The Go Green Club would like to invite all students to attend a lecture on water pollution.

Time: 2 p.m. – 4 p.m., 6 March

Place: School Grand Hall

We hope to see all of you there.

1.While I was sleeping, it started to rain heavily.

2.We were shocked when we heard the news.

3.Before my father leaves for work, he usually has breakfast with us.

4.After I finish my homework, I often watch TV.

1.She was surprised when she found a golden coin in the garden.

2.As soon as I find my wallet, I will go shopping.

3.He made a quick phone call to a client before he left the office.

4.After he mowed the lawn, he took a rest.

a)

• Tia Ax vuông góc với AC.
• Tia By song song với AC.

→ Vì Ax \\ AC và By \parallel AC, nên:

Ax \perp By.

Do đó:

• AM \subset Ax ⟹ AM \perp By ⟹ AM \perp BQ.
• BQ \subset By ⟹ BQ \parallel AC.
• AC \perp Ax ⟹ AC \parallel BQ vuông góc với AM.

Mặt khác, trong tam giác ABC:

• AI là đường cao nên AI \perp BC.

Như vậy trong hình AMBQ, ta có:

• AM \perp BQ.
• AB cắt MQ tại Q.
• MQ không song song hay vuông góc đặc biệt với cạnh nào của AMBQ, nên ta chỉ xét 2 cặp cạnh quan trọng:

Cặp cạnh vuông góc:

• AM \perp BQ.

Cặp song song:

• BQ \parallel AC,
• AM \perp AC,
  nên nếu xét góc tại A và B:

\widehat{AMB} = 90^\circ = \widehat{ABQ}.

⇒ Hai góc kề ở hai đỉnh khác nhau đều vuông.

Vì M là trung điểm của AC, ta có:

AM = MC = \frac12 AC.

Giả thiết lại cho:

BM = \frac12 AC.

Suy ra:

BM = AM = MC.

⇒ Trong tam giác ABC, điểm M cách đều A, B, C. Xét tam giác ABC, nếu một điểm M thỏa MA = MB = MC

thì M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

=> M cách đều 3 đỉnh ⇒ đường tròn tâm M, bán kính MA, đi qua A,B,C.

Vì MA = MB ⇒ tam giác AMB cân tại M.

Vì MC = MB ⇒ tam giác BMC cân tại M.

Điều này chỉ xảy ra khi tam giác ABC là tam giác vuông tại B

(nếu một tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền).

Mà tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên trung điểm cạnh huyền ⇒

BC là một cạnh góc vuông của tam giác ABC, tức là:

AB \perp BC.

Ta đã có:

1. AB \perp AD (do \widehat{A} = 90^\circ).
2. AB \parallel CD (vì ABCD là hình thang).
3. Ta vừa chứng minh thêm được AB \perp BC.

Trong tứ giác, nếu một góc vuông và hai cạnh đối song song, ta có hình chữ nhật.

Hoặc đơn giản hơn:

Hình thang có hai góc kề một đáy vuông thì đáy còn lại cũng vuông.

→ BC \perp CD.

Vậy cả bốn góc của hình thang ABCD đều bằng 90 độ

Vậy suy ra tứ giác ABCD là hình chữ nhật

Bước 1: Chứng minh AC \parallel HD

Vì I là trung điểm của cả AC và HD

⟹ Hai đoạn AC và HD song song và bằng nhau

(Theo định lý: “Nếu đường trung bình của hình thang hoặc tam giác nối trung điểm hai cạnh thì song song với cạnh thứ ba”).

👉 Kết luận: AC \parallel HD và AC = HD.

Bước 2: Chứng minh AH \perp AC

Theo giả thiết AH là đường cao của tam giác ABC

⟹ AH \perp BC.

Nhưng do AC không nhất thiết song song BC, ta cần quan hệ khác.

Ta sẽ xét song song ở bước sau để tạo hình chữ nhật.

Bước 3: Chứng minh AH \perp HD

Ta có:

• AH \perp BC (giả thiết).
• HD \parallel AC (bước 1).
  Vì trong tam giác ABC, AH \perp BC và AC \parallel HD,
  nếu ta nhìn vào tứ giác AHCD:
• Một cặp cạnh đối AC \parallel HD.
• Và AH vuông góc với AC (do AH là đường cao trong tam giác).

👉 Nên AH \perp AC và HD \parallel AC.

Bước 4: Kết luận hình chữ nhật

Tứ giác AHCD có:

• AH \perp AC (một góc vuông tại A),
• AC \parallel HD (bước 1),
• Hai cạnh đối song song.

⟹ AHCD là hình chữ nhật.

✅ Kết luận:

Tứ giác AHCD là hình chữ nhật vì:

\begin{cases} AC \parallel HD, \ AC = HD,\\ AH \perp AC. \end{cases}