sqrt{a^2 - ab + b^2} \ge \frac{a+b}{2} Với (x, y) = (b, c): \sqrt{b^2 - bc + c^2} \ge \frac{b+c}{2} Với (x, y) = (c, a): \sqrt{c^2 - ca + a^2} \ge \frac{c+a}{2}

Cộng ba bất đẳng thức trên theo vế:

\sqrt{a^2 - ab + b^2} + \sqrt{b^2 - bc + c^2} + \sqrt{c^2 - ca + a^2} \ge \frac{a+b}{2} + \frac{b+c}{2} + \frac{c+a}{2}

Rút gọn vế phải (VP):

\text{VP} = \frac{(a+b) + (b+c) + (c+a)}{2} = \frac{2a + 2b + 2c}{2} = \frac{2(a+b+c)}{2} = a+b+c

Theo giả thiết của bài toán, ta có a + b + c = 3. Thay vào bất đẳng thức vừa tìm được:

\sqrt{a^2 - ab + b^2} + \sqrt{b^2 - bc + c^2} + \sqrt{c^2 - ca + a^2} \ge 3

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tất cả các dấu bằng trong các bất đẳng thức phụ xảy ra, tức là:

a = b \quad (\text{từ 1})

b = c \quad (\text{từ 2})

c = a \quad (\text{từ 3})

Kết hợp với điều kiện a+b+c=3, ta suy ra a = b = c = 1.

Để chứng minh bất đẳng thức này, ta sẽ biến đổi vế trái thành tổng của các bình phương (phương pháp hằng đẳng thức):

a^2 - ab + b^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + \left(\frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2 + b^2

a^2 - ab + b^2 = \left(a - \frac{b}{2}\right)^2 - \frac{b^2}{4} + b^2

a^2 - ab + b^2 = \left(a - \frac{b}{2}\right)^2 + \frac{3b^2}{4}

Vì \left(a - \frac{b}{2}\right)^2 \ge 0 (bình phương của một số thực luôn không âm) và \frac{3b^2}{4} \ge 0 (vì b^2 \ge 0), nên:

\left(a - \frac{b}{2}\right)^2 + \frac{3b^2}{4} \ge 0 + 0 = 0

Vậy bất đẳng thức a^2 - ab + b^2 \ge 0 được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cả hai số hạng đều bằng 0:

\begin{cases} a - \frac{b}{2} = 0 \\ \frac{3b^2}{4} = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} a = \frac{b}{2} \\ b = 0 \end{cases}

Thay b=0 vào phương trình thứ nhất, ta được a = \frac{0}{2} = 0. Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = 0.

Ta xét hiệu của vế trái (VT) và vế phải (VP):

VT - VP = (a^2 - ab + b^2) - \frac{1}{4}(a+b)^2

VT - VP = a^2 - ab + b^2 - \frac{1}{4}(a^2 + 2ab + b^2)

Quy đồng và nhân cả hai vế với 4 (vì 4>0):

4(a^2 - ab + b^2) - (a^2 + 2ab + b^2) \ge 0

4a^2 - 4ab + 4b^2 - a^2 - 2ab - b^2 \ge 0

Thu gọn các hạng tử đồng dạng:

(4a^2 - a^2) + (-4ab - 2ab) + (4b^2 - b^2) \ge 0

3a^2 - 6ab + 3b^2 \ge 0

Đặt thừa số chung 3:

3(a^2 - 2ab + b^2) \ge 0

Sử dụng hằng đẳng thức (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2:

3(a - b)^2 \ge 0

Vì (a-b)^2 \ge 0 với mọi số thực a, b và 3 > 0, nên bất đẳng thức 3(a-b)^2 \ge 0 luôn đúng. Vậy bất đẳng thức a^2 - ab + b^2 \ge \frac{1}{4}(a+b)^2 được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (a-b)^2 = 0:

(a - b)^2 = 0 \implies a - b = 0 \implies a = b

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b.

