Ta có: ^DOE=180 độ. Ta có: Số đo cung AD = 2 ⋅ ^ABD = 2 ⋅ ^ABH = 2⋅45 độ= 90 độ. Số đo cung AE = 2⋅^ACE=2⋅^ACK = 2⋅45 độ = 90 độ.

Ta có: Số đo cung DE = Số đo cung AD + Số đo cung AE = 90 độ + 90 độ = 180 độ. (A nằm giữa D và E trên cung).

^DOE=2 ⋅ ^DAE. Ta có ^DAE = ^DAC + ^CAE. ^CAE là góc nội tiếp chắn cung CE. ^DAC là góc nội tiếp chắn cung DC.

Ta sẽ chứng minh ^DAE chắn cung 180 độ.

Ta có: ^ABH = 90 độ−^BAC = 90 độ − 45 độ = 45 độ. Số đo cung AD = 2⋅ ^ABD = 2 ⋅ 45 độ = 90 độ. ^ACK=90 độ − ^BAC = 90 độ − 45 độ = 45 độ. Số đo cung AE = 2 ⋅ ^ACE = 2 ⋅ 45 độ = 90 độ.

Ta có: ^CAD = ^CBD (cùng chắn cung CD). Ta có ^BAE = ^BFE (cùng chắn cung BE).

Ta có: ^CDE = ^CBE (cùng chắn cung CE). Ta có ^CBE = 90 độ − ^BCE. ^BCE = ^BCK.

Ta có: ^ACD = ^ABD (cùng chắn cung AD). ^ACE = ^ABE (cùng chắn cung AE).

Ta có: ^ABH = ^ACK = 45 độ. Vì △ABC nhọn, H nằm giữa B và C, K nằm giữa A và B. Ta có: ^CDE = ^CAE. ^CAE = 90 độ −^ACK = 90 độ − 45 độ = 45 độ. ^CDE = 45 độ.

Ta có ^ABH = 45 độ. Do đó số đo cung AD = 2 ⋅ ^ABD = 2 ⋅ 45∘ = 90∘. ^ACK = 45∘. Do đó số đo cung AE = 2 ⋅ ^ACE = 2 ⋅ 45 độ = 90 độ.

Ta có số đo cung DE = Số đo cung AD + Số đo cung AE = 90 độ + 90 độ = 180 độ. Vì số đo cung DE bằng 180 độ, nên DE là đường kính của đường tròn (O). Vậy, D,O,E thẳng hàng.

Kẻ đường kính AD của đường tròn (O;R).

Xét tam giác ABH vuông tại H (vì AH là đường cao) và tam giác ADC vuông tại C (vì ∠ACD là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Hai tam giác này có ∠ABH=∠ADC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).

Do đó, △ABH∼△ADC (đồng dạng theo trường hợp góc-góc).

Từ sự đồng dạng của hai tam giác, ta có tỉ số: AD/AB​=AC/AH​

Suy ra AB⋅AC=AD⋅AH.

Vì AD là đường kính của đường tròn (O;R), nên AD=2R.

Thay AD bằng 2R, ta được đẳng thức: AB⋅AC=2R⋅AH (điều phải chứng minh).

Kẻ đường kính AD của đường tròn (O).

Xét tam giác ABH vuông tại H (vì AH là đường cao) và tam giác ACD vuông tại C (vì ∠ACD là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Ta có ∠ABH=∠ADC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).

Do đó, △ABH∼△ADC (đồng dạng theo trường hợp góc-góc).

Từ sự đồng dạng trên, ta suy ra ∠BAH=∠DAC.

Vì O là tâm của đường tròn và AD là đường kính, nên O nằm trên đoạn thẳng AD.

Từ đó, ∠DAC=∠OAC.

Vậy, ∠BAH=∠OAC.

a) Đường kính quả bóng tennis là 6,4 cm.

Hộp hình trụ chứa vừa khít ba quả bóng nên:

Bán kính đáy hộp là r=26,4​=3,2 cm.

Chiều cao hộp là h=3×6,4=19,2 cm.

