Chú ý rằng 1 + 4 = 2 + 3 1+4=2+3, ta đặt t = ( x − 1 ) ( x − 4 ) = x 2 − 5 x + 4 t=(x−1)(x−4)=x 2 −5x+4 thì ( x − 2 ) ( x − 3 ) = x 2 − 5 x + 6 = t + 2 (x−2)(x−3)=x 2 −5x+6=t+2 từ đó ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 4 ) + 1 (x−1)(x−2)(x−3)(x−4)+1 = t ( t + 2 ) + 1 = t 2 + 2 t + 1 = ( t + 1 ) 2 ≥ 0 =t(t+2)+1=t 2 +2t+1=(t+1) 2 ≥0 Dẳng thức chỉ xảy ra khi t = − 1 t=−1 hay x 2 − 5 x + 4 = − 1 x 2 −5x+4=−1 x 2 − 5 x + 5 = 0 x 2 −5x+5=0 x = 5 ± 5 2 x= 2 5± 5 .

Vế trái bất đẳng thức cần chứng minh là x 6 ( x − 1 ) 2 + 3 ( x 4 − 1 2 ) 2 + ( x − 1 2 ) 2 x 6 (x−1) 2 +3(x 4 − 2 1 ) 2 +(x− 2 1 ) 2 . Từ đó suy ra đpcm.

Giả thiết đã cho tương đương với 1 a + 1 b + 1 c + 1 a b + 1 b c + 1 c a = 6 a 1 + b 1 + c 1 + ab 1 + bc 1 + ca 1 =6. (1) Ta có ( 1 a − 1 ) 2 ≥ 0 ( a 1 −1) 2 ≥0 1 a 2 + 1 ≥ 2 a a 2 1 +1≥ a 2 nên 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 ≥ 2 ( 1 a + 1 b + 1 c ) − 3 a 2 1 + b 2 1 + c 2 1 ≥2( a 1 + b 1 + c 1 )−3 (2) Lại có 1 a 2 + 1 b 2 ≥ 2 a b a 2 1 + b 2 1 ≥ ab 2 nên 2 ( 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 ) ≥ 2 ( 1 a b + 1 b c + 1 c a ) 2( a 2 1 + b 2 1 + c 2 1 )≥2( ab 1 + bc 1 + ca 1 ) (3) Cộng (2) và (3) theo vế và sử dụng (1) ta có 3 ( 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 ) ≥ 2 ( 1 a b + 1 b c + 1 c a + 1 a + 1 b + 1 c ) − 3 = 2.6 − 3 = 9 3( a 2 1 + b 2 1 + c 2 1 )≥2( ab 1 + bc 1 + ca 1 + a 1 + b 1 + c 1 )−3=2.6−3=9 Suy ra 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 ≥ 3 a 2 1 + b 2 1 + c 2 1 ≥3.

x 2 +y 2 +xy−3x−3y+3 = ( x − 1 ) 2 + ( y − 1 ) 2 + x y + 1 − x − y =(x−1) 2 +(y−1) 2 +xy+1−x−y = ( x − 1 ) 2 + ( y − 1 ) 2 + ( x − 1 ) ( y − 1 ) ≥ 0 =(x−1) 2 +(y−1) 2 +(x−1)(y−1)≥0 (do a 2 + a b + b 2 = 1 4 ( 4 a 2 + 4 a b + 4 b 2 ) = 1 4 ( 2 a + b ) 2 + 3 4 b 2 ≥ 0 a 2 +ab+b 2 = 4 1 (4a 2 +4ab+4b 2 )= 4 1 (2a+b) 2 + 4 3 b 2 ≥0)

có a 2 − a b + b 2 = 1 4 ( a + b ) 2 + 3 4 ( a − b ) 2 ≥ 1 2 ( a + b ) a 2 −ab+b 2 = 4 1 (a+b) 2 + 4 3 (a−b) 2 ≥ 2 1 (a+b). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b a=b. Trương tự b 2 − b c + c 2 ≥ 1 2 ( b + c ) b 2 −bc+c 2 ≥ 2 1 (b+c) và c 2 − c a + c a ≥ 1 2 ( c + a ) c 2 −ca+ca ≥ 2 1 (c+a). Từ đó a 2 − a b + b 2 + b 2 − b c + c 2 + c 2 − c a + a 2 ≥ 1 2 ( a + b + b + c + c + a ) a 2 −ab+b 2 + b 2 −bc+c 2 + c 2 −ca+a 2 ≥ 2 1 (a+b+b+c+c+a) = ( a + b + c ) = 3 =(a+b+c)=3 Vậy a 2 − a b + b 2 + b 2 − b c + c 2 + c 2 − c a + a 2 ≥ 3 a 2 −ab+b 2 + b 2 −bc+c 2 + c 2 −ca+a 2 ≥3. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = a + b + c 3 = 1 a=b=c= 3 a+b+c =1.

Cho a a, b b là hai số thực tùy ý. Chứng minh rằng: 1) a 2 − a b + b 2 ≥ 0 a 2 −ab+b 2 ≥0. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? 2) a 2 − a b + b 2 ≥ 1 4 ( a + b ) 2 a 2 −ab+b 2 ≥ 4 1 (a+b) 2 . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Hướng dẫn giải: 1) Có a 2 − a b + b 2 = 1 4 ( 4 a 2 − 4 a b + 4 b 2 ) = 1 4 ( 2 a − b ) 2 + 3 4 b 2 ≥ 0 a 2 −ab+b 2 = 4 1 (4a 2 −4ab+4b 2 )= 4 1 (2a−b) 2 + 4 3 b 2 ≥0. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi { b = 0 2 a − b = 0 { b=0 2a−b=0 hay a = b = 0 a=b=0. 2) Có a 2 − a b + b 2 = 1 4 ( 4 a 2 − 4 a b + 4 b 2 ) a 2 −ab+b 2 = 4 1 (4a 2 −4ab+4b 2 ) = 1 4 ( a + b ) 2 + 3 4 ( a − b ) 2 ≥ 1 4 ( a + b ) 2 = 4 1 (a+b) 2 + 4 3 (a−b) 2 ≥ 4 1 (a+b) 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b a=b.

