Thông báo
Bạn đã xem hết nội dung đọc thử. Hãy trở thành hội viên hoặc mua lẻ để đọc hết nội dung tài liệu.
SGK - Chuyên đề học tập Toán 11
0/0
Nền
Đọc offline
Lưu sách trên máy
Đang kiểm tra...
Mục lục
Mục lục
Học liệu
Đang xem trang 0
Học liệu dưới đây tương ứng với nội dung bạn đang đọc
Không có học liệu bổ trợ
Chuyên đề 1
PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
Nhìn những tấm bản đồ hành chính Việt Nam ở bên, ta thấy chúng giống nhau về hình dạng, hơn nữa, tấm a) và tấm d) còn giống nhau cả về kích thước. Toán học thể hiện điều đó như thế nào? Qua chuyên đề này, ta sẽ có câu trả lời.
a)
b)
c)
d)
Bài 1. PHÉP BIẾN HÌNH
THUẬT NGỮ
Phép biến hình
Phép đồng nhất
Ảnh của một điểm
Ảnh của một hình
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết khái niệm phép biến hình.
Nhận biết khái niệm ảnh của một điểm, một hình qua một phép biến hình.
Để biểu diễn sự phụ thuộc của một đại lượng vào một đại lượng khác ta đã đi đến khái niệm hàm số. Tương tự như vậy, trong bài học này ta sẽ xây dựng đối tượng cho phép biểu diễn sự phụ thuộc của một điểm vào một điểm khác.
1. PHÉP BIẾN HÌNH
HĐ1. Hoa và Hưng cùng chơi trò sau: Hai bạn luân phiên nhau đặt các đồng xu có cùng kích thước lên trên một mặt mảnh giấy hình chữ nhật sao cho các xu nằm hoàn toàn trên mảnh giấy và xu đặt sau không chồng lên xu trước. Mỗi bạn, đến lượt mình được đặt một xu. Ai là người đầu tiên không còn chỗ để đặt xu là người thua cuộc.
PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
Nhìn những tấm bản đồ hành chính Việt Nam ở bên, ta thấy chúng giống nhau về hình dạng, hơn nữa, tấm a) và tấm d) còn giống nhau cả về kích thước. Toán học thể hiện điều đó như thế nào? Qua chuyên đề này, ta sẽ có câu trả lời.
a)
b)
c)
d)
Bài 1. PHÉP BIẾN HÌNH
THUẬT NGỮ
Phép biến hình
Phép đồng nhất
Ảnh của một điểm
Ảnh của một hình
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết khái niệm phép biến hình.
Nhận biết khái niệm ảnh của một điểm, một hình qua một phép biến hình.
Để biểu diễn sự phụ thuộc của một đại lượng vào một đại lượng khác ta đã đi đến khái niệm hàm số. Tương tự như vậy, trong bài học này ta sẽ xây dựng đối tượng cho phép biểu diễn sự phụ thuộc của một điểm vào một điểm khác.
1. PHÉP BIẾN HÌNH
HĐ1. Hoa và Hưng cùng chơi trò sau: Hai bạn luân phiên nhau đặt các đồng xu có cùng kích thước lên trên một mặt mảnh giấy hình chữ nhật sao cho các xu nằm hoàn toàn trên mảnh giấy và xu đặt sau không chồng lên xu trước. Mỗi bạn, đến lượt mình được đặt một xu. Ai là người đầu tiên không còn chỗ để đặt xu là người thua cuộc.
Trong một lần chơi, là người được đặt xu trước, Hoa đặt đồng xu đầu tiên tại vị trí $O$ ở chính giữa mảnh giấy, và sau đó, ở mỗi lượt đặt xu, nếu Hưng đặt đồng xu ở vị trí $M$ thì Hoa đặt ở vị trí $M'$ đối xứng với $M$ qua $O$. Hỏi trong lần chơi nói trên, ai là người thắng cuộc?
Phép biến hình trong mặt phẳng là một quy tắc để ứng với mỗi điểm $M$ thuộc mặt phẳng, xác định được duy nhất điểm $M'$ thuộc mặt phẳng đó.
Điểm $M'$ được gọi là ảnh của điểm $M$ qua phép biến hình đó.
Chú ý
Nếu kí hiệu một phép biến hình là $f$ và $M'$ là ảnh của điểm $M$ qua $f$, thì ta nói $f$ biến điểm $M$ thành điểm $M'$. Ảnh $M'$ của $M$ qua $f$ được kí hiệu là $f(M) = M'$.
Phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thành chính $M$ được gọi là phép đồng nhất.
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng, cho đường thẳng $d$.
a) Với mỗi điểm $M$, gọi $M'$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $d$. Chứng minh rằng quy tắc cho tương ứng điểm $M$ với điểm $M'$ là một phép biến hình.
b) Gọi $a$ là một đường thẳng bất kì vuông góc với $d$. Chứng minh rằng tất cả các điểm thuộc $a$ có cùng ảnh qua phép biến hình trên.
Giải
a) Mỗi điểm $M$ đều có duy nhất hình chiếu vuông góc $M'$ trên $d$ (H.1.1). Do đó, quy tắc cho tương ứng điểm $M$ với điểm $M'$ như trên là một phép biến hình.
b) Gọi $O$ là giao điểm của $a$ và $d$. Khi đó, tất cả các điểm trên $a$ đều có hình chiếu vuông góc trên $d$ là $O$. Do đó, các điểm này có cùng ảnh là $O$ qua phép biến hình nói trên.
2. ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA MỘT PHÉP BIẾN HÌNH
HD2. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho phép biến hình $f$ biến mỗi điểm $M(x; y)$ thành điểm $M'(x + 1; y + 2)$.
a) Xét các điểm $A(-1; 5), B(2; 2), C(4; 0)$ thuộc $\Delta : x + y - 4 = 0$.
Xác định các ảnh của chúng qua $f$.
b) Chứng minh rằng nếu $M(x_0; y_0)$ là điểm thuộc đường thẳng $\Delta : x + y - 4 = 0$ thì ảnh $M'(x_0 + 1; y_0 + 2)$ của nó thuộc đường thẳng $\Delta' : x + y - 7 = 0$.
Phép biến hình trong mặt phẳng là một quy tắc để ứng với mỗi điểm $M$ thuộc mặt phẳng, xác định được duy nhất điểm $M'$ thuộc mặt phẳng đó.
Điểm $M'$ được gọi là ảnh của điểm $M$ qua phép biến hình đó.
Chú ý
Nếu kí hiệu một phép biến hình là $f$ và $M'$ là ảnh của điểm $M$ qua $f$, thì ta nói $f$ biến điểm $M$ thành điểm $M'$. Ảnh $M'$ của $M$ qua $f$ được kí hiệu là $f(M) = M'$.
Phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thành chính $M$ được gọi là phép đồng nhất.
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng, cho đường thẳng $d$.
a) Với mỗi điểm $M$, gọi $M'$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $d$. Chứng minh rằng quy tắc cho tương ứng điểm $M$ với điểm $M'$ là một phép biến hình.
b) Gọi $a$ là một đường thẳng bất kì vuông góc với $d$. Chứng minh rằng tất cả các điểm thuộc $a$ có cùng ảnh qua phép biến hình trên.
Giải
a) Mỗi điểm $M$ đều có duy nhất hình chiếu vuông góc $M'$ trên $d$ (H.1.1). Do đó, quy tắc cho tương ứng điểm $M$ với điểm $M'$ như trên là một phép biến hình.
b) Gọi $O$ là giao điểm của $a$ và $d$. Khi đó, tất cả các điểm trên $a$ đều có hình chiếu vuông góc trên $d$ là $O$. Do đó, các điểm này có cùng ảnh là $O$ qua phép biến hình nói trên.
2. ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA MỘT PHÉP BIẾN HÌNH
HD2. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho phép biến hình $f$ biến mỗi điểm $M(x; y)$ thành điểm $M'(x + 1; y + 2)$.
a) Xét các điểm $A(-1; 5), B(2; 2), C(4; 0)$ thuộc $\Delta : x + y - 4 = 0$.
Xác định các ảnh của chúng qua $f$.
b) Chứng minh rằng nếu $M(x_0; y_0)$ là điểm thuộc đường thẳng $\Delta : x + y - 4 = 0$ thì ảnh $M'(x_0 + 1; y_0 + 2)$ của nó thuộc đường thẳng $\Delta' : x + y - 7 = 0$.
Hình 1.2
Với mỗi hình $\mathscr{H}$, ta gọi hình $\mathscr{H}'$ gồm các điểm $M' = f(M)$, trong đó $M \in \mathscr{H}$, là ảnh của hình $\mathscr{H}$ qua phép biến hình $f$, và viết $\mathscr{H}' = f(\mathscr{H})$. Khi đó, ta cũng nói $f$ biến hình $\mathscr{H}$ thành hình $\mathscr{H}'$.
Ví dụ 2. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, với mỗi số dương $k$ khác 1 cho trước, xét phép biến hình $f$ biến mỗi điểm $M(x; y)$ thành điểm $M'(x; ky)$.
a) Điểm $N'(u_0; v_0)$ là ảnh của điểm nào qua $f$?
b) Chứng minh rằng, phép biến hình $f$ biến đường tròn $(C): x^2 + y^2 = R^2$ thành elip $(E): \frac{x^2}{R^2} + \frac{y^2}{(kR)^2} = 1$.
Giải
a) Điểm $N'(u_0; v_0)$ là ảnh của điểm $N(u_0; \frac{v_0}{k})$.
b) Lấy điểm $M(x_0; y_0)$ thuộc đường tròn $(C)$, khi đó $x_0^2 + y_0^2 = R^2$ và $M$ có ảnh là $M'(x_0; ky_0)$.
Ta có
$\frac{x_0^2}{R^2} + \frac{y_0^2}{R^2} = 1$, hay là $\frac{x_0^2}{R^2} + \frac{(ky_0)^2}{(kR)^2} = 1$.
Như vậy, $M'(x_0; ky_0)$ thoả mãn phương trình elip $(E): \frac{x^2}{R^2} + \frac{y^2}{(kR)^2} = 1$.
Vậy, nếu điểm $M$ thuộc đường tròn $(C)$ thì ảnh $M'$ của nó thuộc elip $(E)$.
Ta lại có, nếu $\frac{u_0^2}{R^2} + \frac{v_0^2}{(kR)^2} = 1$ thì $u_0^2 + (\frac{v_0}{k})^2 = R^2$.
Do đó, mỗi điểm $N'(u_0; v_0)$ thuộc elip $(E)$ đều là ảnh của điểm $N(u_0; \frac{v_0}{k})$ thuộc đường tròn $(C)$.
Vậy $f$ biến đường tròn $(C)$ thành elip $(E)$.
Với mỗi hình $\mathscr{H}$, ta gọi hình $\mathscr{H}'$ gồm các điểm $M' = f(M)$, trong đó $M \in \mathscr{H}$, là ảnh của hình $\mathscr{H}$ qua phép biến hình $f$, và viết $\mathscr{H}' = f(\mathscr{H})$. Khi đó, ta cũng nói $f$ biến hình $\mathscr{H}$ thành hình $\mathscr{H}'$.
Ví dụ 2. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, với mỗi số dương $k$ khác 1 cho trước, xét phép biến hình $f$ biến mỗi điểm $M(x; y)$ thành điểm $M'(x; ky)$.
a) Điểm $N'(u_0; v_0)$ là ảnh của điểm nào qua $f$?
b) Chứng minh rằng, phép biến hình $f$ biến đường tròn $(C): x^2 + y^2 = R^2$ thành elip $(E): \frac{x^2}{R^2} + \frac{y^2}{(kR)^2} = 1$.
Giải
a) Điểm $N'(u_0; v_0)$ là ảnh của điểm $N(u_0; \frac{v_0}{k})$.
b) Lấy điểm $M(x_0; y_0)$ thuộc đường tròn $(C)$, khi đó $x_0^2 + y_0^2 = R^2$ và $M$ có ảnh là $M'(x_0; ky_0)$.
Ta có
$\frac{x_0^2}{R^2} + \frac{y_0^2}{R^2} = 1$, hay là $\frac{x_0^2}{R^2} + \frac{(ky_0)^2}{(kR)^2} = 1$.
Như vậy, $M'(x_0; ky_0)$ thoả mãn phương trình elip $(E): \frac{x^2}{R^2} + \frac{y^2}{(kR)^2} = 1$.
Vậy, nếu điểm $M$ thuộc đường tròn $(C)$ thì ảnh $M'$ của nó thuộc elip $(E)$.
Ta lại có, nếu $\frac{u_0^2}{R^2} + \frac{v_0^2}{(kR)^2} = 1$ thì $u_0^2 + (\frac{v_0}{k})^2 = R^2$.
Do đó, mỗi điểm $N'(u_0; v_0)$ thuộc elip $(E)$ đều là ảnh của điểm $N(u_0; \frac{v_0}{k})$ thuộc đường tròn $(C)$.
Vậy $f$ biến đường tròn $(C)$ thành elip $(E)$.
Chú ý
Phép biến hình $f$ trong Ví dụ 2 được gọi là phép co về trục hay dãn xa trục Ox nếu $k$ tương ứng là nhỏ hơn hay lớn hơn 1.
Các phép co, dãn biến đường tròn thành elip và biến elip thành elip hoặc đường tròn. Nhiều phần mềm vẽ hình và xử lí hình ảnh có sử dụng phép co dãn. Chẳng hạn, trên một số phần mềm, để vẽ đường tròn, ta lại bắt đầu với một elip và sau đó điều chỉnh để hình chữ nhật cơ sở trở thành hình vuông (giữ nguyên một chiều của hình chữ nhật, chỉ điều chỉnh chiều còn lại).
Hình 1.3. Vẽ đường tròn trên Whiteboard bằng cách bắt đầu với elip
Vận dụng. Quan sát ba tấm ảnh hoa hồng ở Hình 1.4, hãy cho biết hình nào giống ảnh của hình ở giữa qua một phép co về trục.
Hình 1.4
BÀI TẬP
1.1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm $I(1; 2)$. Xét phép biến hình $f$ biến điểm $I$ thành điểm $I$ và biến mỗi điểm $M$ khác $I$ thành điểm $M'$ sao cho $I$ là trung điểm của $MM'$. Tìm toạ độ ảnh của điểm $A(3; -2)$ qua phép biến hình $f$.
1.2. Trong bảng bên quan sát quy luật điền các cặp $(A, A'), (B, B'), (C, C'), ...$, từ đó điền các kí hiệu $N', P', Q', R', S'$ vào các vị trí thích hợp.
P, L', N, M'
R, K, S, I', E'
B, H, G, A', C
F', D, D', F
C', A, G', H', B'
E, I, K'
M, L, Q
Phép biến hình $f$ trong Ví dụ 2 được gọi là phép co về trục hay dãn xa trục Ox nếu $k$ tương ứng là nhỏ hơn hay lớn hơn 1.
Các phép co, dãn biến đường tròn thành elip và biến elip thành elip hoặc đường tròn. Nhiều phần mềm vẽ hình và xử lí hình ảnh có sử dụng phép co dãn. Chẳng hạn, trên một số phần mềm, để vẽ đường tròn, ta lại bắt đầu với một elip và sau đó điều chỉnh để hình chữ nhật cơ sở trở thành hình vuông (giữ nguyên một chiều của hình chữ nhật, chỉ điều chỉnh chiều còn lại).
Hình 1.3. Vẽ đường tròn trên Whiteboard bằng cách bắt đầu với elip
Vận dụng. Quan sát ba tấm ảnh hoa hồng ở Hình 1.4, hãy cho biết hình nào giống ảnh của hình ở giữa qua một phép co về trục.
Hình 1.4
BÀI TẬP
1.1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm $I(1; 2)$. Xét phép biến hình $f$ biến điểm $I$ thành điểm $I$ và biến mỗi điểm $M$ khác $I$ thành điểm $M'$ sao cho $I$ là trung điểm của $MM'$. Tìm toạ độ ảnh của điểm $A(3; -2)$ qua phép biến hình $f$.
1.2. Trong bảng bên quan sát quy luật điền các cặp $(A, A'), (B, B'), (C, C'), ...$, từ đó điền các kí hiệu $N', P', Q', R', S'$ vào các vị trí thích hợp.
P, L', N, M'
R, K, S, I', E'
B, H, G, A', C
F', D, D', F
C', A, G', H', B'
E, I, K'
M, L, Q
Bài 2. Phép tịnh tiến
THUẬT NGỮ
Phép tịnh tiến
Vector tịnh tiến
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết phép tịnh tiến và các tính chất của phép tịnh tiến.
Xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, tam giác, đường tròn qua phép tịnh tiến.
