a) Vẽ đồ thị \(\left(\right. P \left.\right)\)

- Bảng giá trị của \(y\) tương ứng với giá trị của \(x\) như sau:

- Vẽ các điểm \(A \left(\right. - 2 ; 4 \left.\right) , B \left(\right. - 1 ; 1 \left.\right) , O \left(\right. 0 ; 0 \left.\right) , C \left(\right. 1 ; 1 \left.\right) , D \left(\right. 2 ; 4 \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = x^{2}\) trong mặt phẳng \(O x y\).

- Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số \(y = x^{2}\).

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^{2} = 2 x - 3 m\)

\(x^{2} - 2 x + 3 m = 0\) (*)

Để đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right)\): \(y = 2 x - 3 m\) cắt đồ thị \(\left(\right. P \left.\right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \(x_{1} ; x_{2}\) thì phương trình (*) phải có hai nghiệm \(x_{1} ; x_{2}\)

\(\Delta^{'} = 1 - 3 m > 0\)

\(m < \frac{1}{3}\)

Theo định lí Viète, ta có: x1 + x2 = 2

x1 . x2 = 3m

Vì \(x_{2}\) là nghiệm của phương trình (*) nên

\(x_{2}^{2} - 2 x_{2} + 3 m = 0\)

\(3 m = 2 x_{2} - x_{2}^{2}\)

Suy ra \(x_{1} x_{2}^{2} - x_{2} \left(\right. 2 x_{2} - x_{2}^{2} + 2 x_{1} \left.\right) = 12\)

\(x_{1} x_{2}^{2} + x_{2}^{3} - 2 x_{2} \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) = 12\)

\(x_{2}^{2} \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) - 2 x_{2} \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) = 12\)

\(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) \left(\right. x_{2}^{2} - 2 x_{2} \left.\right) = 12\)

\(2 x_{2}^{2} - 4 x_{2} = 12\)

\(x_{2}^{2} - 2 x_{2} = 6\)

\(- 3 m - 6 = 0\)

\(m = - 2\) (tm)

Vậy \(m = - 2\) là giá trị cần tìm.

a) Vẽ đồ thị hàm số \(y = x^{2}\) \(\left(\right. P \left.\right)\)

- Bảng giá trị của \(y\) tương ứng với giá trị của \(x\) như sau:

- Vẽ các điểm \(A \left(\right. - 2 ; 4 \left.\right) , B \left(\right. - 1 ; 1 \left.\right) , O \left(\right. 0 ; 0 \left.\right) , C \left(\right. 1 ; 1 \left.\right) , D \left(\right. 2 ; 4 \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = x^{2}\) trong mặt phẳng \(O x y\).

- Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số \(y = x^{2}\).

b) Khi \(m = 2\) phương trình đường thẳng có dạng \(\left(\right. d \left.\right) : y = 2 x + 3\).

Hoành độ giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right) : y = x^{2}\) và \(\left(\right. d \left.\right) : y = 2 x + 3\) là nghiệm của phương trình:

\(x^{2} = 2 x + 3\)

\(x^{2} - 2 x - 3 = 0\)

Vì \(a - b + c = 1 - \left(\right. - 2 \left.\right) + \left(\right. - 3 \left.\right) = 0\) nên phương trình có hai nghiệm \(x_{1} = - 1\); \(x_{2} = - \frac{c}{a} = 3\).

Với \(x_{1} = - 1\) thì \(y_{1} = \left(\right. - 1 \left.\right)^{2} = 1\).

Với \(x_{2} = 3\) thì \(y_{2} = 3^{2} = 9\).

Vậy ta có hai giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) là \(\left(\right. - 1 ; 1 \left.\right)\) và \(\left(\right. 3 ; 9 \left.\right)\).

c) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right) : y = x^{2}\) và \(\left(\right. d \left.\right) : y = m x + 3\):

\(x^{2} = m x + 3\)

\(x^{2} - m x - 3 = 0\) (1).

Để \(\left(\right. d \left.\right)\) và \(\left(\right. P \left.\right)\) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ \(x_{1} ; x_{2}\) thì phương trình (1) phải luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} ; x_{2}\) thì \(\Delta > 0\)

\(\left(\right. - m \left.\right)^{2} - 4.1. \left(\right. - 3 \left.\right) > 0\)

\(m^{2} + 12 > 0\) (luôn đúng với mọi \(m\))

Vậy với mọi \(m\) thì phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Viète, ta có: x1 + x2 = m

x1 . x2 = -3

Thay \(x = 0\) vào (1), ta có \(0^{2} - m . 0 - 3 = - 3 \neq 0\) với mọi \(m\) nên (1) luôn có hai nghiệm phân biệt khác \(0\) với mọi \(m\).