Cho a a, b b là hai số thực tùy ý. Chứng minh rằng: 1) a 2 − a b + b 2 ≥ 0 a 2 −ab+b 2 ≥0. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? 2) a 2 − a b + b 2 ≥ 1 4 ( a + b ) 2 a 2 −ab+b 2 ≥ 4 1 (a+b) 2 . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Hướng dẫn giải: 1) Có a 2 − a b + b 2 = 1 4 ( 4 a 2 − 4 a b + 4 b 2 ) = 1 4 ( 2 a − b ) 2 + 3 4 b 2 ≥ 0 a 2 −ab+b 2 = 4 1 (4a 2 −4ab+4b 2 )= 4 1 (2a−b) 2 + 4 3 b 2 ≥0. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi { b = 0 2 a − b = 0 { b=0 2a−b=0 hay a = b = 0 a=b=0. 2) Có a 2 − a b + b 2 = 1 4 ( 4 a 2 − 4 a b + 4 b 2 ) a 2 −ab+b 2 = 4 1 (4a 2 −4ab+4b 2 ) = 1 4 ( a + b ) 2 + 3 4 ( a − b ) 2 ≥ 1 4 ( a + b ) 2 = 4 1 (a+b) 2 + 4 3 (a−b) 2 ≥ 4 1 (a+b) 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b a=b.

Cho a a, b b là hai số thực tùy ý. Chứng minh rằng: 1) a 2 − a b + b 2 ≥ 0 a 2 −ab+b 2 ≥0. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? 2) a 2 − a b + b 2 ≥ 1 4 ( a + b ) 2 a 2 −ab+b 2 ≥ 4 1 (a+b) 2 . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Hướng dẫn giải: 1) Có a 2 − a b + b 2 = 1 4 ( 4 a 2 − 4 a b + 4 b 2 ) = 1 4 ( 2 a − b ) 2 + 3 4 b 2 ≥ 0 a 2 −ab+b 2 = 4 1 (4a 2 −4ab+4b 2 )= 4 1 (2a−b) 2 + 4 3 b 2 ≥0. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi { b = 0 2 a − b = 0 { b=0 2a−b=0 hay a = b = 0 a=b=0. 2) Có a 2 − a b + b 2 = 1 4 ( 4 a 2 − 4 a b + 4 b 2 ) a 2 −ab+b 2 = 4 1 (4a 2 −4ab+4b 2 ) = 1 4 ( a + b ) 2 + 3 4 ( a − b ) 2 ≥ 1 4 ( a + b ) 2 = 4 1 (a+b) 2 + 4 3 (a−b) 2 ≥ 4 1 (a+b) 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b a=b.

Cho a a, b b là hai số thực tùy ý. Chứng minh rằng: 1) a 2 − a b + b 2 ≥ 0 a 2 −ab+b 2 ≥0. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? 2) a 2 − a b + b 2 ≥ 1 4 ( a + b ) 2 a 2 −ab+b 2 ≥ 4 1 (a+b) 2 . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Hướng dẫn giải: 1) Có a 2 − a b + b 2 = 1 4 ( 4 a 2 − 4 a b + 4 b 2 ) = 1 4 ( 2 a − b ) 2 + 3 4 b 2 ≥ 0 a 2 −ab+b 2 = 4 1 (4a 2 −4ab+4b 2 )= 4 1 (2a−b) 2 + 4 3 b 2 ≥0. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi { b = 0 2 a − b = 0 { b=0 2a−b=0 hay a = b = 0 a=b=0. 2) Có a 2 − a b + b 2 = 1 4 ( 4 a 2 − 4 a b + 4 b 2 ) a 2 −ab+b 2 = 4 1 (4a 2 −4ab+4b 2 ) = 1 4 ( a + b ) 2 + 3 4 ( a − b ) 2 ≥ 1 4 ( a + b ) 2 = 4 1 (a+b) 2 + 4 3 (a−b) 2 ≥ 4 1 (a+b) 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b a=b.

Cho a a, b b là hai số thực tùy ý. Chứng minh rằng: 1) a 2 − a b + b 2 ≥ 0 a 2 −ab+b 2 ≥0. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? 2) a 2 − a b + b 2 ≥ 1 4 ( a + b ) 2 a 2 −ab+b 2 ≥ 4 1 (a+b) 2 . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Hướng dẫn giải: 1) Có a 2 − a b + b 2 = 1 4 ( 4 a 2 − 4 a b + 4 b 2 ) = 1 4 ( 2 a − b ) 2 + 3 4 b 2 ≥ 0 a 2 −ab+b 2 = 4 1 (4a 2 −4ab+4b 2 )= 4 1 (2a−b) 2 + 4 3 b 2 ≥0. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi { b = 0 2 a − b = 0 { b=0 2a−b=0 hay a = b = 0 a=b=0. 2) Có a 2 − a b + b 2 = 1 4 ( 4 a 2 − 4 a b + 4 b 2 ) a 2 −ab+b 2 = 4 1 (4a 2 −4ab+4b 2 ) = 1 4 ( a + b ) 2 + 3 4 ( a − b ) 2 ≥ 1 4 ( a + b ) 2 = 4 1 (a+b) 2 + 4 3 (a−b) 2 ≥ 4 1 (a+b) 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b a=b.