nếu \(x < 1\) thì \(x^{8} - x^{7} + x^{2} - x + 1\)

\(= x^{8} + x^{2} \left(\right. 1 - x^{5} \left.\right) + \left(\right. 1 - x \left.\right) > 0\).

nếu \(x \geq 1\) thì \(x^{8} - x^{7} + x^{2} - x + 1\)

\(= x^{7} \left(\right. x - 1 \left.\right) + x \left(\right. x - 1 \left.\right) + 1 > 0\).

Theo Cosi 

\(\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} \geq 2 \sqrt{\frac{a^{2} . b^{2}}{b^{2} . c^{2}}} = \frac{2 a}{c} ; \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq 2 \sqrt{\frac{b^{2} . c^{2}}{c^{2} . a^{2}}} = \frac{2 b}{a} ; \frac{c^{2}}{a^{2}} + \frac{a^{2}}{b^{2}} \geq 2 \sqrt{\frac{c^{2} . a^{2}}{a^{2} . b^{2}}} = \frac{2 c}{b}\)

Cộng vế với vế 

\(2 \left(\right. \frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \left.\right) \geq 2 \left(\right. \frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{b} \left.\right) \Rightarrow \frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq \frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{b}\)

Dấu ''='' xảy ra khi a = b = c 

Nhân hai vế bất đẳng thức cần chứng minh với \(x + y\) ta được bất đẳng thức tương đương là

\(x^{5} + y^{5} > \left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right) \left(\right. x + y \left.\right)\) (1)

Từ giả thiết \(x > \sqrt{2}\) suy ra \(x^{2} > 2\) suy ra \(x^{5} > 2 x^{3}\), từ đó   

\(x^{5} + y^{5} > 2 \left(\right. x^{3} + y^{3} \left.\right)\)

\(= 2 \left(\right. x^{2} - x y + y^{2} \left.\right) \left(\right. x + y \left.\right)\)

\(= \left(\right. x - y \left.\right)^{2} + \left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right) \left(\right. x + y \left.\right) \geq \left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right) \left(\right. x + y \left.\right)\) suy ra (1), điều phải chứng minh.

Ta có \(x + y = 1\)

\(\left(\right. 1 + \frac{1}{x} \left.\right) \left(\right. 1 + \frac{1}{y} \left.\right) = \left(\right. 1 + \frac{x + y}{x} \left.\right) \left(\right. 1 + \frac{x + y}{y} \left.\right) = \left(\right. 2 + \frac{y}{x} \left.\right) \left(\right. 2 + \frac{x}{y} \left.\right)\)

\(= 5 + \frac{2 x}{y} + \frac{2 y}{x} = 5 + 2 \left(\right. \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \left.\right)\)

Theo Cosi \(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2 \sqrt{\frac{x}{y} . \frac{y}{x}} = 2 \Rightarrow 2 \left(\right. \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \left.\right) \geq 4 \Rightarrow 5 + 2 \left(\right. \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \left.\right) \geq 9\)

Dấu ''='' xảy ra khi x = y 

(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)+1≥0⇔[(x−1)(x−4)][(x−2)(x−3)]+1≥0⇔(x2−x−4x+4)(x2−2x−3x+6)+1≥0⇔(x2−5x+4)(x2−5x+6)+1≥0⇔(x2−5x)2+4(x2−5x)+6(x2−5x)+4⋅6+1≥0⇔(x2−5x)2+10(x2−5x)+25≥0⇔(x2−5x)2+2⋅(x2−5x)⋅5+52≥0⇔(x2−5x+5)2≥0(luôn đúng) 

Vế trái bất đẳng thức cần chứng minh là \(x^{6} \left(\right. x - 1 \left.\right)^{2} + 3 \left(\right. x^{4} - \frac{1}{2} \left.\right)^{2} + \left(\right. x - \frac{1}{2} \left.\right)^{2}\).

Từ đó suy ra đpcm.

Giả thiết đã cho tương đương với \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a} = 6\). (1)

Ta có \(\left(\right. \frac{1}{a} - 1 \left.\right)^{2} \geq 0\)

\(\frac{1}{a^{2}} + 1 \geq \frac{2}{a}\) nên 

\(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \geq 2 \left(\right. \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \left.\right) - 3\) (2)

Lại có \(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq \frac{2}{a b}\) nên 

\(2 \left(\right. \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \left.\right) \geq 2 \left(\right. \frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a} \left.\right)\) (3)

Cộng (2) và (3) theo vế  và sử dụng (1)  ta có    

\(3 \left(\right. \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \left.\right) \geq 2 \left(\right. \frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \left.\right) - 3 = 2.6 - 3 = 9\) 

Suy ra \(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \geq 3\).

