Ta sẽ biến đổi vế trái của bất đẳng thức thành tổng của các bình phương (tổng các số không âm).

Gọi biểu thức cần chứng minh là P.

Ta nhóm các hạng tử chứa x và hoàn thành bình phương cho x:

Sử dụng công thức (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2, ta có:

Thêm và bớt \left(\frac{y-3}{2}\right)^2 để hoàn thành bình phương cho x:

Tiếp tục phân tích tử số của phân thức thứ hai:

Thay vào biểu thức P:

Vì x, y là các số thực tùy ý, nên:

* \left(x + \frac{y-3}{2}\right)^2 \geq 0 (bình phương của một số thực luôn không âm).

* \frac{3(y-1)^2}{4} \geq 0 (vì 3 > 0, 4 > 0 và (y-1)^2 \geq 0).

Do đó, tổng của hai số không âm cũng là một số không âm:

Vậy, bất đẳng thức đã được chứng minh.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

Dấu bằng xảy ra khi x = 1 và y = 1.

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ sau cho mọi x, y > 0:

\sqrt{x^2 - xy + y^2} \ge \frac{x+y}{2}

Bình phương hai vế (vì cả hai vế đều không âm):

x^2 - xy + y^2 \ge \left(\frac{x+y}{2}\right)^2

x^2 - xy + y^2 \ge \frac{x^2 + 2xy + y^2}{4}

Nhân cả hai vế với 4:

4x^2 - 4xy + 4y^2 \ge x^2 + 2xy + y^2

3(x^2 - 2xy + y^2) \ge 0

3(x - y)^2 \ge 0

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y. Vậy, bất đẳng thức \sqrt{x^2 - xy + y^2} \ge \frac{x+y}{2} đã được chứng minh. Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức phụ Áp dụng bất đẳng thức phụ đã chứng minh cho ba hạng tử của vế trái (VT) bất đẳng thức cần chứng minh: Với (x, y) = (a, b): \sqrt{a^2 - ab + b^2} \ge \frac{a+b}{2} Với (x, y) = (b, c): \sqrt{b^2 - bc + c^2} \ge \frac{b+c}{2} Với (x, y) = (c, a): \sqrt{c^2 - ca + a^2} \ge \frac{c+a}{2}

Cộng ba bất đẳng thức trên theo vế:

\sqrt{a^2 - ab + b^2} + \sqrt{b^2 - bc + c^2} + \sqrt{c^2 - ca + a^2} \ge \frac{a+b}{2} + \frac{b+c}{2} + \frac{c+a}{2}

Rút gọn vế phải (VP):

\text{VP} = \frac{(a+b) + (b+c) + (c+a)}{2} = \frac{2a + 2b + 2c}{2} = \frac{2(a+b+c)}{2} = a+b+c

Theo giả thiết của bài toán, ta có a + b + c = 3. Thay vào bất đẳng thức vừa tìm được:

\sqrt{a^2 - ab + b^2} + \sqrt{b^2 - bc + c^2} + \sqrt{c^2 - ca + a^2} \ge 3

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tất cả các dấu bằng trong các bất đẳng thức phụ xảy ra, tức là:

a = b \quad (\text{từ 1})

b = c \quad (\text{từ 2})

c = a \quad (\text{từ 3})

Kết hợp với điều kiện a+b+c=3, ta suy ra a = b = c = 1.

Để chứng minh bất đẳng thức này, ta sẽ biến đổi vế trái thành tổng của các bình phương (phương pháp hằng đẳng thức):

a^2 - ab + b^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + \left(\frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2 + b^2

a^2 - ab + b^2 = \left(a - \frac{b}{2}\right)^2 - \frac{b^2}{4} + b^2

a^2 - ab + b^2 = \left(a - \frac{b}{2}\right)^2 + \frac{3b^2}{4}

Vì \left(a - \frac{b}{2}\right)^2 \ge 0 (bình phương của một số thực luôn không âm) và \frac{3b^2}{4} \ge 0 (vì b^2 \ge 0), nên:

\left(a - \frac{b}{2}\right)^2 + \frac{3b^2}{4} \ge 0 + 0 = 0

Vậy bất đẳng thức a^2 - ab + b^2 \ge 0 được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cả hai số hạng đều bằng 0:

\begin{cases} a - \frac{b}{2} = 0 \\ \frac{3b^2}{4} = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} a = \frac{b}{2} \\ b = 0 \end{cases}

Thay b=0 vào phương trình thứ nhất, ta được a = \frac{0}{2} = 0. Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = 0.