Vận dụng phép tịnh tiến trong đồ hoạ và trong một số vấn đề thực tiễn.
Khi diễu hành, để đội hình được giữ vững, ở mỗi bước, những người tham gia cần tiến đều nhau về cùng một hướng. Điều này có gì liên quan tới Toán học?
Khối hồng kì trong Đại lễ kỉ niệm 1000 năm Thăng Long – Hà Nội (Ảnh: qdnd.vn)
1. PHÉP TỊNH TIẾN
HĐ1. Ở mỗi bước của đội hình diễu hành, gọi vector dịch chuyển của mỗi người tham gia là vector có điểm gốc và điểm ngọn tương ứng là vị trí trước và sau khi bước của người đó. Để giữ vững đội hình, ở mỗi bước, các vector dịch chuyển của những người tham gia cần có mối quan hệ gì với nhau?
Cho vector $\vec{u}$. Phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thành điểm $M'$ sao cho $\overrightarrow{MM'} = \vec{u}$ gọi là phép tịnh tiến theo $\vec{u}$, kí hiệu $T_{\vec{u}}$. Vector $\vec{u}$ được gọi là vector tịnh tiến.
Chú ý. Phép tịnh tiến theo vector $\vec{0}$ là phép đồng nhất.
Nếu phép tịnh tiến $T_{\vec{u}}$ biến điểm $M$ thành điểm $M'$ thì phép tịnh tiến $T_{-\vec{u}}$ biến điểm $M'$ thành điểm nào?
THUẬT NGỮ
Phép tịnh tiến
Vector tịnh tiến
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết phép tịnh tiến và các tính chất của phép tịnh tiến.
Xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, tam giác, đường tròn qua phép tịnh tiến.
Vận dụng phép tịnh tiến trong đồ hoạ và trong một số vấn đề thực tiễn.
Khi diễu hành, để đội hình được giữ vững, ở mỗi bước, những người tham gia cần tiến đều nhau về cùng một hướng. Điều này có gì liên quan tới Toán học?
Khối hồng kì trong Đại lễ kỉ niệm 1000 năm Thăng Long – Hà Nội (Ảnh: qdnd.vn)
1. PHÉP TỊNH TIẾN
HĐ1. Ở mỗi bước của đội hình diễu hành, gọi vector dịch chuyển của mỗi người tham gia là vector có điểm gốc và điểm ngọn tương ứng là vị trí trước và sau khi bước của người đó. Để giữ vững đội hình, ở mỗi bước, các vector dịch chuyển của những người tham gia cần có mối quan hệ gì với nhau?
Cho vector $\vec{u}$. Phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thành điểm $M'$ sao cho $\overrightarrow{MM'} = \vec{u}$ gọi là phép tịnh tiến theo $\vec{u}$, kí hiệu $T_{\vec{u}}$. Vector $\vec{u}$ được gọi là vector tịnh tiến.
Chú ý. Phép tịnh tiến theo vector $\vec{0}$ là phép đồng nhất.
Nếu phép tịnh tiến $T_{\vec{u}}$ biến điểm $M$ thành điểm $M'$ thì phép tịnh tiến $T_{-\vec{u}}$ biến điểm $M'$ thành điểm nào?
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xác định phép tịnh tiến biến điểm $A(1; 2)$ thành điểm $A'(2; 5)$.
Giải
Giả sử phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{u}$ biến điểm $A(1; 2)$ thành $A'(2; 5)$. Khi đó $\overrightarrow{AA'} = \vec{u}$.
Mặt khác, $\overrightarrow{AA'} = (1; 3)$ nên $\vec{u} = (1; 3)$. Vậy phép tịnh tiến biến điểm $A(1; 2)$ thành điểm $A'(2; 5)$ là phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{u} = (1; 3)$.
Hình 1.6
Luyện tập 1. Trong Hình 1.6, tìm ảnh của các điểm $M, N, P, Q, B$ qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{AB}$.
Vận dụng 1. Bạn Hùng tham gia vào một khối diễu hành. Trong khi diễu hành, mỗi bước Hùng tiến về hướng đông 30 cm. Để giữ vững đội hình, sau mỗi bước, tất cả mọi người tham gia trong khối diễu hành của Hùng cần dời tới vị trí mới là ảnh của vị trí cũ qua phép biến hình nào?
2. TÍNH CHẤT
HD2. Phép tịnh tiến $T_{\vec{u}}$ biến $M$ thành $M'$, $N$ thành $N'$ (H.1.7).
a) Có nhận xét gì về $\overrightarrow{MM'} + \overrightarrow{M'N}$ và $\overrightarrow{M'N} + \overrightarrow{NN'}$?
b) Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{M'N'}$.
Hình 1.7
Nếu phép tịnh tiến biến các điểm $M, N$ tương ứng thành các điểm $M', N'$ thì $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{M'N'}$.
Vậy phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm.
Từ tính chất trên, ta có thể rút ra:
Phép tịnh tiến biến:
Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;
Tam giác thành tam giác bằng nó;
Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính và có tâm là ảnh của tâm;
Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó;
Tia thành tia;
Góc thành góc bằng nó;
Đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
Hình 1.8
Giải
Giả sử phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{u}$ biến điểm $A(1; 2)$ thành $A'(2; 5)$. Khi đó $\overrightarrow{AA'} = \vec{u}$.
Mặt khác, $\overrightarrow{AA'} = (1; 3)$ nên $\vec{u} = (1; 3)$. Vậy phép tịnh tiến biến điểm $A(1; 2)$ thành điểm $A'(2; 5)$ là phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{u} = (1; 3)$.
Hình 1.6
Luyện tập 1. Trong Hình 1.6, tìm ảnh của các điểm $M, N, P, Q, B$ qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{AB}$.
Vận dụng 1. Bạn Hùng tham gia vào một khối diễu hành. Trong khi diễu hành, mỗi bước Hùng tiến về hướng đông 30 cm. Để giữ vững đội hình, sau mỗi bước, tất cả mọi người tham gia trong khối diễu hành của Hùng cần dời tới vị trí mới là ảnh của vị trí cũ qua phép biến hình nào?
2. TÍNH CHẤT
HD2. Phép tịnh tiến $T_{\vec{u}}$ biến $M$ thành $M'$, $N$ thành $N'$ (H.1.7).
a) Có nhận xét gì về $\overrightarrow{MM'} + \overrightarrow{M'N}$ và $\overrightarrow{M'N} + \overrightarrow{NN'}$?
b) Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{M'N'}$.
Hình 1.7
Nếu phép tịnh tiến biến các điểm $M, N$ tương ứng thành các điểm $M', N'$ thì $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{M'N'}$.
Vậy phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm.
Từ tính chất trên, ta có thể rút ra:
Phép tịnh tiến biến:
Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;
Tam giác thành tam giác bằng nó;
Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính và có tâm là ảnh của tâm;
Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó;
Tia thành tia;
Góc thành góc bằng nó;
Đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
Hình 1.8
Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$ và $M, N, P$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $BC, CA, AB$.
Tìm ảnh của tam giác $BMP$ qua các phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{BM}}$ và $T_{\overrightarrow{BP}}$.
Giải (H.1.9)
Vì $\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{PN} = \overrightarrow{BM}$ nên phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{BM}}$ biến các điểm $B, M, P$ tương ứng thành $M, C, N$. Do đó, $T_{\overrightarrow{BM}}$ biến tam giác $BMP$ thành tam giác $MCN$.
Vì $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{PA} = \overrightarrow{BP}$ nên phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{BP}}$ biến các điểm $B, M, P$ tương ứng thành $P, N, A$. Do đó, $T_{\overrightarrow{BP}}$ biến tam giác $BMP$ thành tam giác $PNA$.
Hình 1.9
Luyện tập 2. Cho đường tròn $(O; R)$ và điểm $O'$ khác điểm $O$. Với mỗi điểm $M$ thuộc $(O; R)$ sao cho $O, O', M$ không thẳng hàng, vẽ hình bình hành $MOO'M'$. Hỏi khi $M$ thay đổi trên $(O; R)$ thì $M'$ thay đổi trên đường nào?
Vận dụng 2. Trong việc lát mặt phẳng bởi các tam giác đều bằng nhau như được thể hiện trong Hình 1.10, phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{u}$ có biến mỗi viên gạch màu xanh thành một viên gạch màu xanh, mỗi viên gạch màu đỏ thành một viên gạch màu đỏ hay không?
Hình 1.10
BÀI TẬP
1.3. Cho $\vec{u}$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$. Hỏi phép tịnh tiến $T_{\vec{u}}$ biến $\Delta$ thành đường thẳng nào?
1.4. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường tròn $(C): (x-1)^2 + (y+2)^2 = 25$ và vectơ $\vec{u} = (3; 4)$.
a) Xác định ảnh của tâm đường tròn $(C)$ qua phép tịnh tiến $T_{\vec{u}}$.
b) Viết phương trình đường tròn $(C')$ là ảnh của $(C)$ qua $T_{\vec{u}}$.
1.5. Trong việc lát sàn nhà như Hình 1.11, viên gạch ở hàng dọc thứ 4 từ trái sang và hàng ngang thứ 2 từ dưới lên là ảnh của viên gạch ở góc dưới bên trái qua phép tịnh tiến theo vectơ nào? (Gợi ý: Tính vectơ tịnh tiến đó theo hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ trên hình vẽ).
Hình 1.11
Tìm ảnh của tam giác $BMP$ qua các phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{BM}}$ và $T_{\overrightarrow{BP}}$.
Giải (H.1.9)
Vì $\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{PN} = \overrightarrow{BM}$ nên phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{BM}}$ biến các điểm $B, M, P$ tương ứng thành $M, C, N$. Do đó, $T_{\overrightarrow{BM}}$ biến tam giác $BMP$ thành tam giác $MCN$.
Vì $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{PA} = \overrightarrow{BP}$ nên phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{BP}}$ biến các điểm $B, M, P$ tương ứng thành $P, N, A$. Do đó, $T_{\overrightarrow{BP}}$ biến tam giác $BMP$ thành tam giác $PNA$.
Hình 1.9
Luyện tập 2. Cho đường tròn $(O; R)$ và điểm $O'$ khác điểm $O$. Với mỗi điểm $M$ thuộc $(O; R)$ sao cho $O, O', M$ không thẳng hàng, vẽ hình bình hành $MOO'M'$. Hỏi khi $M$ thay đổi trên $(O; R)$ thì $M'$ thay đổi trên đường nào?
Vận dụng 2. Trong việc lát mặt phẳng bởi các tam giác đều bằng nhau như được thể hiện trong Hình 1.10, phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{u}$ có biến mỗi viên gạch màu xanh thành một viên gạch màu xanh, mỗi viên gạch màu đỏ thành một viên gạch màu đỏ hay không?
Hình 1.10
BÀI TẬP
1.3. Cho $\vec{u}$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$. Hỏi phép tịnh tiến $T_{\vec{u}}$ biến $\Delta$ thành đường thẳng nào?
1.4. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường tròn $(C): (x-1)^2 + (y+2)^2 = 25$ và vectơ $\vec{u} = (3; 4)$.
a) Xác định ảnh của tâm đường tròn $(C)$ qua phép tịnh tiến $T_{\vec{u}}$.
b) Viết phương trình đường tròn $(C')$ là ảnh của $(C)$ qua $T_{\vec{u}}$.
1.5. Trong việc lát sàn nhà như Hình 1.11, viên gạch ở hàng dọc thứ 4 từ trái sang và hàng ngang thứ 2 từ dưới lên là ảnh của viên gạch ở góc dưới bên trái qua phép tịnh tiến theo vectơ nào? (Gợi ý: Tính vectơ tịnh tiến đó theo hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ trên hình vẽ).
Hình 1.11
Bài 3. Phép đối xứng trục
THUẬT NGỮ
Phép đối xứng trục
Trục đối xứng
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết phép đối xứng trục và các tính chất của phép đối xứng trục.
Xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, tam giác, đường tròn qua phép đối xứng trục.
Vận dụng phép đối xứng trục trong đồ hoạ và trong một số vấn đề thực tiễn.
Trong tự nhiên, cuộc sống, Toán học, Kiến trúc và Hội hoạ, ta bắt gặp nhiều hình ảnh cân đối. Sự cân đối có thể mang lại vẻ đẹp, làm nên sự vững chắc và nhiều điều ý nghĩa khác. Ở lớp 6, ta đã biết nhận ra các hình ảnh hai chiều có trục đối xứng. Bài học này cho phép ta diễn đạt chính xác và rõ ràng hơn về chúng.
Nhà Rông Tây Nguyên
(Ảnh: dantocmiennui.vn)
1. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
HĐ 1. Cầu Ponte Sisto in hình dưới dòng sông Tiber, tạo nên một hình ảnh có tính đối xứng trục.
a) Hãy chỉ ra trục đối xứng của hình ảnh đó.
b) Có thể đếm được bao nhiêu hình bóng điện dưới dòng sông? Mỗi hình đó là ảnh dưới sông của bóng điện nào trên cầu?
Cầu Ponte Sisto ở Thủ đô Rome của nước Ý
Cho đường thẳng $d$. Phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thuộc $d$ thành chính nó và biến mỗi điểm $M$ không thuộc $d$ thành điểm $M'$ sao cho $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $MM'$ được gọi là phép đối xứng trục $d$, kí hiệu $\text{Đ}_d$.
Hình 1.12
THUẬT NGỮ
Phép đối xứng trục
Trục đối xứng
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết phép đối xứng trục và các tính chất của phép đối xứng trục.
Xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, tam giác, đường tròn qua phép đối xứng trục.
Vận dụng phép đối xứng trục trong đồ hoạ và trong một số vấn đề thực tiễn.
Trong tự nhiên, cuộc sống, Toán học, Kiến trúc và Hội hoạ, ta bắt gặp nhiều hình ảnh cân đối. Sự cân đối có thể mang lại vẻ đẹp, làm nên sự vững chắc và nhiều điều ý nghĩa khác. Ở lớp 6, ta đã biết nhận ra các hình ảnh hai chiều có trục đối xứng. Bài học này cho phép ta diễn đạt chính xác và rõ ràng hơn về chúng.
Nhà Rông Tây Nguyên
(Ảnh: dantocmiennui.vn)
1. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
HĐ 1. Cầu Ponte Sisto in hình dưới dòng sông Tiber, tạo nên một hình ảnh có tính đối xứng trục.
a) Hãy chỉ ra trục đối xứng của hình ảnh đó.
b) Có thể đếm được bao nhiêu hình bóng điện dưới dòng sông? Mỗi hình đó là ảnh dưới sông của bóng điện nào trên cầu?
Cầu Ponte Sisto ở Thủ đô Rome của nước Ý
Cho đường thẳng $d$. Phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thuộc $d$ thành chính nó và biến mỗi điểm $M$ không thuộc $d$ thành điểm $M'$ sao cho $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $MM'$ được gọi là phép đối xứng trục $d$, kí hiệu $\text{Đ}_d$.
Hình 1.12
Chú ý
Nếu $M'$ là ảnh của $M$ qua $\mathfrak{D}_d$ thì $M$ cũng là ảnh của $M'$ qua $\mathfrak{D}_d$. Do đó, nếu hình $\mathscr{H}'$ là ảnh của hình $\mathscr{H}$ qua $\mathfrak{D}_d$ thì $\mathscr{H}$ cũng là ảnh của $\mathscr{H}'$ qua $\mathfrak{D}_d$, và ta nói $\mathscr{H}$ và $\mathscr{H}'$ đối xứng với nhau qua $d$ (H.1.13a).
Hình 1.13
Hình $\mathscr{H}$ nhận đường thẳng $d$ là trục đối xứng khi và chỉ khi $\mathfrak{D}_d$ biến $\mathscr{H}$ thành chính nó (H.1.13b).
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm toạ độ ảnh của các điểm $M(3; 4)$, $N(-1; 2)$, qua phép đối xứng trục $\Delta : x + 3y - 15 = 0$.
Giải
Toạ độ của điểm $M(3; 4)$ thoả mãn phương trình đường thẳng $\Delta$. Do đó, $M(3; 4)$ thuộc $\Delta$ và có ảnh qua phép đối xứng trục $\Delta$ chính là $M(3; 4)$.
Điểm $N(-1; 2)$ không thuộc $\Delta$. Gọi $N'$ là ảnh của $N$ qua phép đối xứng trục $\Delta$ (H.1.14). Do $\Delta$ là đường trung trực của đoạn thẳng $NN'$ nên trung điểm của đoạn thẳng $NN'$ thuộc $\Delta$ và đường thẳng $NN'$ vuông góc với $\Delta$.