Thể tích hộp là:

Vhộp​=πr2h=3,14×3,22×19,2≈619 cm$^3$.

b) Thể tích một quả bóng là:

Vboˊng​=34​πr3=34​×3,14×3,23≈137,21 cm$^3$.

Tổng thể tích ba quả bóng là:

V3boˊng​=3×137,21=411,63 cm$^3$.

Thể tích bên trong hộp không bị chiếm bởi bóng là:

Vtro^ˊng​=Vhộp​−V3boˊng​=618,92−411,63=207,29 cm$^3$.

Thể tích phần hình trụ: Vtrụ​=πr2h=3,14×(22​)2×15=47,1 mm$^3$.

Thể tích phần hình nón: Vnoˊn​=31​πr2h=31​×3,14×(22​)2×(25−15)≈10,47 mm$^3$.

Thể tích một chiếc đinh: Vđinh​=Vtrụ​+Vnoˊn​=47,1+10,47=57,57 mm$^3$.

Thể tích nước tăng lên: Vta˘ng​=10×Vđinh​=10×57,57=575,7 mm$^3$.

Đổi sang mi-li-lít (ml): Vta˘ng​=575,7 mm$^3 = 0,5757$ ml.

Làm tròn đến hàng phần mười: 0,5757≈0,6 ml.

a) Đường kính quả bóng bàn là 40 mm = 4 cm. Bán kính quả bóng bàn là r=24​=2 cm. Thể tích của quả bóng bàn là: Vboˊng​=34​πr3=34​×3,14×23≈33,49 cm$^3$.

b)Thể tích nước rót vào ly là Vnước​=200 cm$^3$. Bán kính lòng ly là R=26​=3 cm.

Chiều cao mực nước khi có bóng bàn là h=7,2 cm.

Thể tích tổng cộng của nước và phần chìm của bóng bàn là: Vtổng​=πR2h=3,14×32×7,2≈203,47 cm$^3$.

Thể tích phần chìm của quả bóng bàn là: Vchıˋm​=Vtổng​−Vnước​=203,47−200=3,47 cm$^3$.

Thể tích phần nổi của quả bóng bàn là: Vnổi​=Vboˊng​−Vchıˋm​=33,49−3,47=30,02 cm$^3$.

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: x2=2mx+2m−3 x2−2mx−2m+3=0

Để (d) tiếp xúc với (P), phương trình trên phải có nghiệm kép, tức là biệt thức Δ′=0. Δ′=(−m)2−1(−2m+3)=m2+2m−3

Ta có Δ′=0⟹m2+2m−3=0. Phương trình này có hai nghiệm là m=1 và m=−3.

Vậy, m=1 hoặc m=−3.

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: x2=−x+m+2 x2+x−(m+2)=0

Để (d) và (P) có một điểm chung duy nhất, phương trình trên phải có nghiệm kép, tức là biệt thức Δ=0. Δ=b2−4ac=12−4(1)(−(m+2))=1+4m+8=4m+9

Ta có Δ=0⟹4m+9=0⟹m=−4/9​.

Vậy, m=−4/9​.

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là: x2=(m−1)x+m+4 x2−(m−1)x−(m+4)=0

Để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung, phương trình phải có hai nghiệm trái dấu. Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu là tích hai nghiệm nhỏ hơn 0, tức là ac​<0. Trong phương trình này, a=1 và c=−(m+4).

1−(m+4)​<0 −(m+4)<0 m+4>0 m>−4

Vậy, điều kiện cần tìm là m>−4.

Để đường thẳng (d):y=2x+m cắt parabol (P):y=21​x2 tại hai điểm phân biệt, phương trình hoành độ giao điểm của chúng phải có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình hoành độ giao điểm: 21​x2=2x+m 21​x2−2x−m=0 Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ phân số: x2−4x−2m=0

Đây là một phương trình bậc hai với biến x. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, biệt thức Δ phải lớn hơn 0. Δ=b2−4ac Δ=(−4)2−4(1)(−2m) Δ=16+8m

Để có hai nghiệm phân biệt, Δ>0: 16+8m>0 8m>−16 m>−2

Vậy, để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt thì m>−2.