gọi O là trung điểm BC

ta có BD là đường cao nên BD⊥AC suy ra tam giác BDC vuông tại D

tam vuông BDC có DO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên OD=OB=OC=1/2 BC (1)

tương tự ta có OE=OB=OC=1/2 BC (2) và OF=OB=OC=1/2 BC (3)

từ(1)(2)(3) ta có 5 điểm B,C,D,E,F cùng thuộc một đường tròn (O;R) với R=1/2 BC

ta có góc AEM=90 độ

nên E nằm trên đường tròn đường kính AM (1)

ta có góc ADM =90 độ

nên D nằm trên đường tròn đường kính AM (2)

ta có ADH=90 độ

nên H nằm trên đường tròn đường kính AM (3)

từ (1)(2)(3) suy ra A,D,M,H,E cùng nằm trên đường tròn

gọi o là giao điểm của hai đường chéo AC, BD

theo tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật , ta có

OA=OB=OC=OD=(1/2)AC=(1/2)BD

do đó bốn điểm A,B,C,D cùng thuộc đường tròn (O,1/2AC)

xét tam giác BCB` vuông tại B có đường trung tuyến BO ứng với cạnh huyền BC

do đó B`O=1/2BC

O là trung điểm BC nên

OB=OC=(1/2)BC

do đó B`O=OB=OC =(1/2)BC

chứng minh tương tự với tam giác BCC` vuông C` có C`O=OB=OC=(1/2)BC

suy ra B`O=C`O=OB=OC=(1/2)BC

hay đường tròn tâm O bán kính OB` đi qua B,C,C`

gọi M là trung điểm của AC . tam giác ABC vuông tại B có BM là đường trung tuyến nên BM = (1/2 ).AC ( tính tam giác vuông ). tam giác ACD vuông tại D có DM là đường trung tuyến nên DM =(1/2)AC( tính chất tam giác vuông ) suy ra MA=MB=MC=MD

hay A,B,C,D cùng nằm trên một đường tròn