Đường thẳng $NN'$ đi qua $N(-1; 2)$ và nhận vectơ pháp tuyến $\vec{u} = (1; 3)$ của $\Delta$ làm vectơ chỉ phương.
Do đó phương trình tham số của đường thẳng $NN'$ là
$$ \begin{cases} x = -1 + t \ y = 2 + 3t \end{cases} $$
Giả sử toạ độ của $N'$ là $(-1 + t; 2 + 3t)$.
Đoạn thẳng $NN'$ có trung điểm $I\left(\frac{-1+(-1+t)}{2}; \frac{2+(2+3t)}{2}\right)$ thuộc $\Delta$ nên
$$ \left(-1+\frac{t}{2}\right)+3\left(2+\frac{3t}{2}\right)-15=0 \Leftrightarrow t=2. \text{ Suy ra } N'(1; 8). $$
Vậy điểm $N(-1; 2)$ có ảnh qua phép đối xứng trục $\Delta$ là $N'(1; 8)$.
Hình 1.14
Luyện tập 1. Xét mặt phẳng toạ độ Oxy (H.1.15). Trong các khẳng định sau, chọn các khẳng định đúng.
a) Phép đối xứng trục Ox biến mỗi điểm $M(x_0; y_0)$ thành điểm có toạ độ $(x_0; -y_0)$.
b) Phép đối xứng trục Oy biến mỗi điểm $M(x_0; y_0)$ thành điểm có toạ độ $(-x_0; y_0)$.
c) Phép đối xứng trục Ox biến $A(1; 2)$ thành điểm $A'(-1; -2)$.
Hình 1.15
Nếu $M'$ là ảnh của $M$ qua $\mathfrak{D}_d$ thì $M$ cũng là ảnh của $M'$ qua $\mathfrak{D}_d$. Do đó, nếu hình $\mathscr{H}'$ là ảnh của hình $\mathscr{H}$ qua $\mathfrak{D}_d$ thì $\mathscr{H}$ cũng là ảnh của $\mathscr{H}'$ qua $\mathfrak{D}_d$, và ta nói $\mathscr{H}$ và $\mathscr{H}'$ đối xứng với nhau qua $d$ (H.1.13a).
Hình 1.13
Hình $\mathscr{H}$ nhận đường thẳng $d$ là trục đối xứng khi và chỉ khi $\mathfrak{D}_d$ biến $\mathscr{H}$ thành chính nó (H.1.13b).
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm toạ độ ảnh của các điểm $M(3; 4)$, $N(-1; 2)$, qua phép đối xứng trục $\Delta : x + 3y - 15 = 0$.
Giải
Toạ độ của điểm $M(3; 4)$ thoả mãn phương trình đường thẳng $\Delta$. Do đó, $M(3; 4)$ thuộc $\Delta$ và có ảnh qua phép đối xứng trục $\Delta$ chính là $M(3; 4)$.
Điểm $N(-1; 2)$ không thuộc $\Delta$. Gọi $N'$ là ảnh của $N$ qua phép đối xứng trục $\Delta$ (H.1.14). Do $\Delta$ là đường trung trực của đoạn thẳng $NN'$ nên trung điểm của đoạn thẳng $NN'$ thuộc $\Delta$ và đường thẳng $NN'$ vuông góc với $\Delta$.
Đường thẳng $NN'$ đi qua $N(-1; 2)$ và nhận vectơ pháp tuyến $\vec{u} = (1; 3)$ của $\Delta$ làm vectơ chỉ phương.
Do đó phương trình tham số của đường thẳng $NN'$ là
$$ \begin{cases} x = -1 + t \ y = 2 + 3t \end{cases} $$
Giả sử toạ độ của $N'$ là $(-1 + t; 2 + 3t)$.
Đoạn thẳng $NN'$ có trung điểm $I\left(\frac{-1+(-1+t)}{2}; \frac{2+(2+3t)}{2}\right)$ thuộc $\Delta$ nên
$$ \left(-1+\frac{t}{2}\right)+3\left(2+\frac{3t}{2}\right)-15=0 \Leftrightarrow t=2. \text{ Suy ra } N'(1; 8). $$
Vậy điểm $N(-1; 2)$ có ảnh qua phép đối xứng trục $\Delta$ là $N'(1; 8)$.
Hình 1.14
Luyện tập 1. Xét mặt phẳng toạ độ Oxy (H.1.15). Trong các khẳng định sau, chọn các khẳng định đúng.
a) Phép đối xứng trục Ox biến mỗi điểm $M(x_0; y_0)$ thành điểm có toạ độ $(x_0; -y_0)$.
b) Phép đối xứng trục Oy biến mỗi điểm $M(x_0; y_0)$ thành điểm có toạ độ $(-x_0; y_0)$.
c) Phép đối xứng trục Ox biến $A(1; 2)$ thành điểm $A'(-1; -2)$.
Hình 1.15
2. TÍNH CHẤT
HĐ2. Cho phép đối xứng trục $d$ biến $M$ thành $M'$, $N$ thành $N'$.
Xét hệ trục toạ độ $Oxy$ sao cho trục $Oy$ trùng với $d$ (H.1.16a).
Giả sử $M$ có toạ độ là $(x_1; y_1)$, $N$ có toạ độ là $(x_2; y_2)$.
a) Hãy cho biết toạ độ của $M', N'$.
b) Tính $MN^2$, $M'N'^2$ theo toạ độ của các điểm tương ứng.
c) So sánh độ dài các đoạn thẳng $MN, M'N'$.
Hình 1.16
Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm.
Từ tính chất trên, ta có thể rút ra:
Phép đối xứng trục biến:
Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;
Tam giác thành tam giác bằng nó;
Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính và có tâm là ảnh của tâm;
Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó;
Tia thành tia;
Góc thành góc bằng nó;
Đường thẳng thành đường thẳng.
Hình 1.17
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường tròn
$(C): x^2 + y^2 - 6x - 10y - 2 = 0$.
Viết phương trình đường tròn $(C')$ là ảnh của $(C)$ qua phép đối xứng trục $\Delta: x + 2y - 3 = 0$.
Giải
Ta có $(C): (x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 6^2$, nên $(C)$ có tâm $A(3; 5)$ và bán kính $R = 6$. Đường tròn ảnh $(C')$ có bán kính $R' = R = 6$ và có tâm $A'$ đối xứng với $A$ qua $\Delta$. Tương tự Ví dụ 1, ta tính được toạ độ của $A'$ là $(-1; -3)$. Vậy $(C')$ có phương trình là $(x + 1)^2 + (y + 3)^2 = 6^2$.
Luyện tập 2. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường thẳng $d: 3x - y - 1 = 0$. Viết phương trình đường thẳng $d'$ là ảnh của đường thẳng $d$ qua phép đối xứng trục $Ox$.
HĐ2. Cho phép đối xứng trục $d$ biến $M$ thành $M'$, $N$ thành $N'$.
Xét hệ trục toạ độ $Oxy$ sao cho trục $Oy$ trùng với $d$ (H.1.16a).
Giả sử $M$ có toạ độ là $(x_1; y_1)$, $N$ có toạ độ là $(x_2; y_2)$.
a) Hãy cho biết toạ độ của $M', N'$.
b) Tính $MN^2$, $M'N'^2$ theo toạ độ của các điểm tương ứng.
c) So sánh độ dài các đoạn thẳng $MN, M'N'$.
Hình 1.16
Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm.
Từ tính chất trên, ta có thể rút ra:
Phép đối xứng trục biến:
Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;
Tam giác thành tam giác bằng nó;
Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính và có tâm là ảnh của tâm;
Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó;
Tia thành tia;
Góc thành góc bằng nó;
Đường thẳng thành đường thẳng.
Hình 1.17
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường tròn
$(C): x^2 + y^2 - 6x - 10y - 2 = 0$.
Viết phương trình đường tròn $(C')$ là ảnh của $(C)$ qua phép đối xứng trục $\Delta: x + 2y - 3 = 0$.
Giải
Ta có $(C): (x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 6^2$, nên $(C)$ có tâm $A(3; 5)$ và bán kính $R = 6$. Đường tròn ảnh $(C')$ có bán kính $R' = R = 6$ và có tâm $A'$ đối xứng với $A$ qua $\Delta$. Tương tự Ví dụ 1, ta tính được toạ độ của $A'$ là $(-1; -3)$. Vậy $(C')$ có phương trình là $(x + 1)^2 + (y + 3)^2 = 6^2$.
Luyện tập 2. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường thẳng $d: 3x - y - 1 = 0$. Viết phương trình đường thẳng $d'$ là ảnh của đường thẳng $d$ qua phép đối xứng trục $Ox$.
Ví dụ 3. Cho đường thẳng $\Delta$ và hai điểm $A, B$ không thuộc đường thẳng đó. Tìm điểm $M$ thuộc $\Delta$ để $MA + MB$ nhỏ nhất.
Giải
Trường hợp 1. $A$ và $B$ thuộc hai nửa mặt phẳng bờ $\Delta$ (H.1.18a). Khi đó đoạn thẳng $AB$ và đường thẳng $\Delta$ giao nhau tại một điểm.
Ta có $MA + MB \ge AB$, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $M$ thuộc đoạn thẳng $AB$. Mặt khác $M$ thuộc $\Delta$, do đó, $MA + MB$ nhỏ nhất bằng $AB$, khi $M$ là giao điểm của $\Delta$ và đoạn thẳng $AB$.
Hình 1.18a
Trường hợp 2. $A$ và $B$ thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ $\Delta$ (H.1.18b). Gọi $A'$ là điểm đối xứng với $A$ qua $\Delta$. Khi đó $A'$ và $B$ thuộc hai nửa mặt phẳng bờ $\Delta$ và $MA + MB = MA' + MB$. Mặt khác, theo trường hợp 1, ta có $MA' + MB$ nhỏ nhất bằng $A'B$, khi $M$ là giao điểm của $\Delta$ và đoạn thẳng $A'B$. Do đó, $MA + MB$ nhỏ nhất bằng $A'B$, khi $M$ là giao điểm của $\Delta$ và đoạn thẳng $A'B$.
Hình 1.18b
Luyện tập 3. Cho đường thẳng $\Delta$ và hai điểm $A, B$, sao cho $\Delta$ không phải là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$. Điểm $M$ thay đổi trên $\Delta$ ($M$ không thuộc đường thẳng $AB$). Gọi $M'$ là điểm sao cho $A, B, M, M'$ là 4 đỉnh của một hình thang cân nhận $AB$ là một cạnh đáy. Chứng minh rằng $M'$ thay đổi trên một đường thẳng cố định.
Vận dụng. Bằng quan sát, hãy cho biết, trong hai hình ảnh bên, hình nào có trục đối xứng.
BÀI TẬP
1.6. Cho hai điểm phân biệt $A$ và $B$. Xác định phép đối xứng trục biến điểm $A$ thành điểm $B$.
1.7. Cho hai đường tròn không đồng tâm, nhưng có cùng bán kính $(O_1; R)$ và $(O_2; R)$. Xác định phép đối xứng trục biến $(O_1; R)$ thành $(O_2; R)$.
1.8. Cho đường thẳng $d$ và hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho đường thẳng $AB$ không vuông góc với $d$. Gọi $M, N$ tương ứng là các điểm đối xứng với $A, B$ qua $d$. Hỏi $A, B, M, N$ có là 4 đỉnh của một hình thang cân hay không?
1.9. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho $\Delta: x + 2y - 1 = 0$. Viết phương trình đường thẳng $d$ đối xứng với $\Delta$ qua trục $Ox$.
1.10. Dùng com-pa, thước kẻ, bút, hãy vẽ lại các nét thẳng và tròn trong Hình 1.19.
Hình 1.19
Giải
Trường hợp 1. $A$ và $B$ thuộc hai nửa mặt phẳng bờ $\Delta$ (H.1.18a). Khi đó đoạn thẳng $AB$ và đường thẳng $\Delta$ giao nhau tại một điểm.
Ta có $MA + MB \ge AB$, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $M$ thuộc đoạn thẳng $AB$. Mặt khác $M$ thuộc $\Delta$, do đó, $MA + MB$ nhỏ nhất bằng $AB$, khi $M$ là giao điểm của $\Delta$ và đoạn thẳng $AB$.
Hình 1.18a
Trường hợp 2. $A$ và $B$ thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ $\Delta$ (H.1.18b). Gọi $A'$ là điểm đối xứng với $A$ qua $\Delta$. Khi đó $A'$ và $B$ thuộc hai nửa mặt phẳng bờ $\Delta$ và $MA + MB = MA' + MB$. Mặt khác, theo trường hợp 1, ta có $MA' + MB$ nhỏ nhất bằng $A'B$, khi $M$ là giao điểm của $\Delta$ và đoạn thẳng $A'B$. Do đó, $MA + MB$ nhỏ nhất bằng $A'B$, khi $M$ là giao điểm của $\Delta$ và đoạn thẳng $A'B$.
Hình 1.18b
Luyện tập 3. Cho đường thẳng $\Delta$ và hai điểm $A, B$, sao cho $\Delta$ không phải là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$. Điểm $M$ thay đổi trên $\Delta$ ($M$ không thuộc đường thẳng $AB$). Gọi $M'$ là điểm sao cho $A, B, M, M'$ là 4 đỉnh của một hình thang cân nhận $AB$ là một cạnh đáy. Chứng minh rằng $M'$ thay đổi trên một đường thẳng cố định.
Vận dụng. Bằng quan sát, hãy cho biết, trong hai hình ảnh bên, hình nào có trục đối xứng.
BÀI TẬP
1.6. Cho hai điểm phân biệt $A$ và $B$. Xác định phép đối xứng trục biến điểm $A$ thành điểm $B$.
1.7. Cho hai đường tròn không đồng tâm, nhưng có cùng bán kính $(O_1; R)$ và $(O_2; R)$. Xác định phép đối xứng trục biến $(O_1; R)$ thành $(O_2; R)$.
1.8. Cho đường thẳng $d$ và hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho đường thẳng $AB$ không vuông góc với $d$. Gọi $M, N$ tương ứng là các điểm đối xứng với $A, B$ qua $d$. Hỏi $A, B, M, N$ có là 4 đỉnh của một hình thang cân hay không?
1.9. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho $\Delta: x + 2y - 1 = 0$. Viết phương trình đường thẳng $d$ đối xứng với $\Delta$ qua trục $Ox$.
1.10. Dùng com-pa, thước kẻ, bút, hãy vẽ lại các nét thẳng và tròn trong Hình 1.19.
Hình 1.19
Bài 4. Phép quay và phép đối xứng tâm
THUẬT NGỮ
Phép quay
Góc quay
Tâm quay
Phép đối xứng tâm
Tâm đối xứng
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết phép quay, phép đối xứng tâm và các tính chất của chúng.
Xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, tam giác, đường tròn qua phép quay, phép đối xứng tâm.
Vận dụng phép quay, phép đối xứng tâm trong đồ hoạ và trong một số vấn đề thực tiễn.
Bàn ăn tròn đông người thường được thiết kế sao cho mặt bàn tròn nơi đặt đồ ăn có thể quay quanh tâm của nó. Nhờ đó, đồ ăn trên bàn có thể đi tới được gần từng người, mà vị trí đặt mặt bàn không bị dịch chuyển. Cơ sở toán học nào cho phép thực hiện điều đó?
Mặt bàn tròn nơi đặt đồ ăn (hình tròn nhỏ) có thể quay quanh tâm của nó.
1. PHÉP QUAY
HĐ1. Ở mặt bàn ăn quay nói trên, trong một lần quay, nếu một đĩa thức ăn trên bàn được quay một phần tư vòng tới vị trí mới, thì mỗi đĩa không đặt ở chính giữa bàn có được quay một phần tư vòng tới vị trí mới hay không?
Cho điểm $O$ và góc lượng giác $\alpha$. Phép biến hình biến điểm $O$ thành điểm $O$ và biến mỗi điểm $M$ khác $O$ thành điểm $M'$ sao cho $OM' = OM$ và các góc lượng giác $(OM, OM') = \alpha$ gọi là phép quay tâm $O$, góc quay $\alpha$, kí hiệu $Q_{(O, \alpha)}$. Điểm $O$ gọi là tâm quay, $\alpha$ gọi là góc quay của phép quay đó.
Hình 1.20a
Phép quay với góc quay bằng $0$ có gì đặc biệt?
Chú ý
Chiều dương, chiều âm của đường tròn lượng giác được quy ước tương ứng là ngược chiều, cùng chiều quay của kim đồng hồ (H.1.20b).
Hai phép quay có cùng tâm và có hai góc quay sai khác nhau bội của $2\pi$ (hay $360^\circ$) thì trùng nhau.
