a) Ta có DM=DG => GM=2GD.                Ta có G là giao điểm của BD và CE => G là trọng tâm của tam giác ABC.             => BG = 2GD.                                          => BG=GM.                                             Ta được CG= GN.                                     b) Xét tam giác GMN và tam giác GBC.     Có GM = GB (cmt).                                   Góc MGN = góc BGC (2 góc đối đỉnh).    GN = GC (cmt).                                          => Tam giác GMN = tam giác GBC (c.g.c).                                                        => MN = BC (2 cạnh tương ứng).             Có tam giác GMN = tam giác GBC => góc MNG = góc CBG (2 góc tương ứng)       => NMG và CBG ở vị trí so le trong nên MN // BC

 Xét tam giác ABE và tam giác ACF.         Có BE = CF (gt).                                        Góc BAE = góc CAF (2 góc đối đỉnh).     AB = AC (2 cạnh đối đỉnh).                    => Tam giác ABE = tam giác ACF (c.g.c)

a) Vì tam giác ABC cân tại A, ta có AB = AC. BD và CE là các đường trung tuyến , nên à là trung điểm của AC và E là trung điểm của AB. => AD = 1/2 AC và AE = 1/2 AB.                                             Vì AB = AC => AD = AE.                          Xét tam giác ABD và tam giác ACE          Có AB = AC (cmt)                                      Góc BAC chung                                          AD = AE (cmt)                                            => Tam giác ABD = tam giác ACE (c.g.c)                                                         => BD = CE.                                                   b) Có tam giác ABD = tam giác ACE.         => Góc ABD = góc ACE.                             Tam giác cân tại A, ta có:                             Góc ABC = góc ACB                                   Ta có, góc ABC = góc ABD + góc GBC và góc ACB = góc ACE + góc GCB.         Vì góc ABD = góc ACE => góc GBC = góc GCB.                                                   => Tam giác GBC là tam giác cân tại G.   c) G là trọng tâm của tam giác ABC          => GD = 1/3 BD và GE = 1/3 CE.              Có BD = CE (chứng minh câu a)                 => GD = GE.                                              Trong tam giác GBC, áp dụng bất đẳng thức tam giác, có GB + GC > BC.               Vì G là trọng tâm                                        => GB = 2/3 BD và GC = 2/3 CE               Thay vào bất đẳng thức tam giác               Có 2/3 ( BD + CE ) > BC                            Mà BD = CE                                                 => 4/3 BD > BC                                            => BD > 3/4 BC                                             Vì GD = 1/3 BD => GD > 1/4 BC.               Mà GD = GE.                                            => 2GD > 1/2 BC => GD + GE > 1/2 BC.