Theo bài ra ta có: \(\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{3}{2}\)

\(2 x_{2} + 2 x_{1} = 3 x_{1} x_{2}\)

\(2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \&\text{nbsp}; \left.\right) = 3 x_{1} x_{2}\).

Thay hệ thức Viète, ta được: \(2 m = 3. \left(\right. - 3 \left.\right)\)

\(2 m = - 9\)

\(m = \frac{- 9}{2}\).

Vậy \(m = - \frac{9}{2}\) là giá trị cần tìm.

a) Vẽ Parabol \(\left(\right. P \left.\right)\) 

Bảng giá trị của \(y\) tương ứng với giá trị của \(x\) như sau:

Vẽ các điểm \(A \left(\right. - 2 ; 8 \&\text{nbsp}; \left.\right)\), \(B \left(\right. - 1 ; 2 \&\text{nbsp}; \left.\right)\), \(O \left(\right. 0 ; 0 \&\text{nbsp}; \left.\right)\), \(C \left(\right. 1 ; 2 \&\text{nbsp}; \left.\right)\), \(D \left(\right. 2 ; 8 \&\text{nbsp}; \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = 2 x^{2}\) trong mặt phẳng \(O x y\).

Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số \(y = 2 x^{2}\).

b) Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(\right. d \left.\right)\) và \(\left(\right. P \left.\right)\) là:

\(2 x^{2} = - 2 x + m\)

\(2 x^{2} + 2 x - m = 0\) (1)

Ta có \(\Delta^{'} = 1^{2} - 2 \left(\right. - m \left.\right) = 1 + 2 m\).

Để \(\left(\right. d \left.\right)\) cắt \(\left(\right. P \left.\right)\) tại hai điểm phân biệt khi

\(\Delta^{'} > 0\)

\(1 + 2 m > 0\)

\(m > \frac{- 1}{2}\)

Với \(m > \frac{- 1}{2}\) thì \(\left(\right. d \left.\right)\) cắt \(\left(\right. P \left.\right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \(x_{1} ; x_{2}\).

Theo hệ thức Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = - 1 ; x_{1} x_{2} = \frac{- m}{2}\)

Theo đề bài ta có: \(x_{1} + x_{2} - 2 x_{1} x_{2} = 1\)

\(- 1 - 2 \frac{- m}{2} = 1\)

\(- 1 + m = 1\)

\(m = 2\).

Vậy \(m = 2\) thì \(\left(\right. d \left.\right)\) cắt \(\left(\right. P \left.\right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \(x_{1} ; x_{2}\) thỏa mãn yêu cầu.

a) Vẽ parabol \(\left(\right. P \left.\right)\) là đồ thị của hàm số \(y = x^{2}\)

- Bảng giá trị của \(y\) tương ứng với giá trị của \(x\) như sau:

- Vẽ các điểm \(A \left(\right. - 2 ; 4 \left.\right) , B \left(\right. - 1 ; 1 \left.\right) , O \left(\right. 0 ; 0 \left.\right) , C \left(\right. 1 ; 1 \left.\right) , D \left(\right. 2 ; 4 \left.\right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = x^{2}\) trong mặt phẳng \(O x y\).

- Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số \(y = x^{2}\).

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm \(x^{2} = - x - m + 1\)

\(x^{2} + x + m - 1 = 0\) (1) 

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta > 0\)

\(1^{2} - 4 \left(\right. m - 1 \left.\right) > 0\)

\(m < \frac{5}{4}\)

Khi đó áp dụng hệ thức Viète: \(x_{1} + x_{2} = - 1 ; \&\text{nbsp}; x_{1} x_{2} = m - 1\).

Khi đó ta có: \(\mid x_{1} - x_{2} \mid = 2\)

\(\left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right)^{2} = 4\)

\(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2} - 4 x_{1} x_{2} = 4\)

\(1 - 4 \left(\right. m - 1 \left.\right) = 4\)

\(m = \frac{1}{4}\) (tm)

Vậy \(m = \frac{1}{4}\) là giá trị cần tìm.

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) là :

\(x^{2} = 2 x + m^{2}\)

\(x^{2} - 2 x - m^{2} = 0\) (*)

Ta có \(\Delta^{'} = \left(\right. - 1 \left.\right)^{2} - \left(\right. - m \left.\right)^{2} = m^{2} + 1 > 0\) với mọi \(m\)

Nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt, do đó \(\left(\right. d \left.\right)\) luôn cắt \(\left(\right. P \left.\right)\) tại hai điểm phân biệt.

b) Vì \(x_{1} ; x_{2}\) là hoành độ giao điểm của \(\left(\right. d \left.\right)\) và \(\left(\right. P \left.\right)\) hay \(x_{1} ; x_{2}\) là nghiệm của phương trình (*).