Hình 1.20b
THUẬT NGỮ
Phép quay
Góc quay
Tâm quay
Phép đối xứng tâm
Tâm đối xứng
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết phép quay, phép đối xứng tâm và các tính chất của chúng.
Xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, tam giác, đường tròn qua phép quay, phép đối xứng tâm.
Vận dụng phép quay, phép đối xứng tâm trong đồ hoạ và trong một số vấn đề thực tiễn.
Bàn ăn tròn đông người thường được thiết kế sao cho mặt bàn tròn nơi đặt đồ ăn có thể quay quanh tâm của nó. Nhờ đó, đồ ăn trên bàn có thể đi tới được gần từng người, mà vị trí đặt mặt bàn không bị dịch chuyển. Cơ sở toán học nào cho phép thực hiện điều đó?
Mặt bàn tròn nơi đặt đồ ăn (hình tròn nhỏ) có thể quay quanh tâm của nó.
1. PHÉP QUAY
HĐ1. Ở mặt bàn ăn quay nói trên, trong một lần quay, nếu một đĩa thức ăn trên bàn được quay một phần tư vòng tới vị trí mới, thì mỗi đĩa không đặt ở chính giữa bàn có được quay một phần tư vòng tới vị trí mới hay không?
Cho điểm $O$ và góc lượng giác $\alpha$. Phép biến hình biến điểm $O$ thành điểm $O$ và biến mỗi điểm $M$ khác $O$ thành điểm $M'$ sao cho $OM' = OM$ và các góc lượng giác $(OM, OM') = \alpha$ gọi là phép quay tâm $O$, góc quay $\alpha$, kí hiệu $Q_{(O, \alpha)}$. Điểm $O$ gọi là tâm quay, $\alpha$ gọi là góc quay của phép quay đó.
Hình 1.20a
Phép quay với góc quay bằng $0$ có gì đặc biệt?
Chú ý
Chiều dương, chiều âm của đường tròn lượng giác được quy ước tương ứng là ngược chiều, cùng chiều quay của kim đồng hồ (H.1.20b).
Hai phép quay có cùng tâm và có hai góc quay sai khác nhau bội của $2\pi$ (hay $360^\circ$) thì trùng nhau.
Hình 1.20b
Ví dụ 1. Trong Hình 1.21, $ABCD$ là hình vuông có tâm $O$. Hãy chỉ ra ảnh của điểm $A$ qua các phép quay $Q_{\left(O, \frac{\pi}{2}\right)}, Q_{\left(O, -\frac{\pi}{2}\right)}, Q_{(O, \pi)}, Q_{\left(O, \frac{3\pi}{2}\right)}$.
Giải
Vì $OA = OB$ và góc quay $\frac{\pi}{2}$ nên phép quay $Q_{\left(O, \frac{\pi}{2}\right)}$ biến điểm $A$ thành điểm $B$.
Vì $OA = OD$ và góc quay $-\frac{\pi}{2}$ nên phép quay $Q_{\left(O, -\frac{\pi}{2}\right)}$ biến điểm $A$ thành điểm $D$.
Tương tự, phép quay $Q_{(O, \pi)}$ biến điểm $A$ thành điểm $C$, phép quay $Q_{\left(O, \frac{3\pi}{2}\right)}$ biến điểm $A$ thành điểm $D$.
Hình 1.21
Luyện tập 1. Trong Hình 1.22, tam giác $ABC$ đều.
Hãy chỉ ra ảnh của điểm $B$ qua phép quay $Q_{(A, 60^\circ)}$.
Gọi $D$ là ảnh của $C$ qua phép quay $Q_{(A, 60^\circ)}$.
Hỏi $B$ và $D$ có mối quan hệ gì đối với đường thẳng $AC$?
Hình 1.22
2. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP QUAY
HD2. Khi mặt bàn ăn quay, mặc dù các đĩa thức ăn trên bàn đều dịch chuyển tới vị trí mới nhưng khoảng cách giữa hai đĩa thức ăn có bị thay đổi hay không?
Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Từ tính chất trên, ta có thể rút ra:
Phép quay biến:
Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;
Tam giác thành tam giác bằng nó;
Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính và có tâm là ảnh của tâm;
Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó;
Tia thành tia;
Góc thành góc bằng nó;
Đường thẳng thành đường thẳng.
Giải
Vì $OA = OB$ và góc quay $\frac{\pi}{2}$ nên phép quay $Q_{\left(O, \frac{\pi}{2}\right)}$ biến điểm $A$ thành điểm $B$.
Vì $OA = OD$ và góc quay $-\frac{\pi}{2}$ nên phép quay $Q_{\left(O, -\frac{\pi}{2}\right)}$ biến điểm $A$ thành điểm $D$.
Tương tự, phép quay $Q_{(O, \pi)}$ biến điểm $A$ thành điểm $C$, phép quay $Q_{\left(O, \frac{3\pi}{2}\right)}$ biến điểm $A$ thành điểm $D$.
Hình 1.21
Luyện tập 1. Trong Hình 1.22, tam giác $ABC$ đều.
Hãy chỉ ra ảnh của điểm $B$ qua phép quay $Q_{(A, 60^\circ)}$.
Gọi $D$ là ảnh của $C$ qua phép quay $Q_{(A, 60^\circ)}$.
Hỏi $B$ và $D$ có mối quan hệ gì đối với đường thẳng $AC$?
Hình 1.22
2. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP QUAY
HD2. Khi mặt bàn ăn quay, mặc dù các đĩa thức ăn trên bàn đều dịch chuyển tới vị trí mới nhưng khoảng cách giữa hai đĩa thức ăn có bị thay đổi hay không?
Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Từ tính chất trên, ta có thể rút ra:
Phép quay biến:
Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;
Tam giác thành tam giác bằng nó;
Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính và có tâm là ảnh của tâm;
Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó;
Tia thành tia;
Góc thành góc bằng nó;
Đường thẳng thành đường thẳng.
Hình 1.24
Ví dụ 2. Trong Hình 1.25, $ABC$ là tam giác đều, có tâm $O$. Tìm ảnh của đoạn thẳng $AB$ và ảnh của tam giác $ABC$ qua phép quay $Q_{(O, 120^{\circ})}$.
Giải
Phép quay $Q_{(O, 120^{\circ})}$, biến $A$ thành $B$, biến $B$ thành $C$, biến $C$ thành $A$. Do đó, phép quay $Q_{(O, 120^{\circ})}$ biến đoạn thẳng $AB$ thành đoạn thẳng $BC$ và biến tam giác $ABC$ thành chính nó.
Luyện tập 2. Trong Hình 1.26, $ABCDEF$ là lục giác đều có tâm $O$. Tìm ảnh của tam giác $ACE$ qua các phép quay $Q_{\left(O, \frac{\pi}{3}\right)}, Q_{\left(O, -\frac{2\pi}{3}\right)}$.
Vận dụng 1. Trong tình huống mở đầu, mặt bàn tròn đặt đồ ăn được thiết kế để có thể quay quanh tâm mặt bàn. Coi mặt bàn tròn là hình tròn tâm $O$, bán kính $R$. Hỏi, khi thực hiện phép quay tâm $O$ với góc quay $\alpha$ bất kì thì:
– Điểm $O$ biến thành điểm nào?
– Đường tròn $(O, R)$ biến thành đường tròn nào?
– Vị trí của mặt bàn có bị dịch chuyển hay không?
3. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
HD3. Trong Hình 1.27, hãy chỉ ra ảnh của các điểm $A, B, C, M, N, P$ qua phép quay tâm $O$, góc quay $\pi$.
Phép biến hình biến điểm $O$ thành điểm $O$ và biến mỗi điểm $M$ khác $O$ thành điểm $M'$ sao cho $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $MM'$ được gọi là phép đối xứng tâm $O$, kí hiệu $\mathscr{D}_O$. Điểm $O$ được gọi là tâm đối xứng.
Ví dụ 2. Trong Hình 1.25, $ABC$ là tam giác đều, có tâm $O$. Tìm ảnh của đoạn thẳng $AB$ và ảnh của tam giác $ABC$ qua phép quay $Q_{(O, 120^{\circ})}$.
Giải
Phép quay $Q_{(O, 120^{\circ})}$, biến $A$ thành $B$, biến $B$ thành $C$, biến $C$ thành $A$. Do đó, phép quay $Q_{(O, 120^{\circ})}$ biến đoạn thẳng $AB$ thành đoạn thẳng $BC$ và biến tam giác $ABC$ thành chính nó.
Luyện tập 2. Trong Hình 1.26, $ABCDEF$ là lục giác đều có tâm $O$. Tìm ảnh của tam giác $ACE$ qua các phép quay $Q_{\left(O, \frac{\pi}{3}\right)}, Q_{\left(O, -\frac{2\pi}{3}\right)}$.
Vận dụng 1. Trong tình huống mở đầu, mặt bàn tròn đặt đồ ăn được thiết kế để có thể quay quanh tâm mặt bàn. Coi mặt bàn tròn là hình tròn tâm $O$, bán kính $R$. Hỏi, khi thực hiện phép quay tâm $O$ với góc quay $\alpha$ bất kì thì:
– Điểm $O$ biến thành điểm nào?
– Đường tròn $(O, R)$ biến thành đường tròn nào?
– Vị trí của mặt bàn có bị dịch chuyển hay không?
3. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
HD3. Trong Hình 1.27, hãy chỉ ra ảnh của các điểm $A, B, C, M, N, P$ qua phép quay tâm $O$, góc quay $\pi$.
Phép biến hình biến điểm $O$ thành điểm $O$ và biến mỗi điểm $M$ khác $O$ thành điểm $M'$ sao cho $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $MM'$ được gọi là phép đối xứng tâm $O$, kí hiệu $\mathscr{D}_O$. Điểm $O$ được gọi là tâm đối xứng.
Nhận xét
Phép đối xứng tâm $O$ chính là phép quay tâm $O$, góc quay $\pi$, do đó, nó có đầy đủ các tính chất của phép quay.
Nếu $M'$ là ảnh của $M$ qua $\mathcal{Đ}_O$ thì $M$ cũng là ảnh của $M'$ qua $\mathcal{Đ}_O$. Do đó, nếu hình $\mathcal{H}'$ là ảnh của hình $\mathcal{H}$ qua $\mathcal{Đ}_O$ thì $\mathcal{H}$ cũng là ảnh của $\mathcal{H}'$ qua $\mathcal{Đ}_O$, và ta nói $\mathcal{H}$ và $\mathcal{H}'$ đối xứng với nhau qua $O$ (H.1.29a).
$\mathcal{Đ}_O$ biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
Hình $\mathcal{H}$ nhận điểm $O$ là tâm đối xứng khi và chỉ khi $\mathcal{Đ}_O$ biến $\mathcal{H}$ thành chính nó (H.1.29b).
Hình 1.29a
Hình 1.29b
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta : x + 3y - 2 = 0$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta'$ đối xứng với đường thẳng $\Delta$ qua điểm $I(1; 2)$.
Giải
Lấy hai điểm $A(2; 0)$ và $B(-1; 1)$ thuộc đường thẳng $\Delta$. Gọi $A', B'$ tương ứng là các điểm đối xứng với $A, B$ qua $I(1; 2)$. Vì $\Delta'$ đối xứng với $\Delta$ qua $I(1; 2)$ nên $\Delta'$ đi qua $A', B'$.
Do $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AA'$ nên toạ độ $(x_{A'}; y_{A'})$ của $A'$ thoả mãn
$$ \begin{cases} 1 = \frac{2 + x_{A'}}{2} \ 2 = \frac{0 + y_{A'}}{2} \end{cases} \Rightarrow A'(0; 4). $$
Do $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $BB'$ nên toạ độ $(x_{B'}; y_{B'})$ của $B'$ thoả mãn
$$ \begin{cases} 1 = \frac{-1 + x_{B'}}{2} \ 2 = \frac{1 + y_{B'}}{2} \end{cases} \Rightarrow B'(3; 3). $$
Đường thẳng $\Delta'$ đi qua $A'(0; 4)$ và $B'(3; 3)$ nên nhận $\overrightarrow{A'B'} = (3; -1)$ là một vectơ chỉ phương. Do đó, $\vec{n} = (1; 3)$ là một vectơ pháp tuyến của $\Delta'$. Vậy $\Delta'$ có phương trình
$$ 1(x - 0) + 3(y - 4) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 12 = 0. $$
Luyện tập 3. Cho hình bình hành $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Tìm ảnh của đường thẳng $AB$ qua $\mathcal{Đ}_O$.
Phép đối xứng tâm $O$ chính là phép quay tâm $O$, góc quay $\pi$, do đó, nó có đầy đủ các tính chất của phép quay.
Nếu $M'$ là ảnh của $M$ qua $\mathcal{Đ}_O$ thì $M$ cũng là ảnh của $M'$ qua $\mathcal{Đ}_O$. Do đó, nếu hình $\mathcal{H}'$ là ảnh của hình $\mathcal{H}$ qua $\mathcal{Đ}_O$ thì $\mathcal{H}$ cũng là ảnh của $\mathcal{H}'$ qua $\mathcal{Đ}_O$, và ta nói $\mathcal{H}$ và $\mathcal{H}'$ đối xứng với nhau qua $O$ (H.1.29a).
$\mathcal{Đ}_O$ biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
Hình $\mathcal{H}$ nhận điểm $O$ là tâm đối xứng khi và chỉ khi $\mathcal{Đ}_O$ biến $\mathcal{H}$ thành chính nó (H.1.29b).
Hình 1.29a
Hình 1.29b
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta : x + 3y - 2 = 0$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta'$ đối xứng với đường thẳng $\Delta$ qua điểm $I(1; 2)$.
Giải
Lấy hai điểm $A(2; 0)$ và $B(-1; 1)$ thuộc đường thẳng $\Delta$. Gọi $A', B'$ tương ứng là các điểm đối xứng với $A, B$ qua $I(1; 2)$. Vì $\Delta'$ đối xứng với $\Delta$ qua $I(1; 2)$ nên $\Delta'$ đi qua $A', B'$.
Do $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AA'$ nên toạ độ $(x_{A'}; y_{A'})$ của $A'$ thoả mãn
$$ \begin{cases} 1 = \frac{2 + x_{A'}}{2} \ 2 = \frac{0 + y_{A'}}{2} \end{cases} \Rightarrow A'(0; 4). $$
Do $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $BB'$ nên toạ độ $(x_{B'}; y_{B'})$ của $B'$ thoả mãn
$$ \begin{cases} 1 = \frac{-1 + x_{B'}}{2} \ 2 = \frac{1 + y_{B'}}{2} \end{cases} \Rightarrow B'(3; 3). $$
Đường thẳng $\Delta'$ đi qua $A'(0; 4)$ và $B'(3; 3)$ nên nhận $\overrightarrow{A'B'} = (3; -1)$ là một vectơ chỉ phương. Do đó, $\vec{n} = (1; 3)$ là một vectơ pháp tuyến của $\Delta'$. Vậy $\Delta'$ có phương trình
$$ 1(x - 0) + 3(y - 4) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 12 = 0. $$
Luyện tập 3. Cho hình bình hành $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Tìm ảnh của đường thẳng $AB$ qua $\mathcal{Đ}_O$.
Vận dụng 2. Quan sát Hình 1.30, những phát biểu nào trong các phát biểu sau là đúng?
a) Hình vẽ nhận điểm $O$ (được tô đỏ) làm tâm đối xứng.
b) Một đường thẳng bất kì đi qua điểm $O$ sẽ chia hình vẽ thành hai nửa $\mathcal{A}$ và $\mathcal{B}$ giống nhau. Nếu thực hiện phép quay tâm $O$, góc quay $180^{\circ}$ thì nửa $\mathcal{A}$ biến thành nửa $\mathcal{B}$, tức là, $\mathcal{B}$ là ảnh của $\mathcal{A}$ qua một phép đối xứng tâm $O$.
c) Có thể chia hình vẽ thành bốn phần giống nhau.
Hình 1.30
BÀI TẬP
1.11. Trong Hình 1.31, $BAM$ và $CAN$ là các tam giác vuông cân tại $A$. Hãy chỉ ra một phép quay biến tam giác $ABC$ thành tam giác $AMN$.
Hình 1.31
1.12. Cho hình vuông $ABCD$ có tâm $O$. Trên đường tròn ngoại tiếp hình vuông, theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ), thứ tự các đỉnh hình vuông là $A, B, C, D$.
a) Tìm ảnh của các điểm $A, B, C, D$ qua phép quay tâm $O$ góc quay $\frac{\pi}{2}$.
b) Mỗi phép quay $Q_{(O, 0)}$, $Q_{\left(O, \frac{\pi}{2}\right)}$, $Q_{(O, \pi)}$, $Q_{\left(O, \frac{3\pi}{2}\right)}$ biến hình vuông $ABCD$ thành hình nào?