Ta xét hiệu của vế trái (VT) và vế phải (VP):

VT - VP = (a^2 - ab + b^2) - \frac{1}{4}(a+b)^2

VT - VP = a^2 - ab + b^2 - \frac{1}{4}(a^2 + 2ab + b^2)

Quy đồng và nhân cả hai vế với 4 (vì 4>0):

4(a^2 - ab + b^2) - (a^2 + 2ab + b^2) \ge 0

4a^2 - 4ab + 4b^2 - a^2 - 2ab - b^2 \ge 0

Thu gọn các hạng tử đồng dạng:

(4a^2 - a^2) + (-4ab - 2ab) + (4b^2 - b^2) \ge 0

3a^2 - 6ab + 3b^2 \ge 0

Đặt thừa số chung 3:

3(a^2 - 2ab + b^2) \ge 0

Sử dụng hằng đẳng thức (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2:

3(a - b)^2 \ge 0

Vì (a-b)^2 \ge 0 với mọi số thực a, b và 3 > 0, nên bất đẳng thức 3(a-b)^2 \ge 0 luôn đúng. Vậy bất đẳng thức a^2 - ab + b^2 \ge \frac{1}{4}(a+b)^2 được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (a-b)^2 = 0:

(a - b)^2 = 0 \implies a - b = 0 \implies a = b

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b.

Đặt các hiệu số sau:

a = y - x

b = z - y

Do điều kiện z \ge y \ge x \ge 0, ta có: a \ge 0 và b \ge 0.

Từ đó, ta biểu diễn y, z và các hiệu số khác theo x, a, b:

y = x + a

z = y + b = x + a + b

y - x = a

z - y = b

z - x = (z - y) + (y - x) = b + a

x - y = -a

x - z = -(a + b)

Thay các biểu thức này vào P: P = x(x - y)(x - z) + y(y - z)(y - x) + z(z - x)(z - y)P = x(-a) (-(a+b)) + (x+a)(b)(a) + (x+a+b)(a+b)(b)P = x a (a + b) + a b (x + a) + b (a + b) (x + a + b)P = (xa^2 + xab) + (abx + a^2 b) + (ab + b^2)(x + a + b)P = xa^2 + 2xab + a^2 b + (xab + a^2 b + ab^2 + xb^2 + ab^2 + b^3)P = xa^2 + 2xab + a^2 b + xab + a^2 b + 2ab^2 + xb^2 + b^3P = x(a^2 + 2ab + ab + b^2) + (a^2 b + a^2 b + 2ab^2 + b^3)P = x(a^2 + 3ab + b^2) + (2a^2 b + 2ab^2 + b^3)P = (y-x)^2 (x + y - z) + z(z - x)(z - y)Thay a = y-x và b = z-y (với z \ge y \ge x \ge 0, nên a \ge 0, b \ge 0):

y - x = a

z - y = b

z - x = a + b

z = x + a + b

x + y - z = x + (x+a) - (x+a+b) = x - b

Thay vào công thức rút gọn:P = a^2 (x - b) + (x + a + b) (a + b) b P = a^2 x - a^2 b + (x + a + b) (ab + b^2)P = a^2 x - a^2 b + [x(ab + b^2) + a(ab + b^2) + b(ab + b^2)]P = a^2 x - a^2 b + [xab + xb^2 + a^2 b + ab^2 + ab^2 + b^3]Các hạng tử -a^2 b và +a^2 b triệt tiêu lẫn nhau:P = a^2 x + xab + xb^2 + 2ab^2 + b^3P = a^2 x + xab + xb^2 + 2ab^2 + b^3Nhóm các hạng tử chứa x:Vì z \ge y \ge x \ge 0, ta có x \ge 0, a = y-x \ge 0, và b = z-y \ge 0.

Do đó:

x \ge 0 và a^2 + ab + b^2 \ge 0 \implies x(a^2 + ab + b^2) \ge 0.

2ab^2 \ge 0.

b^3 \ge 0.

Vậy P là tổng của các số hạng không âm, suy ra:P = x(a^2 + ab + b^2) + 2ab^2 + b^3 \ge 0 Bất đẳng thức đã được chứng minh.Điều kiện dấu đẳng thức xảy ra

Dấu đẳng thức P = 0 xảy ra khi và chỉ khi tất cả các số hạng không âm bằng 0:

x(a^2 + ab + b^2) = 0

2ab^2 = 0

b^3 = 0

Từ (3), suy ra b = 0.

Vì b = z - y, nên \mathbf{z = y}.

Thay b=0 vào (2), ta được 2a(0)^2 = 0, luôn đúng.

