Xét tam giác 
ABC, áp dụng tính chất tia phân giác trong tam giác, ta có: 

\(\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AC}{CB}=\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{AN}{NC}\left(=\dfrac{b}{a}\right)\)
Vậy MN//BC( đlí Thalès đảo)
Suy ra\(\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{b}{b+a}\)(đlí Thalès)
Vậy MN=\(\dfrac{ab}{a+b}\)

a) Ta có ΔABC cân tại A 
Nên AC = AB = 12cm
Xét ΔABC có CD là đường phân giác ta được
\(\dfrac{AD}{DB}\) = \(\dfrac{AC}{BC}\)(t/c đường phân giác)
TS: \(\dfrac{AD}{DB}\) = \(\dfrac{12}{6}\)
hay \(\dfrac{AD}{12}\) = \(\dfrac{DB}{6}\)

mà AD + DB = 12cm (cmtr)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được
\(\dfrac{AD}{12}\) = \(\dfrac{DB}{6}\) = \(\dfrac{AD+DB}{12+6}\) = \(\dfrac{2}{3}\)
suy ra AD = \(\dfrac{2}{3}\).12 = 8(cm)
do đó DB = 12 - 8 = 4(cm)
b) Do CECE vuông góc với phân giác CDCD nên CECE là phân giác ngoài tại đỉnh CC của tam giác ABCABC.
Vậy\(\dfrac{EB}{EA}\) = \(\dfrac{BC}{AC}\) hay \(\dfrac{EB}{EB+BA}\) = \(\dfrac{BC}{AC}\)
Gọi độ dài 
EB là 
x thì \(\dfrac{x}{x+12}\) = \(\dfrac{6}{12}\)

Vậy x = 12cm