1.13. Cho hình bình hành $ABCD$ với tâm $O$.
a) Tìm ảnh của đường thẳng $AB$ qua phép đối xứng tâm $O$.
b) Tìm ảnh của tam giác $ABC$ qua phép đối xứng tâm $O$.
1.14. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường tròn $(C): (x-2)^2 + y^2 = 1$.
a) Tìm toạ độ tâm đường tròn $(C')$ là ảnh của đường tròn $(C)$ qua $Q_{\left(O, \frac{\pi}{2}\right)}$.
b) Viết phương trình của đường tròn $(C')$.
1.15. Bằng quan sát Hình 1.32, hãy chỉ ra một cách cắt hình đó thành ba phần giống nhau.
Hình 1.32
a) Hình vẽ nhận điểm $O$ (được tô đỏ) làm tâm đối xứng.
b) Một đường thẳng bất kì đi qua điểm $O$ sẽ chia hình vẽ thành hai nửa $\mathcal{A}$ và $\mathcal{B}$ giống nhau. Nếu thực hiện phép quay tâm $O$, góc quay $180^{\circ}$ thì nửa $\mathcal{A}$ biến thành nửa $\mathcal{B}$, tức là, $\mathcal{B}$ là ảnh của $\mathcal{A}$ qua một phép đối xứng tâm $O$.
c) Có thể chia hình vẽ thành bốn phần giống nhau.
Hình 1.30
BÀI TẬP
1.11. Trong Hình 1.31, $BAM$ và $CAN$ là các tam giác vuông cân tại $A$. Hãy chỉ ra một phép quay biến tam giác $ABC$ thành tam giác $AMN$.
Hình 1.31
1.12. Cho hình vuông $ABCD$ có tâm $O$. Trên đường tròn ngoại tiếp hình vuông, theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ), thứ tự các đỉnh hình vuông là $A, B, C, D$.
a) Tìm ảnh của các điểm $A, B, C, D$ qua phép quay tâm $O$ góc quay $\frac{\pi}{2}$.
b) Mỗi phép quay $Q_{(O, 0)}$, $Q_{\left(O, \frac{\pi}{2}\right)}$, $Q_{(O, \pi)}$, $Q_{\left(O, \frac{3\pi}{2}\right)}$ biến hình vuông $ABCD$ thành hình nào?
1.13. Cho hình bình hành $ABCD$ với tâm $O$.
a) Tìm ảnh của đường thẳng $AB$ qua phép đối xứng tâm $O$.
b) Tìm ảnh của tam giác $ABC$ qua phép đối xứng tâm $O$.
1.14. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường tròn $(C): (x-2)^2 + y^2 = 1$.
a) Tìm toạ độ tâm đường tròn $(C')$ là ảnh của đường tròn $(C)$ qua $Q_{\left(O, \frac{\pi}{2}\right)}$.
b) Viết phương trình của đường tròn $(C')$.
1.15. Bằng quan sát Hình 1.32, hãy chỉ ra một cách cắt hình đó thành ba phần giống nhau.
Hình 1.32
Bài 5. Phép dời hình
THUẬT NGỮ
Phép dời hình
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết khái niệm phép dời hình.
Vận dụng phép dời hình vào thiết kế đồ hoạ.
Bằng quan sát, ta có cảm nhận rằng ba hình a), b), c) bằng nhau. Nếu cắt giấy, lấy riêng ra từng hình, thì ta có thể xếp chồng khít hai hình b) và c) với nhau, hay úp khít hai hình a) và b) (cũng như hai hình a) và c)) vào nhau. Đối tượng toán học nào cho phép ta diễn đạt hai hình bằng nhau? Ta hãy cùng tìm hiểu trong bài học này.
Hình 1.33. Cầu Vàng, Đà Nẵng
HĐ. Các phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép quay cùng có tính chất nào trong các tính chất sau?
a) Biến một vectơ thành vectơ bằng nó.
b) Biến một đường tròn thành một đường tròn cùng tâm.
c) Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
d) Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song với nó.
Phép biến hình $f$ được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Chú ý
Ta có thể chứng minh được rằng, phép dời hình biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó; biến tam giác thành tam giác bằng nó; biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính, có tâm là ảnh của tâm; biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của chúng; biến đường thẳng thành đường thẳng.
Hai hình $\mathscr{H}$ và $\mathscr{H}'$ được gọi là bằng nhau, nếu có phép dời hình biến hình $\mathscr{H}$ thành $\mathscr{H}'$.
Phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép quay, phép đối xứng tâm đều bảo toàn khoảng cách nên chúng là những phép dời hình.
THUẬT NGỮ
Phép dời hình
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết khái niệm phép dời hình.
Vận dụng phép dời hình vào thiết kế đồ hoạ.
Bằng quan sát, ta có cảm nhận rằng ba hình a), b), c) bằng nhau. Nếu cắt giấy, lấy riêng ra từng hình, thì ta có thể xếp chồng khít hai hình b) và c) với nhau, hay úp khít hai hình a) và b) (cũng như hai hình a) và c)) vào nhau. Đối tượng toán học nào cho phép ta diễn đạt hai hình bằng nhau? Ta hãy cùng tìm hiểu trong bài học này.
Hình 1.33. Cầu Vàng, Đà Nẵng
HĐ. Các phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép quay cùng có tính chất nào trong các tính chất sau?
a) Biến một vectơ thành vectơ bằng nó.
b) Biến một đường tròn thành một đường tròn cùng tâm.
c) Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
d) Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song với nó.
Phép biến hình $f$ được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Chú ý
Ta có thể chứng minh được rằng, phép dời hình biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó; biến tam giác thành tam giác bằng nó; biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính, có tâm là ảnh của tâm; biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của chúng; biến đường thẳng thành đường thẳng.
Hai hình $\mathscr{H}$ và $\mathscr{H}'$ được gọi là bằng nhau, nếu có phép dời hình biến hình $\mathscr{H}$ thành $\mathscr{H}'$.
Phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép quay, phép đối xứng tâm đều bảo toàn khoảng cách nên chúng là những phép dời hình.
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, gọi $f$ là phép biến hình biến mỗi điểm có toạ độ $(x; y)$ thành điểm có toạ độ $(-x; y + 1)$.
a) Chứng minh rằng $f$ là một phép dời hình.
b) Chứng minh rằng với mọi điểm $M$, nếu $f$ biến $M$ thành $M'$ thì $M$ khác $M'$.
c) $f$ có là phép nào trong các phép đối xứng trục, phép quay, phép tịnh tiến hay không?
Giải
a) Hai điểm bất kì $M(x; y)$, $N(x'; y')$ có ảnh qua $f$ tương ứng là $M'(-x; y + 1), N'(-x'; y' + 1)$. Khi đó
$$M'N' = \sqrt{(-x' - (-x))^2 + ((y' + 1) - (y + 1))^2} = \sqrt{(x' - x)^2 + (y' - y)^2} = MN.$$
Do đó, $f$ là một phép dời hình.
b) Phép dời hình $f$ biến điểm $M(x; y)$ thành điểm có toạ độ $M'(-x; y + 1)$. Do $y \neq y + 1$ nên $M$ khác $M'$.
c) Vì phép đối xứng trục biến mỗi điểm trên trục đối xứng thành chính nó và phép quay biến tâm quay thành chính nó, nên từ b) ta có $f$ không thể là phép đối xứng trục hay là phép quay.
Các điểm $O(0; 0), A(1; 0)$ tương ứng có ảnh là $O'(0; 1), A'(-1; 1)$.
Ta có $\vec{OO'} = (0; 1)$, $\vec{AA'} = (-2; 1)$. Do $\vec{OO'} \neq \vec{AA'}$ nên $f$ không thể là phép tịnh tiến.
Vậy mặc dù $f$ là một phép dời hình, nhưng nó không phải là phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép quay.
Luyện tập. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ở Hình 1.34, gọi $f$ là phép biến hình biến mỗi điểm có toạ độ $(x; y)$ thành điểm có toạ độ $(-x; y + 3)$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
a) $f$ biến $\Delta ABC$ thành $\Delta DEF$.
b) $f$ biến $\Delta DEF$ thành $\Delta MNP$.
c) $f$ biến $\Delta ABC$ thành $\Delta MNP$.
Hình 1.34
a) Chứng minh rằng $f$ là một phép dời hình.
b) Chứng minh rằng với mọi điểm $M$, nếu $f$ biến $M$ thành $M'$ thì $M$ khác $M'$.
c) $f$ có là phép nào trong các phép đối xứng trục, phép quay, phép tịnh tiến hay không?
Giải
a) Hai điểm bất kì $M(x; y)$, $N(x'; y')$ có ảnh qua $f$ tương ứng là $M'(-x; y + 1), N'(-x'; y' + 1)$. Khi đó
$$M'N' = \sqrt{(-x' - (-x))^2 + ((y' + 1) - (y + 1))^2} = \sqrt{(x' - x)^2 + (y' - y)^2} = MN.$$
Do đó, $f$ là một phép dời hình.
b) Phép dời hình $f$ biến điểm $M(x; y)$ thành điểm có toạ độ $M'(-x; y + 1)$. Do $y \neq y + 1$ nên $M$ khác $M'$.
c) Vì phép đối xứng trục biến mỗi điểm trên trục đối xứng thành chính nó và phép quay biến tâm quay thành chính nó, nên từ b) ta có $f$ không thể là phép đối xứng trục hay là phép quay.
Các điểm $O(0; 0), A(1; 0)$ tương ứng có ảnh là $O'(0; 1), A'(-1; 1)$.
Ta có $\vec{OO'} = (0; 1)$, $\vec{AA'} = (-2; 1)$. Do $\vec{OO'} \neq \vec{AA'}$ nên $f$ không thể là phép tịnh tiến.
Vậy mặc dù $f$ là một phép dời hình, nhưng nó không phải là phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép quay.
Luyện tập. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ở Hình 1.34, gọi $f$ là phép biến hình biến mỗi điểm có toạ độ $(x; y)$ thành điểm có toạ độ $(-x; y + 3)$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
a) $f$ biến $\Delta ABC$ thành $\Delta DEF$.
b) $f$ biến $\Delta DEF$ thành $\Delta MNP$.
c) $f$ biến $\Delta ABC$ thành $\Delta MNP$.
Hình 1.34
Chú ý
Phép biến hình $f$ trong Luyện tập trên có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục $Oy$ và phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{u} = (0;3)$.
Thực hiện liên tiếp hai phép dời hình $h$ và $g$ ($h$ trước, $g$ sau) ta cũng được một phép dời hình, tức là, nếu $h$ biến mỗi điểm $M$ thành điểm $M'$, $g$ biến điểm $M'$ thành $M''$, thì phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thành điểm $M''$ cũng là một phép dời hình (H.1.35).
Hình 1.35
Ví dụ 2. Cho hình bình hành $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Một đường thẳng đi qua $O$ (khác đường chéo) cắt các cạnh $AB$, $CD$ tương ứng tại $M$, $N$ (H.1.36). Chứng minh rằng hai tứ giác $AMND$ và $CNMB$ bằng nhau.
Giải
Ta có $O$ là trung điểm của các đường chéo $AC$ và $BD$.
Ta có $\widehat{MAO} = \widehat{OCN}$, $AO = CO$, $\widehat{AOM} = \widehat{CON}$.
Do đó $\Delta OAM = \Delta OCN$, suy ra $OM = ON$.
Phép đối xứng tâm $O$ biến các điểm $A, M, N, D$ tương ứng thành các điểm $C, N, M, B$, do đó biến tứ giác $AMND$ thành tứ giác $CNMB$. Vậy hai tứ giác $AMND$ và $CNMB$ bằng nhau.
Hình 1.36
Vận dụng. Trong tình huống mở đầu, bằng quan sát (H.1.33), hãy chỉ ra phép dời hình:
a) Biến Hình a) thành Hình b).
b) Biến Hình b) thành Hình c).
c) Biến Hình a) thành Hình c).
d) Biến Hình c) thành Hình a).
BÀI TẬP
1.16. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho vectơ $\vec{u} = (0; 1)$. Những khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng?
a) Phép đối xứng trục $Oy$ biến mỗi điểm $M(x; y)$ thành điểm $M'(-x; y)$.
b) Phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{u}$ biến điểm $M'(-x; y)$ thành điểm $M''(-x; y + 1)$.
c) Thực hiện liên tiếp hai phép dời hình $Đ_{Oy}$ và $T_{\vec{u}}$ ($Đ_{Oy}$ trước, $T_{\vec{u}}$ sau) ta được phép dời hình biến mỗi điểm $M(x; y)$ thành điểm $M''(-x; y + 1)$.
d) Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình $Đ_{Oy}$ và $T_{\vec{u}}$ biến điểm $A(1; 2)$ thành điểm $A''(-1; 1)$.
1.17. Bằng quan sát, hãy chỉ ra trong mỗi hình trong Hình 1.37 một phép dời hình biến hình vuông $\mathcal{A}$ thành hình vuông $\mathcal{A}'$, đồng thời biến hình bình hành $\mathcal{B}$ thành hình bình hành $\mathcal{B}'$.
Phép biến hình $f$ trong Luyện tập trên có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục $Oy$ và phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{u} = (0;3)$.
Thực hiện liên tiếp hai phép dời hình $h$ và $g$ ($h$ trước, $g$ sau) ta cũng được một phép dời hình, tức là, nếu $h$ biến mỗi điểm $M$ thành điểm $M'$, $g$ biến điểm $M'$ thành $M''$, thì phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thành điểm $M''$ cũng là một phép dời hình (H.1.35).
Hình 1.35
Ví dụ 2. Cho hình bình hành $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Một đường thẳng đi qua $O$ (khác đường chéo) cắt các cạnh $AB$, $CD$ tương ứng tại $M$, $N$ (H.1.36). Chứng minh rằng hai tứ giác $AMND$ và $CNMB$ bằng nhau.
Giải
Ta có $O$ là trung điểm của các đường chéo $AC$ và $BD$.
Ta có $\widehat{MAO} = \widehat{OCN}$, $AO = CO$, $\widehat{AOM} = \widehat{CON}$.
Do đó $\Delta OAM = \Delta OCN$, suy ra $OM = ON$.
Phép đối xứng tâm $O$ biến các điểm $A, M, N, D$ tương ứng thành các điểm $C, N, M, B$, do đó biến tứ giác $AMND$ thành tứ giác $CNMB$. Vậy hai tứ giác $AMND$ và $CNMB$ bằng nhau.
Hình 1.36
Vận dụng. Trong tình huống mở đầu, bằng quan sát (H.1.33), hãy chỉ ra phép dời hình:
a) Biến Hình a) thành Hình b).
b) Biến Hình b) thành Hình c).
c) Biến Hình a) thành Hình c).
d) Biến Hình c) thành Hình a).
BÀI TẬP
1.16. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho vectơ $\vec{u} = (0; 1)$. Những khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng?
a) Phép đối xứng trục $Oy$ biến mỗi điểm $M(x; y)$ thành điểm $M'(-x; y)$.
b) Phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{u}$ biến điểm $M'(-x; y)$ thành điểm $M''(-x; y + 1)$.
c) Thực hiện liên tiếp hai phép dời hình $Đ_{Oy}$ và $T_{\vec{u}}$ ($Đ_{Oy}$ trước, $T_{\vec{u}}$ sau) ta được phép dời hình biến mỗi điểm $M(x; y)$ thành điểm $M''(-x; y + 1)$.
d) Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình $Đ_{Oy}$ và $T_{\vec{u}}$ biến điểm $A(1; 2)$ thành điểm $A''(-1; 1)$.
1.17. Bằng quan sát, hãy chỉ ra trong mỗi hình trong Hình 1.37 một phép dời hình biến hình vuông $\mathcal{A}$ thành hình vuông $\mathcal{A}'$, đồng thời biến hình bình hành $\mathcal{B}$ thành hình bình hành $\mathcal{B}'$.
Hình 1.37
1.18. Cho một mảnh giấy hình thang cân $ABCD$ ($AB \parallel CD$). Hãy chỉ ra một cách cắt mảnh giấy đó thành hai mảnh giấy bằng nhau.
1.19 Hình 1.38 được vẽ dựa theo bức tranh Kị binh (horsemen) của Escher, gồm các hình bằng nhau mô tả các kị binh trên ngựa.
Bằng quan sát, hãy chỉ ra những khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
a) Có phép tịnh tiến biến mỗi chiến binh thành một chiến binh cùng màu.
b) Có phép đối xứng trục biến mỗi chiến binh thành một chiến binh khác màu.
c) Có phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp một phép đối xứng trục và một phép tịnh tiến biến mỗi kị binh thành một kị binh khác màu.
