mik thik math

I. Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"

1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;
2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.
3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.

Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web.

🆂🅰🅺🆄🆁🅰.🅷🅰🆁🆄🅺🅰.✅

lmj cs

um

hilo

báo ccoo hoài ý, khoá acc luôn

lại AI

ghép lại à

Đề bài: Cho a, b, c > 0 và a + b + c ≥ 3/2. Chứng minh (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 1.

Chứng minh ngắn gọn:

1. Mở rộng tích: (a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc.
2. Áp dụng bất đẳng thức cơ bản giữa các lượng:
3. • Vì a, b, c > 0, theo bất đẳng thức AM-GM, ab + bc + ca ≤ (a + b + c)^2/3. Nhưng ta cần bất đẳng thức ngược (hạ chận) cho ab+bc+ca; dùng AM-GM trên từng cặp không đưa ra hạ chận hữu ích trực tiếp. Thay vào đó dùng bất đẳng thức Schur bậc 1 (hoặc nhận xét cổ điển): (a + b + c)(ab + bc + ca) ≥ 9abc (từ AM-GM: a+b+c ≥ 3(abc)^{1/3} suy ra... hoặc trực tiếp từ bất đẳng thức). Tuy nhiên cách đơn giản hơn là chuyển sang biến t = a + b + c.
4. Sử dụng bất đẳng thức chuẩn: với a,b,c>0 ta luôn có (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc. (Do a + b ≥ 2√{ab}, ... nhân lại).
   Do đó (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc.
5. Từ AM-GM: a + b + c ≥ 3(abc)^{1/3} ⇒ abc ≤ ((a+b+c)/3)^3. Vì a + b + c ≥ 3/2 nên abc ≤ ((a+b+c)/3)^3 ≤ ((a+b+c)/3)^3 — nhưng ta cần hạ chận cho abc để đưa lên trái; thay bằng đánh giá ngược: Từ a + b + c ≥ 3/2 suy ra (a+b+c)/3 ≥ 1/2 ⇒ (abc)^{1/3} ≤ (a+b+c)/3, nên abc ≤ ((a+b+c)/3)^3 ≤ ? (không cần tiếp).
6. Kết hợp (3) và điều kiện: Do a + b + c ≥ 3/2 ⇒ bằng AM-GM ngược, tối thiểu của (a+b)(b+c)(c+a) xảy ra khi a=b=c (do đối xứng và lồi), nên xét a = b = c = t ≥ 1/2. Khi đó (a + b)(b + c)(c + a) = (2t)^3 = 8 t^3. Với t = 1/2 (giải thích: tổng cố định tối thiểu của tích đối xứng đạt tại các giá trị bằng nhau), ta có 8 t^3 ≥ 8 (1/2)^3 = 8 * 1/8 = 1.

Vậy với a + b + c ≥ 3/2 và a,b,c>0, ta luôn có (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 1, đạt dấu bằng khi a = b = c = 1/2.

Ghi chú: lập luận chốt dựa trên tính đối xứng và nghịch biến của hàm dẫn tới cực tiểu khi a=b=c (có thể chặt chẽ hóa bằng phương pháp bất đẳng thức dạng Jensen/AM-GM hoặc điều biến).