Đặt các hiệu số sau:

a = y - x

b = z - y

Do điều kiện z \ge y \ge x \ge 0, ta có: a \ge 0 và b \ge 0.

Từ đó, ta biểu diễn y, z và các hiệu số khác theo x, a, b:

y = x + a

z = y + b = x + a + b

y - x = a

z - y = b

z - x = (z - y) + (y - x) = b + a

x - y = -a

x - z = -(a + b)

Thay các biểu thức này vào P:

P = x(x - y)(x - z) + y(y - z)(y - x) + z(z - x)(z - y)

P = x(-a) (-(a+b)) + (x+a)(b)(a) + (x+a+b)(a+b)(b)

P = x a (a + b) + a b (x + a) + b (a + b) (x + a + b)

P = (xa^2 + xab) + (abx + a^2 b) + (ab + b^2)(x + a + b)

P = xa^2 + 2xab + a^2 b + (xab + a^2 b + ab^2 + xb^2 + ab^2 + b^3)

P = xa^2 + 2xab + a^2 b + xab + a^2 b + 2ab^2 + xb^2 + b^3

P = x(a^2 + 2ab + ab + b^2) + (a^2 b + a^2 b + 2ab^2 + b^3)

P = x(a^2 + 3ab + b^2) + (2a^2 b + 2ab^2 + b^3)

P = (y-x)^2 (x + y - z) + z(z - x)(z - y)

Thay a = y-x và b = z-y (với z \ge y \ge x \ge 0, nên a \ge 0, b \ge 0):

y - x = a

z - y = b

z - x = a + b

z = x + a + b

x + y - z = x + (x+a) - (x+a+b) = x - b

Thay vào công thức rút gọn:

P = a^2 (x - b) + (x + a + b) (a + b) b

P = a^2 x - a^2 b + (x + a + b) (ab + b^2)

P = a^2 x - a^2 b + [x(ab + b^2) + a(ab + b^2) + b(ab + b^2)]

P = a^2 x - a^2 b + [xab + xb^2 + a^2 b + ab^2 + ab^2 + b^3]

Các hạng tử -a^2 b và +a^2 b triệt tiêu lẫn nhau:

P = a^2 x + xab + xb^2 + 2ab^2 + b^3

P = a^2 x + xab + xb^2 + 2ab^2 + b^3

Nhóm các hạng tử chứa x:

Vì z \ge y \ge x \ge 0, ta có x \ge 0, a = y-x \ge 0, và b = z-y \ge 0.

Do đó:

x \ge 0 và a^2 + ab + b^2 \ge 0 \implies x(a^2 + ab + b^2) \ge 0.

2ab^2 \ge 0.

b^3 \ge 0.

Vậy P là tổng của các số hạng không âm, suy ra:

P = x(a^2 + ab + b^2) + 2ab^2 + b^3 \ge 0

Bất đẳng thức đã được chứng minh.

Điều kiện dấu đẳng thức xảy ra

Dấu đẳng thức P = 0 xảy ra khi và chỉ khi tất cả các số hạng không âm bằng 0:

x(a^2 + ab + b^2) = 0

2ab^2 = 0

b^3 = 0

Từ (3), suy ra b = 0.

Vì b = z - y, nên \mathbf{z = y}.

Thay b=0 vào (2), ta được 2a(0)^2 = 0, luôn đúng.

Thay b=0 vào (1): x(a^2 + a(0) + 0^2) = 0 \implies xa^2 = 0.

Vì x \ge 0 và a^2 \ge 0, điều này xảy ra khi và chỉ khi x=0 hoặc a=0.

Trường hợp 1: x=0. Kết hợp với z=y, ta được x=0 và y=z.

Trường hợp 2: a=0. Vì a = y-x, nên y=x. Kết hợp với z=y, ta được x=y=z.

Tóm lại, dấu đẳng thức xảy ra khi \mathbf{x=y=z} hoặc \mathbf{x=0} và \mathbf{y=z}.