Hình 1.38
Em có biết?
Tại các quảng trường, con phố du lịch của thành phố Lisbon (Bồ Đào Nha) hay lâu đài Alhambra (Tây Ban Nha), ta bắt gặp rất nhiều kiểu lát gạch, khảm trang trí nghệ thuật, trông đẹp mắt và thú vị.
Trong mỗi phép lát mặt phẳng (không bị giới hạn) bởi các viên
Hình 1.39. Quảng trường Rossio, Lisbon
1.18. Cho một mảnh giấy hình thang cân $ABCD$ ($AB \parallel CD$). Hãy chỉ ra một cách cắt mảnh giấy đó thành hai mảnh giấy bằng nhau.
1.19 Hình 1.38 được vẽ dựa theo bức tranh Kị binh (horsemen) của Escher, gồm các hình bằng nhau mô tả các kị binh trên ngựa.
Bằng quan sát, hãy chỉ ra những khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
a) Có phép tịnh tiến biến mỗi chiến binh thành một chiến binh cùng màu.
b) Có phép đối xứng trục biến mỗi chiến binh thành một chiến binh khác màu.
c) Có phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp một phép đối xứng trục và một phép tịnh tiến biến mỗi kị binh thành một kị binh khác màu.
Hình 1.38
Em có biết?
Tại các quảng trường, con phố du lịch của thành phố Lisbon (Bồ Đào Nha) hay lâu đài Alhambra (Tây Ban Nha), ta bắt gặp rất nhiều kiểu lát gạch, khảm trang trí nghệ thuật, trông đẹp mắt và thú vị.
Trong mỗi phép lát mặt phẳng (không bị giới hạn) bởi các viên
Hình 1.39. Quảng trường Rossio, Lisbon
gạch bằng nhau, ta có thể nhìn mỗi viên gạch là ảnh của viên gạch khác qua một phép dời hình (vì các viên gạch bằng nhau). Rõ ràng, người thợ sẽ có thể yên tâm tuần tự lát các viên gạch mà không sợ đến một lúc nào đó buộc phải cắt gạch nếu anh ta được cung cấp một “túi” các phép dời hình để sau khi đặt viên gạch thứ nhất, anh ta chỉ việc lần lượt đặt các viên tiếp theo là ảnh của viên đầu tiên qua các phép dời hình thuộc “túi” đó. Năm 1891, Fedorov đã chứng minh được rằng có tất cả 17 loại “túi” cho phép lát kín mặt phẳng mà không cần cắt gạch. Một điều khá thú vị là cả 17 cách lát mà toán học chứng minh được đều đã được con người thực hiện trước đó rải rác ở nhiều nơi trên thế giới (Theo A.B.Sossinsky, GEOMETRIES).
Để có thể thực hiện thành công việc lát mặt phẳng, rõ ràng người thợ đã “hành động địa phương” nhưng “tư duy toàn cục” (Khẩu hiệu “Think globally, act locally” được dùng trong nhiều lĩnh vực như môi trường, quy hoạch, giáo dục,..).
Các phép dời hình trong mỗi việc lát còn mang đến cho người ngắm cảm hứng khám phá và tạo nên sự chuyển động cho hình ảnh tổng thể.
Nếu yêu cầu “túi” chỉ gồm phép tịnh tiến và phép quay thì có đúng 5 loại “túi” đảm bảo cho việc lát, ứng với 5 cách lát dưới đây (H.1.40).
Hình 1.40
Để có thể thực hiện thành công việc lát mặt phẳng, rõ ràng người thợ đã “hành động địa phương” nhưng “tư duy toàn cục” (Khẩu hiệu “Think globally, act locally” được dùng trong nhiều lĩnh vực như môi trường, quy hoạch, giáo dục,..).
Các phép dời hình trong mỗi việc lát còn mang đến cho người ngắm cảm hứng khám phá và tạo nên sự chuyển động cho hình ảnh tổng thể.
Nếu yêu cầu “túi” chỉ gồm phép tịnh tiến và phép quay thì có đúng 5 loại “túi” đảm bảo cho việc lát, ứng với 5 cách lát dưới đây (H.1.40).
Hình 1.40
Bài 6. Phép vị tự
THUẬT NGỮ
Phép vị tự
Tâm vị tự
Tỉ số vị tự
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết khái niệm phép vị tự.
Nhận biết tính chất của phép vị tự.
Xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, tam giác, đường tròn qua phép vị tự.
a)
b)
Hình 1.41. Em bé ôm chú gà (Tranh Đông Hồ)
Hai bức tranh ở Hình 1.41 có hình dạng giống nhau nhưng khác nhau về kích thước, nên không có phép dời hình biến bức tranh này thành bức tranh kia. Tuy vậy, ta sẽ biết bức tranh này như là ảnh của bức tranh kia qua một phép vị tự – đối tượng mà ta sẽ học trong bài này.
1. PHÉP VỊ TỰ
▶ HĐ1. Trong hai bức tranh ở Hình 1.41, các hình chữ nhật $ABCD$, $A'B'C'D'$ có các cạnh tương ứng song song, bức tranh lớn có kích thước gấp đôi bức tranh nhỏ.
a) Giải thích vì sao các đường thẳng $AA'$, $BB'$, $CC'$, $DD'$ cùng đi qua một điểm $O$.
b) Hãy tính các tỉ số $\frac{OA}{OA'}, \frac{OB}{OB'}, \frac{OC}{OC'}, \frac{OD}{OD'}$.
c) Dùng thước thẳng nối hai điểm tương ứng nào đó trên hai bức tranh (chẳng hạn, đầu mỏ trên của chú gà ở hai bức tranh). Đường thẳng đó có đi qua $O$ hay không?
THUẬT NGỮ
Phép vị tự
Tâm vị tự
Tỉ số vị tự
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết khái niệm phép vị tự.
Nhận biết tính chất của phép vị tự.
Xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, tam giác, đường tròn qua phép vị tự.
a)
b)
Hình 1.41. Em bé ôm chú gà (Tranh Đông Hồ)
Hai bức tranh ở Hình 1.41 có hình dạng giống nhau nhưng khác nhau về kích thước, nên không có phép dời hình biến bức tranh này thành bức tranh kia. Tuy vậy, ta sẽ biết bức tranh này như là ảnh của bức tranh kia qua một phép vị tự – đối tượng mà ta sẽ học trong bài này.
1. PHÉP VỊ TỰ
▶ HĐ1. Trong hai bức tranh ở Hình 1.41, các hình chữ nhật $ABCD$, $A'B'C'D'$ có các cạnh tương ứng song song, bức tranh lớn có kích thước gấp đôi bức tranh nhỏ.
a) Giải thích vì sao các đường thẳng $AA'$, $BB'$, $CC'$, $DD'$ cùng đi qua một điểm $O$.
b) Hãy tính các tỉ số $\frac{OA}{OA'}, \frac{OB}{OB'}, \frac{OC}{OC'}, \frac{OD}{OD'}$.
c) Dùng thước thẳng nối hai điểm tương ứng nào đó trên hai bức tranh (chẳng hạn, đầu mỏ trên của chú gà ở hai bức tranh). Đường thẳng đó có đi qua $O$ hay không?
Cho điểm $O$ và số thực $k \neq 0$. Phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thành điểm $M'$ sao cho $\overrightarrow{OM'} = k\overrightarrow{OM}$ được gọi là phép vị tự tâm $O$, tỉ số $k$, kí hiệu là $V_{(O, k)}$. Điểm $O$ gọi là tâm vị tự, $k$ gọi là tỉ số vị tự.
Hình 1.42
Phép vị tự $V_{(O, k)}$ biến điểm $O$ thành điểm nào? Nếu phép vị tự $V_{(O, k)}$ biến điểm $M$ thành điểm $M'$ thì phép vị tự $V_{(O, \frac{1}{k})}$ biến điểm $M'$ thành điểm nào?
Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ có ba đường trung tuyến $AM, BN, CP$ và trọng tâm $G$.
a) Tìm ảnh của các điểm $A, N, P$ qua phép vị tự $V_{(A, 2)}$.
b) Tìm ảnh của các điểm $A, B, C$ qua phép vị tự $V_{(G, -\frac{1}{2})}$.
Giải
a) Phép vị tự $V_{(A, 2)}$ biến điểm $A$ thành điểm $A$. Do $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AN}, \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AP}$ nên phép vị tự $V_{(A, 2)}$ biến các điểm $N, P$ tương ứng thành các điểm $C, B$.
Vậy ảnh của các điểm $A, N, P$ qua phép vị tự $V_{(A, 2)}$ tương ứng là $A, C, B$.
b) Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{GM} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{GA}, \overrightarrow{GN} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{GB}, \overrightarrow{GP} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{GC}$. Do đó, ảnh của các điểm $A, B, C$ qua phép vị tự $V_{(G, -\frac{1}{2})}$ tương ứng là $M, N, P$.
Hình 1.43
Luyện tập 1. Chứng minh rằng, phép vị tự $V_{(O, 1)}$ là phép đồng nhất, phép vị tự $V_{(O, -1)}$ là phép đối xứng tâm $O$.
Vận dụng 1. Quan sát hai bức tranh em bé ôm chú gà ở phần mở đầu bài học và chỉ ra phép vị tự biến bức tranh nhỏ thành bức tranh lớn và phép vị tự biến bức tranh lớn thành bức tranh nhỏ.
2. TÍNH CHẤT
HD2. Cho phép vị tự tâm $O$, tỉ số $k$ biến điểm $M$ thành điểm $M'$, điểm $N$ thành điểm $N'$.
a) Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{OM'}, \overrightarrow{ON'}$ tương ứng theo các vectơ $\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}$.
b) Giải thích vì sao $\overrightarrow{M'N'} = k\overrightarrow{MN}$.
Nếu một phép vị tự tâm $O$, tỉ số $k$ biến điểm $M$ thành điểm $M'$, điểm $N$ thành điểm $N'$ thì $\overrightarrow{M'N'} = k\overrightarrow{MN}$ (và do đó, $M'N' = |k| MN$).
Hình 1.44
Hình 1.42
Phép vị tự $V_{(O, k)}$ biến điểm $O$ thành điểm nào? Nếu phép vị tự $V_{(O, k)}$ biến điểm $M$ thành điểm $M'$ thì phép vị tự $V_{(O, \frac{1}{k})}$ biến điểm $M'$ thành điểm nào?
Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ có ba đường trung tuyến $AM, BN, CP$ và trọng tâm $G$.
a) Tìm ảnh của các điểm $A, N, P$ qua phép vị tự $V_{(A, 2)}$.
b) Tìm ảnh của các điểm $A, B, C$ qua phép vị tự $V_{(G, -\frac{1}{2})}$.
Giải
a) Phép vị tự $V_{(A, 2)}$ biến điểm $A$ thành điểm $A$. Do $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AN}, \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AP}$ nên phép vị tự $V_{(A, 2)}$ biến các điểm $N, P$ tương ứng thành các điểm $C, B$.
Vậy ảnh của các điểm $A, N, P$ qua phép vị tự $V_{(A, 2)}$ tương ứng là $A, C, B$.
b) Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{GM} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{GA}, \overrightarrow{GN} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{GB}, \overrightarrow{GP} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{GC}$. Do đó, ảnh của các điểm $A, B, C$ qua phép vị tự $V_{(G, -\frac{1}{2})}$ tương ứng là $M, N, P$.
Hình 1.43
Luyện tập 1. Chứng minh rằng, phép vị tự $V_{(O, 1)}$ là phép đồng nhất, phép vị tự $V_{(O, -1)}$ là phép đối xứng tâm $O$.
Vận dụng 1. Quan sát hai bức tranh em bé ôm chú gà ở phần mở đầu bài học và chỉ ra phép vị tự biến bức tranh nhỏ thành bức tranh lớn và phép vị tự biến bức tranh lớn thành bức tranh nhỏ.
2. TÍNH CHẤT
HD2. Cho phép vị tự tâm $O$, tỉ số $k$ biến điểm $M$ thành điểm $M'$, điểm $N$ thành điểm $N'$.
a) Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{OM'}, \overrightarrow{ON'}$ tương ứng theo các vectơ $\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}$.
b) Giải thích vì sao $\overrightarrow{M'N'} = k\overrightarrow{MN}$.
Nếu một phép vị tự tâm $O$, tỉ số $k$ biến điểm $M$ thành điểm $M'$, điểm $N$ thành điểm $N'$ thì $\overrightarrow{M'N'} = k\overrightarrow{MN}$ (và do đó, $M'N' = |k| MN$).
Hình 1.44
Chú ý. Từ tính chất trên, người ta chứng minh được rằng, phép vị tự tâm $O$, tỉ số $k$:
Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa ba điểm đó;
Biến đoạn thẳng (độ dài $a$) thành đoạn thẳng (độ dài $|k| a$);
Biến đường tròn (bán kính $R$) thành đường tròn (bán kính $|k| R$) với tâm là ảnh của tâm;
Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó (tỉ số đồng dạng là $|k|$);
Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đó.
Hình 1.45
Ví dụ 2. Một phép vị tự tâm $O$, tỉ số $k$ biến tam giác $ABC$ thành tam giác $A'B'C'$. Tính tỉ số diện tích hai tam giác $A'B'C'$ và $ABC$.
Giải
Phép vị tự tỉ số $k$ biến tam giác $ABC$ thành tam giác $A'B'C'$ nên tam giác $A'B'C'$ đồng dạng với tam giác $ABC$ theo tỉ số $|k|$ (để ý rằng $B'C' = |k| BC, C'A' = |k| CA, A'B' = |k| AB$). Do đó, $\frac{S_{A'B'C'}}{S_{ABC}} = |k|^2 = k^2$.
Luyện tập 2. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường tròn $(C)$: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$.
a) Tìm tâm $I$ và bán kính $R$ của đường tròn $(C)$.
b) Tìm tâm $I'$ và bán kính $R'$ của đường tròn $(C')$ là ảnh của đường tròn $(C)$ qua phép vị tự tâm $A(3; 5)$, tỉ số 2.
c) Viết phương trình của $(C')$.
Tâm $I'(x; y)$ của $(C')$ thoả mãn $\overrightarrow{AI'} = 2\overrightarrow{AI}$.
Ví dụ 3. Cho đường tròn $(O, R)$ và hai điểm phân biệt $B, C$ sao cho đường thẳng $BC$ và $(O, R)$ không có điểm chung. Cho điểm $A$ thay đổi trên đường tròn $(O, R)$. Chứng minh rằng trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ thuộc một đường tròn cố định.
Giải (H.1.46)
Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{MG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{MA}$. Do đó, phép vị tự tâm $M$, tỉ số $\frac{1}{3}$ biến điểm $A$ thành điểm $G$. Mặt khác, $A$ thuộc đường tròn $(O, R)$ nên $G$ thuộc đường tròn $(O', R')$ cố định là ảnh của đường tròn $(O, R)$ qua phép vị tự $V_{(M, \frac{1}{3})}$. Ở đó, $R' = \frac{1}{3}R$ và $O'$ là ảnh của $O$ qua $V_{(M, \frac{1}{3})}$ nên được xác định bởi $\overrightarrow{MO'} = \frac{1}{3}\overrightarrow{MO}$.
Hình 1.46
Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa ba điểm đó;
Biến đoạn thẳng (độ dài $a$) thành đoạn thẳng (độ dài $|k| a$);
Biến đường tròn (bán kính $R$) thành đường tròn (bán kính $|k| R$) với tâm là ảnh của tâm;
Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó (tỉ số đồng dạng là $|k|$);
Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đó.
Hình 1.45
Ví dụ 2. Một phép vị tự tâm $O$, tỉ số $k$ biến tam giác $ABC$ thành tam giác $A'B'C'$. Tính tỉ số diện tích hai tam giác $A'B'C'$ và $ABC$.
Giải
Phép vị tự tỉ số $k$ biến tam giác $ABC$ thành tam giác $A'B'C'$ nên tam giác $A'B'C'$ đồng dạng với tam giác $ABC$ theo tỉ số $|k|$ (để ý rằng $B'C' = |k| BC, C'A' = |k| CA, A'B' = |k| AB$). Do đó, $\frac{S_{A'B'C'}}{S_{ABC}} = |k|^2 = k^2$.
Luyện tập 2. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường tròn $(C)$: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$.
a) Tìm tâm $I$ và bán kính $R$ của đường tròn $(C)$.
b) Tìm tâm $I'$ và bán kính $R'$ của đường tròn $(C')$ là ảnh của đường tròn $(C)$ qua phép vị tự tâm $A(3; 5)$, tỉ số 2.
c) Viết phương trình của $(C')$.
