1) a² - ab + b² ≥ 0

<=> ( 4a² - 4ab + b² ) + 3b² ≥ 0

<=> ( 2a - b )² + 3b² ≥ 0 ( đúng ∀ a,b )

Vậy bđt ban đầu được chứng minh

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = 0

2) a² - ab + b² ≥ 1/4( a + b )²

<=> 4a² - 4ab + 4b² ≥ a² + 2ab + b²

<=> 4a² - 4ab + 4b - a² - 2ab - b² ≥ 0

<=> 3a² - 6ab + 3b² ≥ 0

<=> a² - 2ab + b² ≥ 0

<=> ( a - b )² ≥ 0 ( đúng ∀ a,b )

Vậy bđt ban đầu được chứng minh

Đẳng thức xảy ra <=> a = b 

chứng minh bất đẳng thức:

x(x - y)(x - z) + y(y - z)(y - x) + z(z - x)(z - y) \geq 0 với điều kiện . Ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: 

Khi , ta có

:S= x(x - y)^2 \geq 0.

Trường hợp 2: 

Khi , ta có:

S= y(y - x)^2 \geq 0.

Trường hợp 3: 

Khi , ta có

S= x^2(x - y) + y^2(y - x) = (x - y)(x^2 - y^2) = -(x - y)^2(x + y) \geq 0. 

Vì cả ba trường hợp đều thoả mãn, nên bất đẳng thức luôn đúng.