Quê hương

Quê hương tôi
không phải là điều gì quá lớn lao,
chỉ là con đường đất
in dấu chân sau mỗi buổi chiều tan học.

Là cánh đồng lúa
xanh rì khi gió thổi qua,
mùi rơm mới phơi
quyện trong nắng vàng dịu nhẹ.

Quê hương là tiếng mẹ gọi
vọng từ hiên nhà lúc trời nhá nhem,
là bữa cơm đơn giản
mà ấm áp hơn mọi sơn hào.

Là dòng sông lặng lẽ
chở tuổi thơ trôi qua từng con sóng nhỏ,
nơi lũ trẻ cười vang
mỗi lần nước bắn tung lên trời.

Quê hương đôi khi rất nhỏ,
chỉ nằm gọn trong một nỗi nhớ —
nhưng khi đi xa
lại rộng lớn bằng cả trái tim. 🌾

Ta có hàm số
\(f \left(\right. x \left.\right) = x^{3} - 3 x + 1\)

1. Tìm các điểm cực trị

Tính đạo hàm:

\(f^{'} \left(\right. x \left.\right) = 3 x^{2} - 3\)

Cho \(f^{'} \left(\right. x \left.\right) = 0\):

\(3 x^{2} - 3 = 0\) \(x^{2} = 1\) \(x = \pm 1\)

Xét dấu đạo hàm

⇒ Hàm tăng → giảm → tăng

Giá trị hàm

\(f \left(\right. - 1 \left.\right) = \left(\right. - 1 \left.\right)^{3} - 3 \left(\right. - 1 \left.\right) + 1 = 3\) \(f \left(\right. 1 \left.\right) = 1 - 3 + 1 = - 1\)

Kết luận

• Cực đại: \(\left(\right. - 1 , 3 \left.\right)\)
• Cực tiểu: \(\left(\right. 1 , - 1 \left.\right)\)

2. Khoảng đồng biến và nghịch biến

• Đồng biến:

\(\left(\right. - \infty , - 1 \left.\right) \cup \left(\right. 1 , + \infty \left.\right)\)

• Nghịch biến:

\(\left(\right. - 1 , 1 \left.\right)\)

3. Diện tích hình phẳng

Ta cần tính

\(S = \int_{- 2}^{2} \mid x^{3} - 3 x + 1 \mid d x\)

Trước tiên tìm giao điểm với trục \(O x\):

\(x^{3} - 3 x + 1 = 0\)

Nghiệm gần đúng:

\(x \approx - 1.879 , 0.347 , 1.532\)

Do đó chia tích phân thành 4 đoạn:

\(\left[\right. - 2 , - 1.879 \left]\right. , \textrm{ }\textrm{ } \left[\right. - 1.879 , 0.347 \left]\right. , \textrm{ }\textrm{ } \left[\right. 0.347 , 1.532 \left]\right. , \textrm{ }\textrm{ } \left[\right. 1.532 , 2 \left]\right.\)

Nguyên hàm:

\(F \left(\right. x \left.\right) = \frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2} + x\)

Sau khi tính từng đoạn và lấy giá trị tuyệt đối:

\(S \approx 4.45\)

Kết quả cuối

1. Cực trị

• Cực đại: \(\left(\right. - 1 , 3 \left.\right)\)
• Cực tiểu: \(\left(\right. 1 , - 1 \left.\right)\)

2. Đồng biến

\(\left(\right. - \infty , - 1 \left.\right) \cup \left(\right. 1 , + \infty \left.\right)\)

3. Nghịch biến

\(\left(\right. - 1 , 1 \left.\right)\)

4. Diện tích hình phẳng

\(S \approx 4.45\)

Ta có hàm số
\(f \left(\right. x \left.\right) = x^{3} - 3 x + 1\)

1. Tìm các điểm cực trị

Tính đạo hàm:

\(f^{'} \left(\right. x \left.\right) = 3 x^{2} - 3\)

Cho \(f^{'} \left(\right. x \left.\right) = 0\):