Tâm $I'(x; y)$ của $(C')$ thoả mãn $\overrightarrow{AI'} = 2\overrightarrow{AI}$.
Ví dụ 3. Cho đường tròn $(O, R)$ và hai điểm phân biệt $B, C$ sao cho đường thẳng $BC$ và $(O, R)$ không có điểm chung. Cho điểm $A$ thay đổi trên đường tròn $(O, R)$. Chứng minh rằng trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ thuộc một đường tròn cố định.
Giải (H.1.46)
Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{MG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{MA}$. Do đó, phép vị tự tâm $M$, tỉ số $\frac{1}{3}$ biến điểm $A$ thành điểm $G$. Mặt khác, $A$ thuộc đường tròn $(O, R)$ nên $G$ thuộc đường tròn $(O', R')$ cố định là ảnh của đường tròn $(O, R)$ qua phép vị tự $V_{(M, \frac{1}{3})}$. Ở đó, $R' = \frac{1}{3}R$ và $O'$ là ảnh của $O$ qua $V_{(M, \frac{1}{3})}$ nên được xác định bởi $\overrightarrow{MO'} = \frac{1}{3}\overrightarrow{MO}$.
Hình 1.46
Vận dụng 2. Quan sát Hình 1.47 và cho biết hình nào trong hai hình nhỏ không phải là ảnh của hình lớn qua một phép vị tự. Nêu lí do cho sự lựa chọn đó.
a)
b)
c)
Hình 1.47
BÀI TẬP
1.20. Cho hình thang $ABCD$ có hai đáy $AB$ và $CD$, $CD = 2AB$. Gọi $O$ là giao của hai cạnh bên và $I$ là giao của hai đường chéo. Tìm ảnh của đoạn thẳng $AB$ qua các phép vị tự $V_{(O; 2)}$, $V_{(I; -2)}$.
1.21. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho $A(1; 2)$, $B(3; 6)$. Viết phương trình đường tròn $(C)$ là ảnh của đường tròn đường kính $AB$ qua phép vị tự $V_{(O; 3)}$.
1.22. Ở Hình 1.48, $A'$, $B'$, $C'$, $D'$, $E'$ tương ứng là trung điểm của các đoạn thẳng $IA$, $IB$, $IC$, $ID$, $IE$. Hỏi năm điểm đó có thuộc một đường tròn hay không? Vì sao?
Hình 1.48
1.23. Quan sát ba hình được tô màu ở Hình 1.49, hình nhỏ nào là ảnh của hình lớn qua một phép vị tự?
Hình 1.49
a)
b)
c)
Hình 1.47
BÀI TẬP
1.20. Cho hình thang $ABCD$ có hai đáy $AB$ và $CD$, $CD = 2AB$. Gọi $O$ là giao của hai cạnh bên và $I$ là giao của hai đường chéo. Tìm ảnh của đoạn thẳng $AB$ qua các phép vị tự $V_{(O; 2)}$, $V_{(I; -2)}$.
1.21. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho $A(1; 2)$, $B(3; 6)$. Viết phương trình đường tròn $(C)$ là ảnh của đường tròn đường kính $AB$ qua phép vị tự $V_{(O; 3)}$.
1.22. Ở Hình 1.48, $A'$, $B'$, $C'$, $D'$, $E'$ tương ứng là trung điểm của các đoạn thẳng $IA$, $IB$, $IC$, $ID$, $IE$. Hỏi năm điểm đó có thuộc một đường tròn hay không? Vì sao?
Hình 1.48
1.23. Quan sát ba hình được tô màu ở Hình 1.49, hình nhỏ nào là ảnh của hình lớn qua một phép vị tự?
Hình 1.49
Bài 7. Phép đồng dạng
THUẬT NGỮ
Phép đồng dạng
Tỉ số đồng dạng
Hai hình đồng dạng.
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết khái niệm phép đồng dạng.
Vận dụng được phép đồng dạng trong thực tiễn.
Phép dời hình cho phép ta thể hiện mối quan hệ giống nhau cả về hình dạng và kích thước giữa các hình. Đối với các hình chỉ giống nhau về hình dạng còn kích thước có thể khác nhau thì sao? Đối tượng toán học nào cho phép ta thể hiện điều đó?
Hình 1.50
HD. Hai tấm ảnh Dinh Thống Nhất ở hình trên giống nhau về hình dạng, chỉ khác nhau về kích thước.
a) Hãy đo và cho biết chiều dài, chiều rộng của tấm ảnh lớn tương ứng gấp mấy lần chiều dài, chiều rộng của tấm ảnh nhỏ.
b) Nếu lấy hai vị trí $A$, $B$ bất kì thuộc tấm ảnh nhỏ và các vị trí $A'$, $B'$ tương ứng với chúng trên tấm ảnh lớn thì khoảng cách giữa $A'$ và $B'$ gấp mấy lần khoảng cách giữa $A$ và $B$? Hãy lấy ví dụ cụ thể các vị trí và đo để kiểm tra câu trả lời của bạn.
Phép biến hình $f$ được gọi là phép đồng dạng tỉ số $k$ ($k > 0$) nếu với hai điểm bất kì $M$, $N$ và hai ảnh $M'$, $N'$ tương ứng của chúng, ta có $M'N' = kMN$.
Phép dời hình và phép vị tự tỉ số $t$ có phải là các phép đồng dạng hay không? Nếu có thì có tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?
Ví dụ 1. Chứng minh rằng phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp một phép dời hình $f$ và một phép vị tự $V_{(O, k)}$ là một phép đồng dạng với tỉ số $|k|$.
Giải
Với hai điểm bất kì $M$, $N$, giả sử phép dời hình $f$ biến $M$, $N$ tương ứng thành $M'$, $N'$ và $V_{(O, k)}$ biến $M'$, $N'$ tương ứng thành $M''$, $N''$. Vì $f$ là phép dời hình nên $MN = M'N'$. Mặt khác
$$M''N'' = |k|M'N'.$$
Do đó $M''N'' = |k|MN$. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Luyện tập 1. Chứng minh rằng phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đồng dạng $f$ với tỉ số $k_1$ và phép đồng dạng $g$ với tỉ số $k_2$ là một phép đồng dạng với tỉ số $k_1 \cdot k_2$.
THUẬT NGỮ
Phép đồng dạng
Tỉ số đồng dạng
Hai hình đồng dạng.
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết khái niệm phép đồng dạng.
Vận dụng được phép đồng dạng trong thực tiễn.
Phép dời hình cho phép ta thể hiện mối quan hệ giống nhau cả về hình dạng và kích thước giữa các hình. Đối với các hình chỉ giống nhau về hình dạng còn kích thước có thể khác nhau thì sao? Đối tượng toán học nào cho phép ta thể hiện điều đó?
Hình 1.50
HD. Hai tấm ảnh Dinh Thống Nhất ở hình trên giống nhau về hình dạng, chỉ khác nhau về kích thước.
a) Hãy đo và cho biết chiều dài, chiều rộng của tấm ảnh lớn tương ứng gấp mấy lần chiều dài, chiều rộng của tấm ảnh nhỏ.
b) Nếu lấy hai vị trí $A$, $B$ bất kì thuộc tấm ảnh nhỏ và các vị trí $A'$, $B'$ tương ứng với chúng trên tấm ảnh lớn thì khoảng cách giữa $A'$ và $B'$ gấp mấy lần khoảng cách giữa $A$ và $B$? Hãy lấy ví dụ cụ thể các vị trí và đo để kiểm tra câu trả lời của bạn.
Phép biến hình $f$ được gọi là phép đồng dạng tỉ số $k$ ($k > 0$) nếu với hai điểm bất kì $M$, $N$ và hai ảnh $M'$, $N'$ tương ứng của chúng, ta có $M'N' = kMN$.
Phép dời hình và phép vị tự tỉ số $t$ có phải là các phép đồng dạng hay không? Nếu có thì có tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?
Ví dụ 1. Chứng minh rằng phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp một phép dời hình $f$ và một phép vị tự $V_{(O, k)}$ là một phép đồng dạng với tỉ số $|k|$.
Giải
Với hai điểm bất kì $M$, $N$, giả sử phép dời hình $f$ biến $M$, $N$ tương ứng thành $M'$, $N'$ và $V_{(O, k)}$ biến $M'$, $N'$ tương ứng thành $M''$, $N''$. Vì $f$ là phép dời hình nên $MN = M'N'$. Mặt khác
$$M''N'' = |k|M'N'.$$
Do đó $M''N'' = |k|MN$. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Luyện tập 1. Chứng minh rằng phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đồng dạng $f$ với tỉ số $k_1$ và phép đồng dạng $g$ với tỉ số $k_2$ là một phép đồng dạng với tỉ số $k_1 \cdot k_2$.
Ví dụ 2. Trong Hình 1.51, Hình c) có kích thước gấp đôi các Hình a), b). Bằng quan sát, hãy chỉ ra phép đồng dạng biến Hình b) thành Hình c).
Hình 1.51
Giải
Phép đối xứng qua trục $d$ biến Hình b) thành Hình a). Phép vị tự tâm $O$, tỉ số $-2$ biến Hình a) thành Hình c). Như vậy, phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục $d$ và phép vị tự $V_{(O; -2)}$ biến Hình b) thành Hình c).
Chú ý. Với hai hình $\mathscr{H}$ và $\mathscr{H}'$, nếu có phép đồng dạng biến $\mathscr{H}$ thành $\mathscr{H}'$ thì cũng có phép đồng dạng biến $\mathscr{H}'$ thành $\mathscr{H}$ và ta nói $\mathscr{H}$ và $\mathscr{H}'$ đồng dạng với nhau.
Luyện tập 2. Cho đường thẳng $d$ và hai điểm phân biệt $A, B$. Điểm $M$ thay đổi trên đường thẳng $d$. Gọi $N$ là điểm đối xứng của $M$ qua đường thẳng $AB$ và $P$ là trung điểm của đoạn thẳng $BN$. Chứng minh rằng $P$ thuộc một đường thẳng cố định.
Vận dụng. Trong hai hình Dinh Thống Nhất ở Hình 1.50, hãy chỉ ra phép đồng dạng biến hình nhỏ thành hình lớn.
BÀI TẬP
1.24. Một phép đồng dạng biến ba đỉnh $A, B, C$ của tam giác $ABC$ tương ứng thành $A', B', C'$. Chứng minh rằng
$$\frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'} = \frac{AB}{A'B'}.$$
1.25. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho phép biến hình $f$ biến mỗi điểm $M(x; y)$ thành điểm $M'(3x; -3y)$.
a) Tìm ảnh của các điểm $O(0; 0), N(2; 1)$.
b) Chứng minh rằng $f$ là một phép đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng.
1.26. Hai hình $\mathscr{H}$ và $\mathscr{H}''$ trong Hình 1.52 được vẽ trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$. Bằng quan sát, hãy chỉ ra một phép đối xứng trục $f$ và một phép vị tự $g$ sao cho phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép $f$ và $g$ (thực hiện $f$ trước, $g$ sau) biến hình $\mathscr{H}$ thành hình $\mathscr{H}''$.
Hình 1.52
Hình 1.51
Giải
Phép đối xứng qua trục $d$ biến Hình b) thành Hình a). Phép vị tự tâm $O$, tỉ số $-2$ biến Hình a) thành Hình c). Như vậy, phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục $d$ và phép vị tự $V_{(O; -2)}$ biến Hình b) thành Hình c).
Chú ý. Với hai hình $\mathscr{H}$ và $\mathscr{H}'$, nếu có phép đồng dạng biến $\mathscr{H}$ thành $\mathscr{H}'$ thì cũng có phép đồng dạng biến $\mathscr{H}'$ thành $\mathscr{H}$ và ta nói $\mathscr{H}$ và $\mathscr{H}'$ đồng dạng với nhau.
Luyện tập 2. Cho đường thẳng $d$ và hai điểm phân biệt $A, B$. Điểm $M$ thay đổi trên đường thẳng $d$. Gọi $N$ là điểm đối xứng của $M$ qua đường thẳng $AB$ và $P$ là trung điểm của đoạn thẳng $BN$. Chứng minh rằng $P$ thuộc một đường thẳng cố định.
Vận dụng. Trong hai hình Dinh Thống Nhất ở Hình 1.50, hãy chỉ ra phép đồng dạng biến hình nhỏ thành hình lớn.
BÀI TẬP
1.24. Một phép đồng dạng biến ba đỉnh $A, B, C$ của tam giác $ABC$ tương ứng thành $A', B', C'$. Chứng minh rằng
$$\frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'} = \frac{AB}{A'B'}.$$
1.25. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho phép biến hình $f$ biến mỗi điểm $M(x; y)$ thành điểm $M'(3x; -3y)$.
a) Tìm ảnh của các điểm $O(0; 0), N(2; 1)$.
b) Chứng minh rằng $f$ là một phép đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng.
1.26. Hai hình $\mathscr{H}$ và $\mathscr{H}''$ trong Hình 1.52 được vẽ trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$. Bằng quan sát, hãy chỉ ra một phép đối xứng trục $f$ và một phép vị tự $g$ sao cho phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép $f$ và $g$ (thực hiện $f$ trước, $g$ sau) biến hình $\mathscr{H}$ thành hình $\mathscr{H}''$.
Hình 1.52
Em có biết?
Hình 1.53
Ta bắt đầu với một hình tam giác đều (Hình a)). Chia mỗi cạnh của tam giác đó thành 3 đoạn thẳng có độ dài bằng nhau và vẽ một tam giác đều nhận đoạn ở giữa làm cạnh đồng thời bỏ đi đoạn ở giữa đó, ta được Hình b). Tiếp tục chia mỗi cạnh của Hình b) thành 3 đoạn thẳng có độ dài bằng nhau và vẽ một tam tam giác đều nhận đoạn ở giữa làm cạnh đồng thời bỏ đi đoạn ở giữa đó, ta được Hình c). Lặp lại quá trình trên, từ Hình c) ta tạo nên Hình d), từ Hình d), ta tạo nên Hình e), và cứ thế, ta sẽ được một dãy các hình, được gọi là dãy hình bông tuyết Koch (được đặt theo tên nhà toán học người Thuỵ Điển, Helge von Koch). Ta hoàn toàn có thể chứng minh được rằng, nếu tam giác đều ban đầu có cạnh là $a$ thì bông tuyết Koch thứ $n$ có chu vi là $\left(\frac{4}{3}\right)^{n-1} \cdot 3a$ và có diện tích bằng $\left(8-3\left(\frac{4}{9}\right)^{n-1}\right) \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{20}$. "Giới hạn" của dãy bông tuyết trên (khi $n$ tiến ra vô tận) được gọi là bông tuyết Koch. Như vậy, bông tuyết Koch có chu vi bằng vô tận $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{4}{3}\right)^{n-1} \cdot 3 a=+\infty$, nhưng có diện tích hữu hạn và bằng $\frac{8}{5}$ lần diện tích tam giác đều ban đầu $\left(\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(8-3\left(\frac{4}{9}\right)^{n-1}\right) \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{20}=\frac{2 a^{2} \sqrt{3}}{5}\right)$.
Mặc dù trong quá trình trên chúng ta chỉ tuân theo một quy tắc và lặp đi lặp lại nhiều lần, nhưng sau một số bước ta sẽ nhận được những hình trông khác xa so với hình ban đầu. Hình được tạo thành từ một hình cơ bản sau một quá trình lặp đi lặp lại một quy tắc được gọi là hình fractal. Bằng máy tính người ta dễ dàng tạo nên các hình fractal. Các cấu trúc fractal cũng phổ biến trong tự nhiên. Điều đáng lưu ý ở đây là mặc dù cấu trúc ban đầu có thể rất đơn giản nhưng sau một số bước đã tạo nên những cấu trúc phức tạp đến đáng kinh ngạc. Mặt khác, vì theo một quy tắc và lặp đi lặp lại nhiều lần, nên cấu trúc fractal cho ta hình ảnh mang tính tự đồng dạng như cây đồng dạng với cành cây.
