Xét hai tam giác vuông \(\triangle A B C\) và \(\triangle A B^{'} C^{'}\).

Ta có:\(B C \parallel B^{'} C^{'}\),\(A B \bot B C\), \(A B^{'} \bot B^{'} C^{'}\)

Hai tam giác \(A B C\) và \(A B^{'} C^{'}\) đồng dạng (góc – góc).

Suy ra

\(\)AB/A'B'= BC/B'C'

x/ x+h = a/a'\(\)

\(a^{'} \left(\right. x \left.\right) = a \left(\right. x + h \left.\right) .\)

\(a^{'} x = a x + a h .\)

\(a^{'} x - a x = a h\) \(x \left(\right. a^{'} - a \left.\right) = a h .\)

Suy ra:x=ah/ a'-a\(\)

Trong tam giác ADB, ta có: MN // AB

Suy ra DN/DB=MN/AB (hệ quả định lí Thalès) (1)

Trong tam giác ACB, ta có: PQ // AB

Suy ra CQ/CB=PQ/AB (hệ quả định lí Thalès) (2)

Lại có: NQ // AB

            AB // CD

Suy ra NQ // CD

Trong tam giác BDC, ta có: NQ // CD (chứng minh trên)

Suy ra DN/DB=CQ/CB (định lí Thalès) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MN/AB=PQ/ABhay MN = PQ (đpcm).

AG cắt BC tại E.
Ta có GM // AB suy ra BMBE=AGAE (định lí Thalès)
Ta có AG/AE=2/3 (G là trọng tâm ∆ABC) nên BM/BE=2/3.

Suy ra BM= 2/3BE= 2/3 . 1/2BC= 1/3 BC

Do AB // CD suy ra OA/OC=OB/OD => OA.OD=OC.OB (đpcm)

Vì ED // AC , áp dụng định lí Thalès vào tam giác ABC ta được:

AE/AB=CD/CB (1)

Vì DF // AB , áp dụng định lí Thalès vào tam giác ABC ta được:

AF/AC= BD/BC (2)

Từ (1) , (2) suy ra AE/AB + AF/AC= CD/CB + BD/BC = 1 (đpcm )