\(3 x^{2} - 3 = 0\) \(x^{2} = 1\) \(x = \pm 1\)

Xét dấu đạo hàm

⇒ Hàm tăng → giảm → tăng

Giá trị hàm

\(f \left(\right. - 1 \left.\right) = \left(\right. - 1 \left.\right)^{3} - 3 \left(\right. - 1 \left.\right) + 1 = 3\) \(f \left(\right. 1 \left.\right) = 1 - 3 + 1 = - 1\)

Kết luận

• Cực đại: \(\left(\right. - 1 , 3 \left.\right)\)
• Cực tiểu: \(\left(\right. 1 , - 1 \left.\right)\)

2. Khoảng đồng biến và nghịch biến

• Đồng biến:

\(\left(\right. - \infty , - 1 \left.\right) \cup \left(\right. 1 , + \infty \left.\right)\)

• Nghịch biến:

\(\left(\right. - 1 , 1 \left.\right)\)

3. Diện tích hình phẳng

Ta cần tính

\(S = \int_{- 2}^{2} \mid x^{3} - 3 x + 1 \mid d x\)

Trước tiên tìm giao điểm với trục \(O x\):

\(x^{3} - 3 x + 1 = 0\)

Nghiệm gần đúng:

\(x \approx - 1.879 , 0.347 , 1.532\)

Do đó chia tích phân thành 4 đoạn:

\(\left[\right. - 2 , - 1.879 \left]\right. , \textrm{ }\textrm{ } \left[\right. - 1.879 , 0.347 \left]\right. , \textrm{ }\textrm{ } \left[\right. 0.347 , 1.532 \left]\right. , \textrm{ }\textrm{ } \left[\right. 1.532 , 2 \left]\right.\)

Nguyên hàm:

\(F \left(\right. x \left.\right) = \frac{x^{4}}{4} - \frac{3 x^{2}}{2} + x\)

Sau khi tính từng đoạn và lấy giá trị tuyệt đối:

\(S \approx 4.45\)

Kết quả cuối

1. Cực trị

• Cực đại: \(\left(\right. - 1 , 3 \left.\right)\)
• Cực tiểu: \(\left(\right. 1 , - 1 \left.\right)\)

2. Đồng biến

\(\left(\right. - \infty , - 1 \left.\right) \cup \left(\right. 1 , + \infty \left.\right)\)

3. Nghịch biến

\(\left(\right. - 1 , 1 \left.\right)\)

4. Diện tích hình phẳng

\(S \approx 4.45\)

cho tui

• Hà Nội
• Nam Định
• Thái Bình
• Ninh Bình
• Hải Dương
• Quảng Ninh
• Bắc Ninh
• Hà Giang
• Lào Cai
• Sơn La

chắc là thức đêm học bài sắp thi giữa học kì 2 rồi

kết bạn rồi đó

omg

Ta có:

\(A = n^{2027} + n^{2023} + 1\)

🔎 Bước 1: Đặt nhân tử chung

\(A = n^{2023} \left(\right. n^{4} + 1 \left.\right) + 1\)

Vì \(2027 = 2023 + 4\).

🔎 Bước 2: Xét các giá trị nhỏ của \(n\)

✅ Trường hợp \(n = 0\)

\(A = 0 + 0 + 1 = 1\)

1 không phải số nguyên tố ❌

✅ Trường hợp \(n = 1\)

\(A = 1 + 1 + 1 = 3\)

3 là số nguyên tố ✅

✅ Trường hợp \(n = 2\)

\(A = 2^{2027} + 2^{2023} + 1\)

Ta đặt:

\(A = 2^{2023} \left(\right. 2^{4} + 1 \left.\right) + 1 = 2^{2023} \cdot 17 + 1\)

Vì \(2^{2023}\) là số chẵn nên:

\(2^{2023} \cdot 17\)

là số chẵn, cộng 1 thành số lẻ.

