Gọi \(AC=AB=x\left(0. Khi đó \(SA=\sqrt{1-x^2}\)

\(\rArr V=\frac13\cdot\frac12\cdot CA\cdot CB\cdot SA\)

\(=\frac16x^2\sqrt{1-x^2}\)

Xét hàm số \(f\left(x\right)=x^2\sqrt{1-x^2}\) trên \(\left(0;1\right)\)

Ta có \(f^{\prime}\left(x\right)=2x\sqrt{1-x^2}+\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot x^2\)

\(=\frac{2x\left(1-x^2\right)-x^3}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(=\frac{2x-3x^3}{\sqrt{1-x^2}}\)

Cho \(f^{\prime}\left(x\right)=0\lrArr\left[\begin{array}{l}x=0\\ 2-3x^2=0\end{array}\right.\lrArr\left[\begin{array}{l}x=0\left(loại\right)\\ x=\frac{\sqrt6}{3}\left(nhận\right)\\ x=-\frac{\sqrt6}{3}\left(loại\right)\end{array}\right.\)

Lập BBT, ta thấy \(\max_{\left(0;1\right)}f\left(x\right)=f\left(\frac{\sqrt6}{3}\right)=\frac{2\sqrt3}{9}\)

\(\rArr\max V=\frac16\cdot\max_{\left(0;1\right)}f\left(x\right)=\frac16\cdot\frac{2\sqrt3}{9}=\frac{\sqrt3}{27}\)

Vậy \(\max V=\frac{\sqrt3}{27}\). Dấu "=" xảy ra khi \(AC=AB=x=\frac{\sqrt6}{3}\) và \(SA=\frac{\sqrt3}{3}\)

Ta có \(\left|\Omega\right|=C_{15}^4=1365\)

Gọi A là biến cố: "4 viên bi được chọn có đủ 3 màu và số bi đỏ nhiều nhất.". Khi đó trường hợp duy nhất thỏa mãn là bốc được 2 bi đỏ, 1 bi trắng và 1 bi xanh.

\(\rArr\left|A\right|=C_5^2\cdot4\cdot6=240\)

\(\rArr P\left(A\right)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}=\frac{240}{1365}=\frac{16}{91}\)

Cái trên mình làm sai đấy, sửa lại thế này mới đúng:

\(f^{\prime}\left(0\right)=\lim_{x\to0}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}\)

\(=\lim_{x\to0}\frac{x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\ldots\left(x-2021\right)}{x}\) (do \(f\left(0\right)=0\) )

\(=\lim_{x\to0}\left\lbrack\left(x-1\right)\left(x-2\right)\ldots\left(x-2021\right)\right\rbrack\)

\(=\left(0-1\right)\left(0-2\right)\ldots\left(0-2021\right)\)

\(=-2021!\)

-> Chọn D

Câu 9:

\(f\left(x\right)=x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\ldots\left(x-2021\right)\)

\(\rArr\ln\left\lbrack f\left(x\right)\right\rbrack=\ln\left\lbrack x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\ldots\left(x-2021\right)\right\rbrack\) (giả sử mọi đkxđ đều thỏa mãn.

\(\rArr\ln\left\lbrack f\left(x\right)\right\rbrack=\ln x+\ln\left(x-1\right)+\ln\left(x-2\right)+\cdots+\ln\left(x-2021\right)\) (*)

Đạo hàm 2 vế của (*), thu được \(\frac{f^{\prime}\left(x\right)}{f\left(x\right)}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}+\cdots+\frac{1}{x-2021}\)

\(\rArr f^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}+\cdots+\frac{1}{x-2021}\right)\)

Mà dễ thấy \(f\left(0\right)=0\) nên \(f^{\prime}\left(0\right)=0\)

-> Chọn A

TH1: Có 3 câu dễ, 1 câu trung bình, 1 câu khó: Có \(C_{15}^3\cdot10\cdot5=22750\) cách chọn

TH2: Có 2 câu dễ, 2 câu trung bình, 1 câu khó: Có \(C_{15}^2\cdot C_{10}^2\cdot5=23625\) cách chọn

TH3: Có 2 câu dễ, 1 câu trung bình, 2 câu khó: Có \(C_{15}^2\cdot10\cdot C_5^2=10500\) cách chọn

Vậy có tất cả \(22750+23625+10500=56875\) đề thỏa mãn ycbt.

Một người đi từ hướng Nam còn một người đi tới hướng Bắc nghĩa là 2 người này đi về cùng một hướng. Vậy chỉ cần một người đi trước một người đi sau là qua được cầu.

Đợt 1: Người A và B đi cùng nhau -> mất 2 phút. Sau đó, người A trở về -> mất 1 phút. (tổng cộng 3 phút). Khi đó đầu bên này có người A, C, D, đầu bên kia có người B.

Đợt 2: Người C và D đi cùng nhau -> mất 10 phút. Sau đó, người B trở về, mất 2 phút (tổng cộng 12 phút). Khi đó đầu bên này có người A và B, đầu bên kia có người C và D.

Đợt 3: Người B và A lại đi cùng nhau -> mất 2 phút. Như vậy, tổng cộng là đúng 17 phút.

Ta có \(n\left(\Omega\right)=C_{12}^4\)

Gọi A là biến cố: "Có ít nhất 3 viên bi màu xanh trong 4 viên bi lấy ra."

TH1: Có đúng 3 viên bi xanh.

Khi đó có \(C_4^3\cdot8\) cách.

TH2: Cả 4 viên đều màu xanh.

Khi đó có 1 cách duy nhất.

\(\rArr n\left(A\right)=8\cdot C_4^3+1=33\)

\(\rArr P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}=\frac{33}{C_{12}^4}=\frac{1}{15}\)

Từ đề bài, ta lập được bảng sau:

=> Xác suất lấy được bi đánh số có màu vàng là \(\frac{12}{24+12+6+8}=\frac{6}{25}\)

Gọi \(\Delta x,\Delta y\) lần lượt là số gia của biến \(x\) và \(y\) .

Đặt \(x=x_0\in R\). Khi đó \(f\left(x_0+\Delta x\right)=-6\left(x_0+\Delta x\right)^2+9\left(x_0+\Delta x\right)-2\)

\(=-6x_0^2+9x_0-2-6\left(\Delta x_0\right)^2-12x_0\Delta x+9\Delta x\)

\(\rArr\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)\)

\(=-6\left(\Delta x\right)^2-12x_0\Delta x+9\Delta x\)

Ta có \(f^{\prime}\left(x_0\right)=\lim_{\Delta x\rarr0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rarr0}\left(\frac{-6\left(\Delta x\right)^2-12x_0\Delta x+9\Delta x}{\Delta x}\right)\)

\(=\lim_{\Delta x\rarr0}\left(-6\Delta x-12x_0+9\right)\)

\(=-12x_0+9\)

Như vậy \(f^{\prime}\left(x\right)=-12x+9\)