Xét khai triển \(\left(x+1\right)^5=\sum_{k=0}^5C_5^{k}x^{k}\)

Cho \(x=2\) thì \(S=\sum_{k=0}^5C_5^{5-k}.2^{k}=\sum_{k=0}^5C_5^{k}.2^{k}\)

\(=\left(2+1\right)^5=3^5=243\)

Vậy S = 243

Bài 1:

Ta lập bảng sau: (x biểu thị "không thích")

Xét các TH sau:

TH1: An thích nghe nhạc. Khi đó An sẽ không thích đọc sách. Do đó, Bình phải là người thích đọc sách (vì An, Chi và Dung không thích đọc sách). Suy ra Bình không thích vẽ tranh, do đó Chi phải là người thích vẽ tranh (vì cả An, Bình vả Dung đều không thích vẽ tranh). Cuối cùng, do An thích nghe nhạc nên Dung không thích nghe nhạc. Do đó, Dung phải thích chơi thể thao.

=> An thích nghe nhạc, Bình thích đọc sách, Chi thích vẽ tranh, Dung thích chơi thể thao. Ta được bảng sau:

TH2: An thích đọc sách. Khi đó An không thích nghe nhạc và Bình không thích đọc sách. Lúc này, ta được bảng:

Ta chỉ cần điền 3 chữ "o" vào bảng sao cho không có 2 chữ "o" nào nằm trên cùng cột hoặc cùng hàng thì sẽ được một trường hợp thỏa mãn. Chẳng hạn:

Tất cả những trường hợp như vậy, kết hợp với TH1 sẽ được tất cả các trường hợp thỏa mãn ycbt.

Kẻ BM vuông góc với AC tại M, B'M' vuông góc với A'C' tại M'. Khi đó dễ thấy mp(AMM'A) chính là hình chiếu vuông góc của mp(ABB'A') lên mp(ACC'A')

Ta có \(S_{AMM^{\prime}A^{\prime}}=AM.AA=1.4=4\left(m^2\right)\)

Vậy diện tích cần tìm là \(4m^2\)

Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left(\Omega\right)=C_{52}^5\)

a) Gọi A là biến cố: "Có đúng một bộ tứ quý." Khi đó có 13 cách chọn tứ quý (từ 2222 đến AAAA) và 48 cách chọn cây thứ năm. Do đó \(n\left(A\right)=13.48=624\) \(\rArr P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}=\frac{624}{C_{52}^5}=\frac{1}{4165}\)

b) Gọi B là biến cố: "Có đúng 2 cây rô." Khi đó có \(C_{13}^2\) cách chọn 2 trong 13 cây rô và \(C_{39}^3\) cách chọn 3 cây từ 39 cây không mang chất rô. Do đó \(n\left(A\right)=C_{13}^2.C_{39}^3\rArr P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}=\frac{C_{13}^2.C_{39}^3}{C_{52}^5}=\frac{9139}{33320}\)

c) Gọi C là biến cố: "Có ít nhất hai cây K." Khi đó ta tính xác suất của biến cố đối \(\overline{C}:\) "Có nhiều nhất một cây K."

TH1: Không có cây K nào. Có \(C_{48}^5\) cách (chọn 5 cây từ 48 cây không phải cây K)

TH2: Có đúng 1 cây K. Có \(4.C_{48}^4\) cách (chọn 1 trong 4 cây K rồi chọn 4 cây từ 48 cây không phải cây K)

Do đó \(n\left(\overline{C}\right)=C_{48}^5+4.C_{48}^4\rArr P\left(\overline{C}\right)=\frac{n\left(\overline{C}\right)}{n\left(\Omega\right)}=\frac{C_{48}^5+4.C_{48}^4}{C_{52}^5}\)

\(\rArr P\left(C\right)=1-P\left(\overline{C}\right)=\frac{2257}{54145}\)