Theo hệ thức Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = 2 ; x_{1} x_{2} = - m^{2}\).

Theo giả thiết: \(\left(\right. x_{1} + 1 \left.\right) \left(\right. x_{2} + 1 \left.\right) = - 3\)

\(x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1 + 3 = 0\)

\(\&\text{nbsp}; - m^{2} + 2 + 1 + 3 = 0\)

\(m^{2} = 6\)

\(m = \pm \sqrt{6}\).

Vậy \(m = \pm \sqrt{6}\) là các giá trị cần tìm.

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) là :

\(x^{2} = 2 x + m^{2}\)

\(x^{2} - 2 x - m^{2} = 0\) (*)

Ta có \(\Delta^{'} = \left(\right. - 1 \left.\right)^{2} - \left(\right. - m \left.\right)^{2} = m^{2} + 1 > 0\) với mọi \(m\)

Nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt, do đó \(\left(\right. d \left.\right)\) luôn cắt \(\left(\right. P \left.\right)\) tại hai điểm phân biệt.

b) Vì \(x_{1} ; x_{2}\) là hoành độ giao điểm của \(\left(\right. d \left.\right)\) và \(\left(\right. P \left.\right)\) hay \(x_{1} ; x_{2}\) là nghiệm của phương trình (*).

Theo hệ thức Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = 2 ; x_{1} x_{2} = - m^{2}\).

Theo giả thiết: \(\left(\right. x_{1} + 1 \left.\right) \left(\right. x_{2} + 1 \left.\right) = - 3\)

\(x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1 + 3 = 0\)

\(\&\text{nbsp}; - m^{2} + 2 + 1 + 3 = 0\)

\(m^{2} = 6\)

\(m = \pm \sqrt{6}\).

Vậy \(m = \pm \sqrt{6}\) là các giá trị cần tìm.

Nếu \(x < 1\) thì \(x^{8} - x^{7} + x^{2} - x + 1\)

\(= x^{8} + x^{2} \left(\right. 1 - x^{5} \left.\right) + \left(\right. 1 - x \left.\right) > 0\).

Nếu \(x \geq 1\) thì \(x^{8} - x^{7} + x^{2} - x + 1\)

\(= x^{7} \left(\right. x - 1 \left.\right) + x \left(\right. x - 1 \left.\right) + 1 > 0\).

2(b2a2​+c2b2​+a2c2​)≥2(bc​+ab​+ca​)

Xét dấu hiệu \(2 \left(\right. \frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \left.\right) - 2 \left(\right. \frac{c}{b} + \frac{b}{a} + \frac{a}{c} \left.\right)\)

\(= \left(\right. \frac{a}{b} - \frac{b}{c} \left.\right)^{2} + \left(\right. \frac{b}{c} - \frac{c}{a} \left.\right)^{2} + \left(\right. \frac{c}{a} - \frac{a}{b} \left.\right)^{2} \geq 0\)

Nhân hai vế bất đẳng thức cần chứng minh với \(x + y\) ta được bất đẳng thức tương đương là

\(x^{5} + y^{5} > \left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right) \left(\right. x + y \left.\right)\) (1)

Từ giả thiết \(x > \sqrt{2}\) suy ra \(x^{2} > 2\) suy ra \(x^{5} > 2 x^{3}\), từ đó   

\(x^{5} + y^{5} > 2 \left(\right. x^{3} + y^{3} \left.\right)\)

\(= 2 \left(\right. x^{2} - x y + y^{2} \left.\right) \left(\right. x + y \left.\right)\)

\(= \left(\right. x - y \left.\right)^{2} + \left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right) \left(\right. x + y \left.\right) \geq \left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right) \left(\right. x + y \left.\right)\) suy ra (1), điều phải chứng minh.

x+y=1 nên \(\left(\right. 1 + \frac{1}{x} \left.\right) \left(\right. 1 + \frac{1}{y} \left.\right) - 9\)

\(= \frac{\left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. y + 1 \left.\right) - 9 x y}{x y} = \frac{2 - 8 x y}{x y}\)  

\(= \frac{2 \left(\right. 1 - 4 x y \left.\right)}{x y} = \frac{2 \left(\right. \left(\right. x + y \left.\right)^{2} - 4 x y \left.\right)}{x y}\)

\(= \frac{2 \left(\right. x - y \left.\right)^{2}}{x y} \geq 0\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = \frac{1}{2}\).