Cho a a, b b là hai số thực tùy ý. Chứng minh rằng: 1) a 2 − a b + b 2 ≥ 0 a 2 −ab+b 2 ≥0. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? 2) a 2 − a b + b 2 ≥ 1 4 ( a + b ) 2 a 2 −ab+b 2 ≥ 4 1 (a+b) 2 . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Hướng dẫn giải: 1) Có a 2 − a b + b 2 = 1 4 ( 4 a 2 − 4 a b + 4 b 2 ) = 1 4 ( 2 a − b ) 2 + 3 4 b 2 ≥ 0 a 2 −ab+b 2 = 4 1 (4a 2 −4ab+4b 2 )= 4 1 (2a−b) 2 + 4 3 b 2 ≥0. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi { b = 0 2 a − b = 0 { b=0 2a−b=0 hay a = b = 0 a=b=0. 2) Có a 2 − a b + b 2 = 1 4 ( 4 a 2 − 4 a b + 4 b 2 ) a 2 −ab+b 2 = 4 1 (4a 2 −4ab+4b 2 ) = 1 4 ( a + b ) 2 + 3 4 ( a − b ) 2 ≥ 1 4 ( a + b ) 2 = 4 1 (a+b) 2 + 4 3 (a−b) 2 ≥ 4 1 (a+b) 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b a=b.

Cho a a, b b là hai số thực tùy ý. Chứng minh rằng: 1) a 2 − a b + b 2 ≥ 0 a 2 −ab+b 2 ≥0. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? 2) a 2 − a b + b 2 ≥ 1 4 ( a + b ) 2 a 2 −ab+b 2 ≥ 4 1 (a+b) 2 . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Hướng dẫn giải: 1) Có a 2 − a b + b 2 = 1 4 ( 4 a 2 − 4 a b + 4 b 2 ) = 1 4 ( 2 a − b ) 2 + 3 4 b 2 ≥ 0 a 2 −ab+b 2 = 4 1 (4a 2 −4ab+4b 2 )= 4 1 (2a−b) 2 + 4 3 b 2 ≥0. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi { b = 0 2 a − b = 0 { b=0 2a−b=0 hay a = b = 0 a=b=0. 2) Có a 2 − a b + b 2 = 1 4 ( 4 a 2 − 4 a b + 4 b 2 ) a 2 −ab+b 2 = 4 1 (4a 2 −4ab+4b 2 ) = 1 4 ( a + b ) 2 + 3 4 ( a − b ) 2 ≥ 1 4 ( a + b ) 2 = 4 1 (a+b) 2 + 4 3 (a−b) 2 ≥ 4 1 (a+b) 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b a=b.

giả thiết z ≥ y ≥ x ≥ 0 z≥y≥x≥0 suy ra x ( x − y ) ( x − z ) ≥ 0 x(x−y)(x−z)≥0 (1). Hai số hạng còn lại của vế trái bất đẳng thức cần chứng minh có nhân tử chung z − y ≥ 0 z−y≥0 (2) và ta có y ( y − z ) ( y − x ) + z ( z − x ) ( z − y ) = ( z − y ) [ z ( z − x ) − y ( y − x ) ] y(y−z)(y−x)+z(z−x)(z−y)=(z−y)[z(z−x)−y(y−x)] (3) Mà z ≥ y ≥ x ≥ 0 z≥y≥x≥0 nên z ≥ y ≥ 0 z≥y≥0 và z − x ≥ y − x ≥ 0 z−x≥y−x≥0, từ đó z ( z − x ) ≥ y ( y − x ) z(z−x)≥y(y−x) nên z ( z − x ) − y ( y − x ) ≥ 0 z(z−x)−y(y−x)≥0 (4) Từ (2) và (4) suy ra ( z − y ) [ z ( z − x ) − y ( y − x ) ] ≥ 0 (z−y)[z(z−x)−y(y−x)]≥0, kết hợp với (3) suy ra y ( y − z ) ( y − x ) + z ( z − x ) ( z − y

) ≥ 0 y(y−z)(y−x)+z(z−x)(z−y)≥0 (5). Từ (1) và (5) suy ra điều phải chứng minh.