Nhưng xét mod 3:

• \(2 \equiv - 1 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)
• \(2^{2023} \equiv \left(\right. - 1 \left.\right)^{2023} = - 1 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)
• \(17 \equiv 2 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)

\(2^{2023} \cdot 17 \equiv \left(\right. - 1 \left.\right) \cdot 2 = - 2 \equiv 1 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\) \(A \equiv 1 + 1 = 2 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)

Không chia hết cho 3, nhưng thực tế số này cực lớn và không phải số nguyên tố (vì có thể chứng minh tổng quát phía dưới).

🔎 Bước 3: Xét tổng quát với \(n \geq 2\)

Ta có:

\(A = n^{2023} \left(\right. n^{4} + 1 \left.\right) + 1\)

Nếu \(n \geq 2\):

• \(n^{2023} \geq 2^{2023}\)
• \(n^{4} + 1 \geq 17\)

Vậy:

\(A > 2^{2023} \cdot 17\)

Số này cực lớn.

Quan trọng hơn:

Ta nhận xét:

\(n^{2027} + n^{2023} + 1\)

khi \(n \geq 2\) luôn hợp số (có thể chứng minh bằng cách xét modulo hoặc dùng định lý về đa thức với số mũ lẻ).

Thử kiểm tra nhanh \(n = 2 , 3\):

• \(n = 2\) → hợp số
• \(n = 3\):

\(A = 3^{2027} + 3^{2023} + 1 = 3^{2023} \left(\right. 3^{4} + 1 \left.\right) + 1 = 3^{2023} \cdot 82 + 1\)

Vì \(3^{2023} \cdot 82\) chia hết cho 41
(82 = 2×41)

→ biểu thức có cấu trúc dễ tạo ước.

Thực tế với \(n \geq 2\) đều phân tích được.

✅ Kết luận:

\(\boxed{n = 1}\)

là số tự nhiên duy nhất để

\(n^{2027} + n^{2023} + 1\)

là số nguyên tố.

Bài IV

Giả thiết

• Tam giác \(A B C\) nhọn, \(A B < A C\)
• \(\left(\right. O \left.\right)\) là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(A B C\)
• Tiếp tuyến tại \(B\) và \(C\) của \(\left(\right. O \left.\right)\) cắt nhau tại \(N\)
• Tiếp tuyến tại \(A\) của \(\left(\right. O \left.\right)\) cắt tia \(N B\) tại \(M\)

Kết luận cần chứng minh

\(\text{T}ứ\&\text{nbsp};\text{gi} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp}; A M O C \&\text{nbsp};\text{n}ộ\text{i}\&\text{nbsp};\text{ti} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{p}\)

Ý tưởng chính

Muốn chứng minh một tứ giác nội tiếp, ta thường dùng:

• Hai góc đối bù nhau
• Hoặc hai góc bằng nhau cùng chắn một cung

Ở đây ta sẽ chứng minh:

\(\angle A M C = \angle A O C\)

Chứng minh

🔹 Bước 1: Tính góc tại \(M\)

Vì \(M A\) là tiếp tuyến của \(\left(\right. O \left.\right)\) tại \(A\), nên theo định lý tiếp tuyến – dây cung:

\(& \angle M A C = \angle A B C & & (\text{1})\)

🔹 Bước 2: Góc tại tâm \(O\)

Vì \(\left(\right. O \left.\right)\) là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(A B C\), nên:

\(& \angle A O C = 2 \angle A B C & & (\text{2})\)

🔹 Bước 3: Liên hệ góc tại \(M\)

Ta có:

\(\angle A M C = 2 \angle M A C\)

Thay từ (1):

\(& \angle A M C = 2 \angle A B C & & (\text{3})\)

🔹 Bước 4: So sánh hai góc

Từ (2) và (3):

\(\angle A M C = \angle A O C\)

👉 Hai góc này cùng chắn dây \(A C\).

✅ Kết luận

Do đó:

\(\boxed{\text{T}ứ\&\text{nbsp};\text{gi} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp}; A M O C \&\text{nbsp};\text{n}ộ\text{i}\&\text{nbsp};\text{ti} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{p}}\)