sđ\(_{\text{l}ớ\text{n}} +\)sđ\(_{\text{nh}ỏ} = 36 0^{\circ}\),

sđ\(_{\text{l}ớ\text{n}} = 2\)sđ\(_{\text{nh}ỏ}\) nên:

sđ\(_{\text{nh}ỏ} = 12 0^{\circ}\).

Suy ra \(\hat{A O B} = 12 0^{\circ}\).

Vẽ \(O H ⊥ A B\), ta có \(\hat{A O H} = \hat{H O B} = 6 0^{\circ}\) và \(A H = H B = \frac{1}{2} A B\).

Tam giác \(A O H\) có \(\hat{A H O} = 9 0^{\circ}\), \(\hat{A O H} = 6 0^{\circ}\) nên

\(O H = \frac{1}{2} A O = \frac{1}{2} R\)

Áp dụng định lí Pythagore ta có:

\(A H^{2} = A O^{2} - O H^{2} = \frac{3 R^{2}}{4}\)

Suy ra \(A H = \frac{R \sqrt{3}}{2}\).

Vậy \(A B = 2 A H = R \sqrt{3}\).

a) Gọi cung AnB là cung nhỏ và cung AmB là cung lớn có sđ = 3sđ cung AnB (gt)

Mà sđ cung 𝐴𝑚𝐵+ sđ cung 𝐴𝑛𝐵 = 360 độ

Do đó 4sđ cung 𝐴𝑛𝐵= 360 độ

sđ cung AnB = 360 độ : 4 = 90 độ

Vậy sđ cung AmB = 3sđ cung AnB = 3. 90 độ = 270 độ .

b) Ta có: góc AOB = sđ cung AnB (góc ở tâm chắn cung AB)

suy ra: góc AOB = 90 độ suy ra tam giác AOB vuông tại O.

Mà AO = OB = R nên tam giác AOB vuông cân tại O.

Khi đó OH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến.

Tam giác AOB vuông tại O có OH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên OH = AB/2

Gọi H là trung điểm của AB.

Theo giả thiết, góc ở tâm chắn cung AB là ˆAOB=100°.

Xét ∆OAH và ∆OBH có:

OA = OB = R

Cạnh OH chung

HA = HB (do H là trung điểm của AB)

Do đó ∆OAH = ∆OBH (c.c.c).

Suy ra ˆHOA = ˆHOB (hai góc tương ứng).

Lại có: ˆHOA + ˆHOB = ˆAOB nên 2ˆHOA = ˆAOB = 100° hay ˆHOA = 50°.

Xét tam giác OAH vuông tại H có: cosˆHOA = OH/OA

Suy ra OA = OH /cosˆHOA = 3/cos50° ≈ 4,7(cm).

Vậy bán kính của đường tròn (O) khoảng 4,7 cm.

Xét đường tròn tâm O bán kính AC có BD là dây cung không đi qua tâm O nên AC > BD

Xét đường tròn tâm O bán kính OB’, dây BC là đường kính đi qua tâm O, dây B’C’ là dây cung không đi qua tâm O.

Do đó BC > B’C’.

Xét đường tròn tâm O bán kính OB’, dây BC là đường kính đi qua tâm O, dây B’C’ là dây cung không đi qua tâm O.

Do đó BC > B’C’.

Gọi I là trung điểm của OA

Vì MN vuông góc với OA tại trung điểm của OA

nên MN\(\bot\)OA tại I

ΔOMN cân tại O

mà OI là đường cao

nên I là trung điểm của MN

Xét tứ giác OMAN có

I là trung điểm chung của OA và MN

=>OMAN là hình bình hành

Hình bình hành OMAN có OM=ON

nên OMAN là hình thoi

OMAN là hình thoi

=>OM=MA

=>OM=MA=OA

=>ΔOMA đều

Xét ΔOMA đều có MI là đường cao

nên \(M I = O A \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10 \sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3} \left(\right. c m \left.\right)\)

I là trung điểm của MN

=>\(M N = 2 \cdot M I = 2 \cdot 5 \sqrt{3} = 10 \sqrt{3} \left(\right. c m \left.\right)\)

Do BH, CK là đường cao ∆ABC nên BH ⊥ AC, CK ⊥ AB.

Xét ∆ABH vuông tại H có ˆBAH = 45 độ nên ˆABH = 90 độ −ˆBAH = 90 độ − 45 độ = 45 độ.

Mặt khác, ˆABD=ˆACD (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD) nên ˆACD = 45 độ. (1)

Tương tự, ta có ˆACK = 90 độ −ˆCAK = 90 độ − 45 độ = 45 độ. (2)

Từ (1) và (2) suy ra ˆDCE = ˆACD + ˆACK = 45 độ + 45 độ = 90 độ

Mà ˆDCE là góc nội tiếp chắn cung DE nên DE là đường kính của đường tròn (O).

Vậy ba điểm D, O, E thẳng hàng.

Vẽ đường kính AD của đường tròn (O), suy ra ˆACD = 90 độ (vì tam giác ACD có ba đỉnh thuộc đường tròn và AD là đường kính)

Xét ΔHBA và ΔCDA có: ˆAHB=ˆACD (= 90 độ); ˆHBA=ˆCDA (góc nội tiếp cùng chắn)

Do đó ΔHBA ∽ ΔCDA ⇒ AH/AC = AB/AD ⇒ AB. AC = AD. AH

Mà AD = 2R, do đó AB. AC = 2R. AH

Kẻ đường kính AE của đường tròn (O). Ta thấy  ˆACE=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Từ đó  ˆOAC+ˆAEC=90°.                    (1)

Theo giả thiết bài ra, ta có:  ˆBAH+ˆABC=90°.       (2)

 Lại vì  ˆAEC=ˆABC (cùng chắn cung AC) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra  ˆBAH=ˆOAC (đpcm).