a: Xét ΔABC có

BM là đường trung tuyến

CN là đường trung tuyến

BM cắt CN tại G

DO đó:G là trọng tâm

=>BG=2/3BM; CG=2/3CN

BM+CN=23BG+23CG>23BCBM+CN=32​BG+32​CG>32​BC

a) D là trung điểm AC nên AD = $\frac{1}{2}$AC

E là trung điểm AB nên AE = $\frac{1}{2}$AB.

∆ABC cân tại A nên AB = AC.

Suy ra AE = AD.

Xét ∆ADB và ∆AEC, có:

AB = AC (chứng minh trên);

$\widehat{BAC}$ là góc chung;

AE = AD (chứng minh trên).

Do đó ∆ADB = ∆AEC (c.g.c).

b) G là trọng tâm của ∆ABC nên $BG=\frac{2}{3}BD$ và $CG=\frac{2}{3}CE$.

Mà BD = CE (do ∆ADB = ∆AEC)

Nên BG = CG

Do đó ∆GBC cân tại G.

c) G là trọng tâm tam giác ABC nên $GD=\frac{1}{2}GB,GE=\frac{1}{2}GC$

Do đó $GD+GE=\frac{1}{2}\left(GB+GC\right)$.

Mặt khác: BG + CG > BC (bất đẳng thức trong tam giác GCB).

Suy ra $GD+GE>\frac{1}{2}BC$.

Gọi $D$ là giao điểm của $AG$ và $BC\Rightarrow DB=DC$.

Ta có ��=23��BG=32​BE; ��=23��CG=32​CF (tính chất trọng tâm).

Vì $BE=CF$ nên $BG=CG\Rightarrow △BCG$ cân tại $G$

⇒���^=���^⇒GCB=GBC

Xét $△BFC$ và $△CEB$ có $CF=BE$ (giả thiết);

���^=���^GCB=GBC (chứng minh trên);

$BC$ là cạnh chung.

Do đó $△BFC=△CEB$ (c.g.c)

⇒���^=���^⇒FBC=ECB (hai góc tưong ứng)

$\Rightarrow △ABC$ cân tại $A\Rightarrow AB=AC$.

Từ đó suy ra $△ABD=△ACD$ (c.c.c)

⇒���^=���^⇒ADB=ADC. (hai góc tương ứng)

Mà ���^+���^=180∘⇒���^=���^=90∘⇒��⊥��ADB+ADC=180∘⇒ADB=ADC=90∘⇒AD⊥BC hay $AG\perp BC$.

Gọi $D$ là giao điểm của $AG$ và $BC\Rightarrow DB=DC$.

Ta có ��=23��BG=32​BE; ��=23��CG=32​CF (tính chất trọng tâm).

Vì $BE=CF$ nên $BG=CG\Rightarrow △BCG$ cân tại $G$

⇒���^=���^⇒GCB=GBC

Xét $△BFC$ và $△CEB$ có $CF=BE$ (giả thiết);

���^=���^GCB=GBC (chứng minh trên);

$BC$ là cạnh chung.

Do đó $△BFC=△CEB$ (c.g.c)

⇒���^=���^⇒FBC=ECB (hai góc tưong ứng)

$\Rightarrow △ABC$ cân tại $A\Rightarrow AB=AC$.

Từ đó suy ra $△ABD=△ACD$ (c.c.c)

⇒���^=���^⇒ADB=ADC. (hai góc tương ứng)

Mà ���^+���^=180∘⇒���^=���^=90∘⇒��⊥��ADB+ADC=180∘⇒ADB=ADC=90∘⇒AD⊥BC hay $AG\perp BC$.