Thay b=0 vào (1): x(a^2 + a(0) + 0^2) = 0 \implies xa^2 = 0.

Vì x \ge 0 và a^2 \ge 0, điều này xảy ra khi và chỉ khi x=0 hoặc a=0.

Trường hợp 1: x=0. Kết hợp với z=y, ta được x=0 và y=z.

Trường hợp 2: a=0. Vì a = y-x, nên y=x. Kết hợp với z=y, ta được x=y=z.

Tóm lại, dấu đẳng thức xảy ra khi \mathbf{x=y=z} hoặc \mathbf{x=0} và \mathbf{y=z}.

Đặt các hiệu số sau:

a = y - x

b = z - y

Do điều kiện z \ge y \ge x \ge 0, ta có: a \ge 0 và b \ge 0.

Từ đó, ta biểu diễn y, z và các hiệu số khác theo x, a, b:

y = x + a

z = y + b = x + a + b

y - x = a

z - y = b

z - x = (z - y) + (y - x) = b + a

x - y = -a

x - z = -(a + b)

Thay các biểu thức này vào P: P = x(x - y)(x - z) + y(y - z)(y - x) + z(z - x)(z - y)P = x(-a) (-(a+b)) + (x+a)(b)(a) + (x+a+b)(a+b)(b)P = x a (a + b) + a b (x + a) + b (a + b) (x + a + b)P = (xa^2 + xab) + (abx + a^2 b) + (ab + b^2)(x + a + b)P = xa^2 + 2xab + a^2 b + (xab + a^2 b + ab^2 + xb^2 + ab^2 + b^3)P = xa^2 + 2xab + a^2 b + xab + a^2 b + 2ab^2 + xb^2 + b^3P = x(a^2 + 2ab + ab + b^2) + (a^2 b + a^2 b + 2ab^2 + b^3)P = x(a^2 + 3ab + b^2) + (2a^2 b + 2ab^2 + b^3)P = (y-x)^2 (x + y - z) + z(z - x)(z - y)Thay a = y-x và b = z-y (với z \ge y \ge x \ge 0, nên a \ge 0, b \ge 0):

y - x = a

z - y = b

z - x = a + b

z = x + a + b

x + y - z = x + (x+a) - (x+a+b) = x - b

Thay vào công thức rút gọn:P = a^2 (x - b) + (x + a + b) (a + b) b P = a^2 x - a^2 b + (x + a + b) (ab + b^2)P = a^2 x - a^2 b + [x(ab + b^2) + a(ab + b^2) + b(ab + b^2)]P = a^2 x - a^2 b + [xab + xb^2 + a^2 b + ab^2 + ab^2 + b^3]Các hạng tử -a^2 b và +a^2 b triệt tiêu lẫn nhau:P = a^2 x + xab + xb^2 + 2ab^2 + b^3P = a^2 x + xab + xb^2 + 2ab^2 + b^3Nhóm các hạng tử chứa x:Vì z \ge y \ge x \ge 0, ta có x \ge 0, a = y-x \ge 0, và b = z-y \ge 0.

Do đó:

x \ge 0 và a^2 + ab + b^2 \ge 0 \implies x(a^2 + ab + b^2) \ge 0.

2ab^2 \ge 0.

b^3 \ge 0.

Vậy P là tổng của các số hạng không âm, suy ra:P = x(a^2 + ab + b^2) + 2ab^2 + b^3 \ge 0 Bất đẳng thức đã được chứng minh.Điều kiện dấu đẳng thức xảy ra

Dấu đẳng thức P = 0 xảy ra khi và chỉ khi tất cả các số hạng không âm bằng 0:

x(a^2 + ab + b^2) = 0

2ab^2 = 0

b^3 = 0

Từ (3), suy ra b = 0.

Vì b = z - y, nên \mathbf{z = y}.

Thay b=0 vào (2), ta được 2a(0)^2 = 0, luôn đúng.

Thay b=0 vào (1): x(a^2 + a(0) + 0^2) = 0 \implies xa^2 = 0.

Vì x \ge 0 và a^2 \ge 0, điều này xảy ra khi và chỉ khi x=0 hoặc a=0.

Trường hợp 1: x=0. Kết hợp với z=y, ta được x=0 và y=z.

Trường hợp 2: a=0. Vì a = y-x, nên y=x. Kết hợp với z=y, ta được x=y=z.

Tóm lại, dấu đẳng thức xảy ra khi \mathbf{x=y=z} hoặc \mathbf{x=0} và \mathbf{y=z}.