Xét \(f \left(\right. x \left.\right) = V T = x^{2} + y^{2} + x y - 3 x - 3 y + 3\)

\(= x^{2} + \left(\right. y - 3 \left.\right) x + y^{2} - 3 y + 3\)

 Có \(\Delta = \left(\left(\right. \left(\right. y - 3 \left.\right) \left.\right)\right)^{2} - 4 \left(\right. y^{2} - 3 y + 3 \left.\right)\)

\(= y^{2} - 6 y + 9 - 4 y^{2} + 12 y - 12\)

\(= - 3 y^{2} + 6 y - 3\)

\(= - 3 \left(\left(\right. \left(\right. y - 1 \left.\right) \left.\right)\right)^{2} \leq 0\) với mọi \(y \in R\)

 Mà \(f \left(\right. x \left.\right)\) có hệ số cao nhất bằng \(1 > 0\) nên từ đây có \(V T = f \left(\right. x \left.\right) \geq 0\)

 Dấu "=" xảy ra khi \(y = 1\). Khi đó \(\Delta = 0\) nên pt \(f \left(\right. x \left.\right) = 0\) có nghiệm kép \(\Leftrightarrow\) \(x = \frac{- \left(\right. y - 3 \left.\right)}{2} = 1\).

Ta có \(\sqrt{a^{2} - a b + b^{2}} = \sqrt{\frac{1}{4} \left(\right. a + b \left.\right)^{2} + \frac{3}{4} \left(\right. a - b \left.\right)^{2}} \& \text{nbsp} ; \geq \frac{1}{2} \left(\right. a + b \left.\right)\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\).

Trương tự \(\sqrt{b^{2} - b c + c^{2}} \geq \frac{1}{2} \left(\right. b + c \left.\right)\) và \(\sqrt{c^{2} - c a + c a} \geq \frac{1}{2} \left(\right. c + a \left.\right)\).

Từ đó \(\sqrt{a^{2} - a b + b^{2}} + \sqrt{b^{2} - b c + c^{2}} + \sqrt{c^{2} - c a + a^{2}} \geq \frac{1}{2} \left(\right. a + b + b + c + c + a \left.\right)\)

\(= \left(\right. a + b + c \left.\right) = 3\)                                                                           

Vậy \(\sqrt{a^{2} - a b + b^{2}} + \sqrt{b^{2} - b c + c^{2}} + \sqrt{c^{2} - c a + a^{2}} \geq 3\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = \frac{a + b + c}{3} = 1\).

1) \(a^{2} - a b + b^{2}\)

\(= \left(\right. a^{2} - 2 \cdot a \cdot \frac{1}{2} b + \frac{1}{4} b^{2} \left.\right) + \frac{3}{4} b^{2} = \left(\left(\right. \left(\right. a - \frac{1}{2} b \left.\right) \left.\right)\right)^{2} + \frac{3}{4} b^{2} \geq 0 \forall a , b\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\left{\right. a - \frac{1}{2} b = 0 \\ b = 0 \Leftrightarrow a = b = 0\) 

2) \(a^{2} - a b + b^{2} \geq \frac{1}{4} \left(\left(\right. \left(\right. a + b \left.\right) \left.\right)\right)^{2}\)

\(< = > a^{2} - a b + b^{2} \geq \frac{1}{4} \left(\right. a^{2} + 2 a b + b^{2} \left.\right) < = > a^{2} - a b + b^{2} \geq \frac{1}{4} a^{2} + \frac{1}{2} a b + \frac{1}{4} b^{2} < = > \frac{3}{4} a^{2} - \frac{3}{2} a b + \frac{3}{4} b^{2} \geq 0 < = > \frac{3}{4} \left(\right. a^{2} - 2 a b + b^{2} \left.\right) \geq 0 < = > \frac{3}{4} \left(\left(\right. \left(\right. a - b \left.\right) \left.\right)\right)^{2} \geq 0 \left(\right. \text{lu} \hat{\text{o}} \text{n} \& \text{nbsp} ; đ \text{ng} \left.\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a - b = 0 < = > a = b\)