xét ΔABC vuông tại B ta có

tan∠BAC = BC/AB = 2/ 2,5 = 0,8 ( tỉ số lượng giác góc nhọn )

suy ra ∠BAC ≈ 38,7^o

Ta có: \(\hat{B A D} = \hat{B A C} + \hat{C A D} = 38 , 7^{\circ} + 2 0^{\circ} = 58 , 7^{\circ}\)

Xét \(\Delta A B D\) vuông tại \(B\), ta có:

\(tan ⁡ \hat{B A D} = \frac{B D}{A B}\) (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

Suy ra \(B D = A B . tan ⁡ \hat{B A D} = 2 , 5. tan ⁡ 58 , 7^{\circ} \approx 4 , 1\) m.

\(C D = B D - B C = 4 , 1 - 2 = 2 , 1\) m.

Vậy độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất là \(2 , 1\) m.

1) sin35^o = cos( 90^o - 35^o ) = cos 55^o ;

tan 28^o = cot( 90^o - 28^o ) = cot 62^o

2) Xét ΔABC vuông tại A , ta có

BC = 20

cos B^{^} = AB/BC=AB/20 cos = 36^o

Suy ra AB = BC × cos 36^o =16,18 cm

Gọi tốc độ lúc xe máy về là x ( km/h ), x > 0

Tốc độ xe máy lúc đi là x + 10 ( km/h )

Thời gian của xe máy lúc đi là : 60/ x + 10 (h)

Thời gian xe máy lúc về là : 60/x (h)

Theo bài ra ta có phương trình :

60/ x - 60/ x + 10 = 1/2

120x + 1200/ 2x( x + 10 ) - 120x/2x( x + 10 ) = x( x + 10 )/ 2x( x + 10 )

120x + 1200 - 120x = x( x + 10 )

x² + 10x = 1200

x² + 10x + 25 =1225

( x + 5 )² = 1225

[ x + 5 = 35

[ x + 5 = -35

[ x = 30

[ x = -40

Đối chiếu điều kiện, ta có : x = 30 thỏa mãn

Vậy tốc độ của xe máy là 30 km/h

a) Điều kiện xác định x ≠ -5

Ta có x+6/x+5+ 3/2 =2

x+6 / x+5 =1/2

2( x+6 ) = x+5

2x + 12 = x+5

x = -7 ( thỏa mãn điều kiện )

vậy phương trình đã cho có no x = -7

b) { x + 3y = -2

{5x + 8y = 11

{ -5x -15y = 10

{ 5x + 8y =11

{ -7 = 21

{ 5x + 8y = 11

{ y = -3

{ 5x + 8 .( -3 ) = 11

{ y = -3

{ x = 7

vậy hệ phương trình đã cho có ( x ; y ) ; ( 7 ; -3)

a) t > -5

b)x >=16

c) với y ( đồng) là mức lương tối thiểu cho một giờ làm việc của người lao động, ta có bất đẳng thức y >= 20000

d) y > 0

Nếu x < 1 x<1 thì x 8 − x 7 + x 2 − x + 1 x 8 −x 7 +x 2 −x+1 = x 8 + x 2 ( 1 − x 5 ) + ( 1 − x ) > 0 =x 8 +x 2 (1−x 5 )+(1−x)>0. ⚡Nếu x ≥ 1 x≥1 thì x 8 − x 7 + x 2 − x + 1 x 8 −x 7 +x 2 −x+1 = x 7 ( x − 1 ) + x ( x − 1 ) + 1 > 0 =x 7 (x−1)+x(x−1)+1>0.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 ( a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) ≥ 2 ( c b + b a + a c ) 2( b 2 a 2 + c 2 b 2 + a 2 c 2 )≥2( b c + a b + c a ) Xét dấu hiệu 2 ( a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) − 2 ( c b + b a + a c ) 2( b 2 a 2 + c 2 b 2 + a 2 c 2 )−2( b c + a b + c a ) = ( a b − b c ) 2 + ( b c − c a ) 2 + ( c a − a b ) 2 ≥ 0 =( b a − c b ) 2 +( c b − a c ) 2 +( a c − b a ) 2 ≥0 Từ đó suy ra đpcm.

Hướng dẫn giải: Nhân hai vế bất đẳng thức cần chứng minh với x + y x+y ta được bất đẳng thức tương đương là x 5 + y 5 > ( x 2 + y 2 ) ( x + y ) x 5 +y 5 >(x 2 +y 2 )(x+y) (1) Từ giả thiết x > 2 x> 2 suy ra x 2 > 2 x 2 >2 suy ra x 5 > 2 x 3 x 5 >2x 3 , từ đó x 5 + y 5 > 2 ( x 3 + y 3 ) x 5 +y 5 >2(x 3 +y 3 ) = 2 ( x 2 − x y + y 2 ) ( x + y ) =2(x 2 −xy+y 2 )(x+y) = ( x − y ) 2 + ( x 2 + y 2 ) ( x + y ) ≥ ( x 2 + y 2 ) ( x + y ) =(x−y) 2 +(x 2 +y 2 )(x+y)≥(x 2 +y 2 )(x+y) suy ra (1), điều phải chứng minh.

Chú ý rằng x + y = 1 x+y=1 nên ( 1 + 1 x ) ( 1 + 1 y ) − 9 (1+ x 1 )(1+ y 1 )−9 = ( x + 1 ) ( y + 1 ) − 9 x y x y = 2 − 8 x y x y = xy (x+1)(y+1)−9xy = xy 2−8xy = 2 ( 1 − 4 x y ) x y = 2 ( ( x + y ) 2 − 4 x y ) x y = xy 2(1−4xy) = xy 2((x+y) 2 −4xy) = 2 ( x − y ) 2 x y ≥ 0 = xy 2(x−y) 2 ≥0 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1 2 x=y= 2 1