a) \(\left(\right. \sqrt{\frac{4}{3}} + \sqrt{3} \left.\right) . \sqrt{6}\)

\(= \left(\right. \sqrt{\frac{4.3}{3^{2}}} + \sqrt{3} \left.\right) \sqrt{6}\)

\(= \left(\right. \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \sqrt{3} \left.\right) \sqrt{6}\)

\(= \frac{2 \sqrt{3} . \sqrt{6}}{3} + \sqrt{3} . \sqrt{6}\)

\(= 2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} = 5 \sqrt{2}\).

b) \(\left(\right. 1 - 2 \sqrt{5} \left.\right)^{2}\)

\(= 1 - 4 \sqrt{5} + \left(\right. 2 \sqrt{5} \left.\right)^{2}\)

\(= 1 - 4 \sqrt{5} + 20\)

\(= 21 - 4 \sqrt{5}\).

c) \(2 \sqrt{3} - \sqrt{27}\)

\(= 2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}\)

\(= - \sqrt{3}\).

d) \(\sqrt{45} - \sqrt{20} + \sqrt{5}\)

\(= 3 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} + \sqrt{5}\)

\(= 2 \sqrt{5}\).

a) \(A = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3} + 1} - 1} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3} + 1} + 1}\)

\(= \sqrt{3} \left[\right. \frac{\left(\right. \sqrt{\sqrt{3} + 1} + 1 \left.\right) - \left(\right. \sqrt{\sqrt{3} + 1} - 1 \left.\right)}{\left(\right. \sqrt{\sqrt{3} + 1} - 1 \left.\right) \left(\right. \sqrt{\sqrt{3} + 1} + 1 \left.\right)} \left]\right.\)

\(= \sqrt{3} . \frac{2}{\sqrt{3} + 1 - 1} = 2\).

b) \(\frac{15}{\sqrt{6} + 1} = \frac{15 \left(\right. \sqrt{6} - 1 \left.\right)}{6 - 1} = 3 \sqrt{6} - 3\);

\(\frac{4}{\sqrt{6} - 2} = 4 + 2 \sqrt{6}\);

\(\frac{12}{3 - \sqrt{6}} = 12 + 4 \sqrt{6}\).

Suy ra \(B = \left(\right. 3 \sqrt{6} - 3 + 4 + 2 \sqrt{6} - 12 - 4 \sqrt{6} \left.\right) \left(\right. \sqrt{6} + 11 \left.\right)\)

\(= \left(\right. \sqrt{6} + 11 \left.\right) \left(\right. \sqrt{6} - 11 \left.\right) = - 115\).

c) \(C = 4 \sqrt{20} - 3 \sqrt{125} + 5 \sqrt{45} - 15 \sqrt{\frac{1}{5}}\)

\(= 4.2 \sqrt{5} - 3.5 \sqrt{5} + 5.3 \sqrt{5} - 3 \sqrt{\frac{25}{5}}\)

\(= 8 \sqrt{5} - 15 \sqrt{5} - 3 \sqrt{5} + 15 \sqrt{5} = 5 \sqrt{5}\).

a. \(\mid O I - O K \mid < I K < O I + O K\) suy ra \(\left(\right. I \left.\right)\) và \(\left(\right. K \left.\right)\) luôn cắt nhau

b. Do \(O I = N K\); \(O K = I M\) suy ra \(O M = O N\),

Mà \(O M C N\) là hình chữ nhật nên \(O M C N\) là hình vuông.

c. Gọi \(L\) là giao điểm của \(K B\) và \(M C\); \(P\) là giao điểm của \(I B\) và \(N C\)

Suy ra \(O B K I\) là hình chữ nhật và \(B L M I\) là hình vuông nên \(\Delta B L C = \Delta K I O\)

Suy ra \(\hat{L B C} = \hat{O K I} = \hat{B I K}\)

Mà \(\hat{B I K} + \hat{I B A} = 9 0^{\circ}\) suy ra \(\hat{L B C} + \hat{I B A} = 9 0^{\circ}\)

Do đó, \(\hat{L B C} + \hat{L B I} + \hat{I B A} = 18 0^{\circ}\).

d. Có \(O M C N\) là hình vuông cạnh \(a\) cố định nên \(C\) cố định và \(A B\) luôn đi qua \(C\).

a. Kẻ \(O H ⊥ A M\); \(O^{'} K ⊥ M B\) suy ra \(O H\) // \(O^{'} K\).

Tứ giác \(H K O O^{'}\) là hình thang, \(M I ⊥ A B\) suy ra \(M I\) // \(O H\) và \(I O\) // \(I O^{'}\)

Suy ra \(M H = M K\). 

Mà \(O H ⊥ A M\) suy ra \(H A = H M = M K = K B\) (đpcm).

b. Ta có \(M E\) là đường trung bình của hình thang \(A B Q P\)

Suy ra \(E P = E Q\).

c. Xét \(\Delta H I K\), có \(I M\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

Suy ra \(\Delta H I K\) cân tại \(I\) (đpcm).

a) \(\Delta B C D\) có \(O O^{'}\) là đường trung bình suy ra \(O O^{'}\) // \(C D\) (1)

\(\Delta A B C\) có \(O I\) là đường trung bình suy ra \(O O^{'}\) // \(C A\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(C\), \(A\), \(D\) thẳng hàng.

b) Ta có: \(\Delta O B O^{'}\) vuông tại \(B\) suy ra \(\Delta B C D\) vuông tại \(B\)

Suy ra \(S_{B C D} = \frac{1}{2} . B C . B D = \frac{1}{2} . 8.6 = 24\) (cm\(^{2}\)).

a) Ta có: \(12 - 5 < 13 < 12 + 5\) hay \(R - R^{'} < d < R + R^{'}\) nên hai đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) và \(\left(\right. O^{'} \left.\right)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

b) \(O A^{2} + O^{'} A^{2} = 1 2^{2} + 5^{2} = 169\);

\(O^{'} O^{2} = 1 3^{2} = 169\)

\(\Delta O A O^{'}\) có: \(O A^{2} + O^{'} A^{2} = O^{'} O^{2}\), theo định lí Pythagore đảo suy ra tam giác \(\Delta O A O^{'}\) vuông tại \(A\).

Có \(O A ⊥ O^{'} A\) do đó \(O A\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left(\right. O^{'} \left.\right)\) và \(O^{'} A\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\).

\(O^{'} O\) là đường trung trực của đoạn \(A B\).

Gọi \(H\) là giao điểm của \(O^{'} O\) và \(A B\) nên \(A H . O^{'} O = O A . O^{'} A\) suy ra \(A H = \frac{O A . O^{'} A}{O^{'} O} = \frac{12.5}{13} = \frac{60}{13}\) cm.

Vậy \(A B = 2 A H = \frac{120}{13}\) cm.

:>

=(

=)

:/