Hình 1.54. Một số cấu trúc fractal
Hình 1.53
Ta bắt đầu với một hình tam giác đều (Hình a)). Chia mỗi cạnh của tam giác đó thành 3 đoạn thẳng có độ dài bằng nhau và vẽ một tam giác đều nhận đoạn ở giữa làm cạnh đồng thời bỏ đi đoạn ở giữa đó, ta được Hình b). Tiếp tục chia mỗi cạnh của Hình b) thành 3 đoạn thẳng có độ dài bằng nhau và vẽ một tam tam giác đều nhận đoạn ở giữa làm cạnh đồng thời bỏ đi đoạn ở giữa đó, ta được Hình c). Lặp lại quá trình trên, từ Hình c) ta tạo nên Hình d), từ Hình d), ta tạo nên Hình e), và cứ thế, ta sẽ được một dãy các hình, được gọi là dãy hình bông tuyết Koch (được đặt theo tên nhà toán học người Thuỵ Điển, Helge von Koch). Ta hoàn toàn có thể chứng minh được rằng, nếu tam giác đều ban đầu có cạnh là $a$ thì bông tuyết Koch thứ $n$ có chu vi là $\left(\frac{4}{3}\right)^{n-1} \cdot 3a$ và có diện tích bằng $\left(8-3\left(\frac{4}{9}\right)^{n-1}\right) \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{20}$. "Giới hạn" của dãy bông tuyết trên (khi $n$ tiến ra vô tận) được gọi là bông tuyết Koch. Như vậy, bông tuyết Koch có chu vi bằng vô tận $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{4}{3}\right)^{n-1} \cdot 3 a=+\infty$, nhưng có diện tích hữu hạn và bằng $\frac{8}{5}$ lần diện tích tam giác đều ban đầu $\left(\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(8-3\left(\frac{4}{9}\right)^{n-1}\right) \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{20}=\frac{2 a^{2} \sqrt{3}}{5}\right)$.
Mặc dù trong quá trình trên chúng ta chỉ tuân theo một quy tắc và lặp đi lặp lại nhiều lần, nhưng sau một số bước ta sẽ nhận được những hình trông khác xa so với hình ban đầu. Hình được tạo thành từ một hình cơ bản sau một quá trình lặp đi lặp lại một quy tắc được gọi là hình fractal. Bằng máy tính người ta dễ dàng tạo nên các hình fractal. Các cấu trúc fractal cũng phổ biến trong tự nhiên. Điều đáng lưu ý ở đây là mặc dù cấu trúc ban đầu có thể rất đơn giản nhưng sau một số bước đã tạo nên những cấu trúc phức tạp đến đáng kinh ngạc. Mặt khác, vì theo một quy tắc và lặp đi lặp lại nhiều lần, nên cấu trúc fractal cho ta hình ảnh mang tính tự đồng dạng như cây đồng dạng với cành cây.
Hình 1.54. Một số cấu trúc fractal
Bài tập cuối chuyên đề 1
1.27. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta: 2x - y - 1 = 0$ và hai điểm $A(-1; 2)$, $B(-3; 4)$.
a) Tìm tọa độ điểm $A'$ là ảnh của điểm $A$ qua phép đối xứng trục $\Delta$.
b) Xác định điểm $M$ thuộc đường thẳng $\Delta$ sao cho $MA + MB$ đạt giá trị nhỏ nhất.
1.28. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d: 2x - y + 5 = 0$. Viết phương trình đường thẳng $d'$ là ảnh của đường thẳng $d$ qua phép tịnh tiến theo vector $\vec{u}(-3; 4)$.
1.29. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C): x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$. Viết phương trình của đường tròn $(C')$ là ảnh của đường tròn $(C)$ qua phép đối xứng tâm $A(3; -3)$.
1.30. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C): (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$. Phép vị tự tâm $O(0;0)$ với tỉ số $k = -2$ biến đường tròn $(C)$ thành đường tròn $(C')$. Viết phương trình đường tròn $(C')$.
1.31. Cho đường thẳng $d$ và hai điểm $A, B$ cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ $d$. Hai điểm $E, F$ thay đổi trên $d$ sao cho $\overrightarrow{EF}$ không đổi. Xác định vị trí của hai điểm $E, F$ để $AE + BF$ nhỏ nhất.
1.32. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. Các đỉnh $B, C$ cố định còn đỉnh $A$ thay đổi trên đường tròn đó. Vẽ hình bình hành $ABCD$. Chứng minh rằng điểm $D$ luôn thuộc một đường tròn cố định.
1.33. Cho nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$ và điểm $M$ trên nửa đường tròn đó. Dựng về phía ngoài của tam giác $ABM$ tam giác $AMN$ vuông cân tại $M$. Chứng minh rằng khi $M$ thay đổi trên nửa đường tròn thì điểm $N$ luôn thuộc một nửa đường tròn cố định.
1.34. Bằng quan sát và đo đạc, hãy cho biết hai hình sau (H.1.55) có đồng dạng với nhau hay không.
Hình 1.55
1.27. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta: 2x - y - 1 = 0$ và hai điểm $A(-1; 2)$, $B(-3; 4)$.
a) Tìm tọa độ điểm $A'$ là ảnh của điểm $A$ qua phép đối xứng trục $\Delta$.
b) Xác định điểm $M$ thuộc đường thẳng $\Delta$ sao cho $MA + MB$ đạt giá trị nhỏ nhất.
1.28. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d: 2x - y + 5 = 0$. Viết phương trình đường thẳng $d'$ là ảnh của đường thẳng $d$ qua phép tịnh tiến theo vector $\vec{u}(-3; 4)$.
1.29. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C): x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$. Viết phương trình của đường tròn $(C')$ là ảnh của đường tròn $(C)$ qua phép đối xứng tâm $A(3; -3)$.
1.30. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C): (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$. Phép vị tự tâm $O(0;0)$ với tỉ số $k = -2$ biến đường tròn $(C)$ thành đường tròn $(C')$. Viết phương trình đường tròn $(C')$.
1.31. Cho đường thẳng $d$ và hai điểm $A, B$ cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ $d$. Hai điểm $E, F$ thay đổi trên $d$ sao cho $\overrightarrow{EF}$ không đổi. Xác định vị trí của hai điểm $E, F$ để $AE + BF$ nhỏ nhất.
1.32. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. Các đỉnh $B, C$ cố định còn đỉnh $A$ thay đổi trên đường tròn đó. Vẽ hình bình hành $ABCD$. Chứng minh rằng điểm $D$ luôn thuộc một đường tròn cố định.
1.33. Cho nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$ và điểm $M$ trên nửa đường tròn đó. Dựng về phía ngoài của tam giác $ABM$ tam giác $AMN$ vuông cân tại $M$. Chứng minh rằng khi $M$ thay đổi trên nửa đường tròn thì điểm $N$ luôn thuộc một nửa đường tròn cố định.
1.34. Bằng quan sát và đo đạc, hãy cho biết hai hình sau (H.1.55) có đồng dạng với nhau hay không.
Hình 1.55
CHUYÊN ĐỀ 2
LÀM QUEN VỚI MỘT VÀI KHÁI NIỆM CỦA LÍ THUYẾT ĐỒ THỊ
Đường đi Hamilton trên khối thập nhị diện đều (khối 12 mặt đều)
Chuyên đề này giới thiệu một vài khái niệm cơ bản và kết quả ban đầu của lí thuyết đồ thị, một nhánh của toán học rời rạc có nhiều ứng dụng trong thực tế, và áp dụng giải quyết bài toán tìm đường đi tối ưu trong một vài trường hợp đơn giản.
Bài 8. MỘT VÀI KHÁI NIỆM CƠ BẢN
THUẬT NGỮ
Đồ thị
Đỉnh, cạnh
Đường đi, chu trình
Bậc của đỉnh
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết một số khái niệm cơ bản: đồ thị, đỉnh, cạnh, đường đi, chu trình, bậc của đỉnh.
Trước khi vào một hội nghị, các đại biểu bắt tay nhau (hai người bắt tay nhau nhiều nhất 1 lần). Có một đại biểu không bắt tay ai hết và thấy rằng có 4 người bắt tay 4 lần, 5 người bắt tay 5 lần và 6 người bắt tay 6 lần. Nếu hội nghị có đúng 16 đại biểu thì ông ta đã đếm nhầm. Vì sao có thể kết luận như vậy?
Những kiến thức ban đầu về lí thuyết đồ thị trong bài học này sẽ giúp chúng ta tìm được câu trả lời cho tình huống trên.
LÀM QUEN VỚI MỘT VÀI KHÁI NIỆM CỦA LÍ THUYẾT ĐỒ THỊ
Đường đi Hamilton trên khối thập nhị diện đều (khối 12 mặt đều)
Chuyên đề này giới thiệu một vài khái niệm cơ bản và kết quả ban đầu của lí thuyết đồ thị, một nhánh của toán học rời rạc có nhiều ứng dụng trong thực tế, và áp dụng giải quyết bài toán tìm đường đi tối ưu trong một vài trường hợp đơn giản.
Bài 8. MỘT VÀI KHÁI NIỆM CƠ BẢN
THUẬT NGỮ
Đồ thị
Đỉnh, cạnh
Đường đi, chu trình
Bậc của đỉnh
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết một số khái niệm cơ bản: đồ thị, đỉnh, cạnh, đường đi, chu trình, bậc của đỉnh.
Trước khi vào một hội nghị, các đại biểu bắt tay nhau (hai người bắt tay nhau nhiều nhất 1 lần). Có một đại biểu không bắt tay ai hết và thấy rằng có 4 người bắt tay 4 lần, 5 người bắt tay 5 lần và 6 người bắt tay 6 lần. Nếu hội nghị có đúng 16 đại biểu thì ông ta đã đếm nhầm. Vì sao có thể kết luận như vậy?
Những kiến thức ban đầu về lí thuyết đồ thị trong bài học này sẽ giúp chúng ta tìm được câu trả lời cho tình huống trên.
1. ĐỒ THỊ
a) Khái niệm đồ thị
HD1. Nhận biết khái niệm đồ thị
Có bốn bạn học sinh khối 11 là An, Bình, Cường và Dung, trong đó: An là bạn của Bình và Cường, nhưng không là bạn của Dung; Dung là bạn của Cường, nhưng không là bạn của Bình; Bình là bạn của Cường.
a) Hãy biểu diễn mỗi bạn An, Bình, Cường, Dung bằng một điểm trên mặt phẳng và dùng chữ cái đầu (in hoa) trong tên của họ để đặt tên cho các điểm này.
b) Nếu hai người là bạn của nhau, hãy nối các điểm biểu diễn tương ứng bằng một đoạn thẳng (hay đoạn đường cong).
c) Từ hình vẽ thu được ở HD1b, hãy cho biết: ai có nhiều bạn nhất và ai có ít bạn nhất?
Hình vẽ thu được ở HD1b (diễn tả mối quan hệ bạn bè giữa bốn học sinh đã cho) gọi là một đồ thị. Tổng quát ta có định nghĩa sau:
Một đồ thị là một tập hợp hữu hạn các điểm (gọi là các đỉnh của đồ thị) cùng với tập hợp các đoạn đường cong hay thẳng (gọi là cạnh của đồ thị) có đầu mút tại các đỉnh của đồ thị.
Chú ý. Theo định nghĩa của đồ thị, các cạnh của đồ thị thẳng hay cong, dài hay ngắn, các đỉnh ở vị trí nào đều không quan trọng, mà bản chất là đồ thị có bao nhiêu đỉnh, bao nhiêu cạnh và đỉnh nào được nối với đỉnh nào.
Ta thường kí hiệu $V(G)$ là tập hợp các đỉnh và $E(G)$ là tập hợp các cạnh của đồ thị $G$, và viết $G = (V, E)$. Cạnh nối hai đỉnh $A$ và $B$ thường được kí hiệu là $AB$ hoặc $BA$, và khi đó $A$ và $B$ gọi là hai đỉnh kề nhau. Nếu hai đầu mút của cạnh trùng nhau tại đỉnh $C$ thì ta gọi cạnh ấy là một khuyên, kí hiệu là $CC$.
Hình 2.1 cho ta một đồ thị có 4 đỉnh là $A, B, C, D$ và 5 cạnh là $AB, AC, AD, BC$ và $CC$.
Hình 2.1
Ví dụ 1. Viết tập hợp các đỉnh và tập hợp các cạnh của đồ thị $G$ trong Hình 2.2.
Giải
Tập hợp các đỉnh của đồ thị $G$ là
$$V(G) = {A, B, C, D}.$$
Tập hợp các cạnh của đồ thị $G$ là
$$E(G) = {AB, AC, BC, CD}.$$
Hình 2.2
a) Khái niệm đồ thị
HD1. Nhận biết khái niệm đồ thị
Có bốn bạn học sinh khối 11 là An, Bình, Cường và Dung, trong đó: An là bạn của Bình và Cường, nhưng không là bạn của Dung; Dung là bạn của Cường, nhưng không là bạn của Bình; Bình là bạn của Cường.
a) Hãy biểu diễn mỗi bạn An, Bình, Cường, Dung bằng một điểm trên mặt phẳng và dùng chữ cái đầu (in hoa) trong tên của họ để đặt tên cho các điểm này.
b) Nếu hai người là bạn của nhau, hãy nối các điểm biểu diễn tương ứng bằng một đoạn thẳng (hay đoạn đường cong).
c) Từ hình vẽ thu được ở HD1b, hãy cho biết: ai có nhiều bạn nhất và ai có ít bạn nhất?
Hình vẽ thu được ở HD1b (diễn tả mối quan hệ bạn bè giữa bốn học sinh đã cho) gọi là một đồ thị. Tổng quát ta có định nghĩa sau:
Một đồ thị là một tập hợp hữu hạn các điểm (gọi là các đỉnh của đồ thị) cùng với tập hợp các đoạn đường cong hay thẳng (gọi là cạnh của đồ thị) có đầu mút tại các đỉnh của đồ thị.
Chú ý. Theo định nghĩa của đồ thị, các cạnh của đồ thị thẳng hay cong, dài hay ngắn, các đỉnh ở vị trí nào đều không quan trọng, mà bản chất là đồ thị có bao nhiêu đỉnh, bao nhiêu cạnh và đỉnh nào được nối với đỉnh nào.
Ta thường kí hiệu $V(G)$ là tập hợp các đỉnh và $E(G)$ là tập hợp các cạnh của đồ thị $G$, và viết $G = (V, E)$. Cạnh nối hai đỉnh $A$ và $B$ thường được kí hiệu là $AB$ hoặc $BA$, và khi đó $A$ và $B$ gọi là hai đỉnh kề nhau. Nếu hai đầu mút của cạnh trùng nhau tại đỉnh $C$ thì ta gọi cạnh ấy là một khuyên, kí hiệu là $CC$.
Hình 2.1 cho ta một đồ thị có 4 đỉnh là $A, B, C, D$ và 5 cạnh là $AB, AC, AD, BC$ và $CC$.
Hình 2.1
Ví dụ 1. Viết tập hợp các đỉnh và tập hợp các cạnh của đồ thị $G$ trong Hình 2.2.
Giải
Tập hợp các đỉnh của đồ thị $G$ là
$$V(G) = {A, B, C, D}.$$
Tập hợp các cạnh của đồ thị $G$ là
$$E(G) = {AB, AC, BC, CD}.$$
Hình 2.2
Luyện tập 1. Bảng F của giải vô địch bóng đá thế giới World Cup 2018 gồm bốn đội: Đức, Hàn Quốc, Mexico và Thuỵ Điển. Biểu diễn các đội này bằng các điểm phân biệt kí hiệu lần lượt là $D, H, M, T$ (vẽ sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng để dễ quan sát) và nếu hai đội nào đấu với nhau thì nối hai điểm tương ứng bằng một đoạn thẳng, ta sẽ được một đồ thị $G$.
Viết tập hợp các đỉnh và tập hợp các cạnh của đồ thị $G$.
b) Đơn đồ thị và đa đồ thị
HĐ2. Nhận biết khái niệm đơn đồ thị
Xét đồ thị cho trong Hình 2.2.
a) Đồ thị trên có khuyên không?
b) Có hai đỉnh nào của đồ thị được nối với nhau bằng nhiều hơn một cạnh không?
Một đồ thị không có khuyên, trong đó hai đỉnh được nối bằng nhiều nhất một cạnh (không có hai cạnh nào cùng nối một cặp đỉnh) gọi là một đơn đồ thị.
Một đồ thị không có khuyên, trong đó hai đỉnh có thể nối bằng nhiều cạnh, gọi là một đa đồ thị.
Chú ý. Trong cuốn sách này, khi chỉ nói từ "đồ thị" thì ta hiểu là đơn đồ thị. Khi nào cần xét đa đồ thị thì ta sẽ nói rõ.
Ví dụ 2. Hình nào sau đây biểu diễn một đơn đồ thị? Một đa đồ thị?
Hình 2.3
Giải
Hình a) không có khuyên và có hai cạnh nối hai đỉnh $Z$ và $W$, nên là một đa đồ thị.
Hình b) có khuyên nên không phải là đơn đồ thị, cũng không phải là đa đồ thị.
Hình c) không có khuyên và hai đỉnh chỉ được nối bằng nhiều nhất một cạnh nên là một đơn đồ thị.
Luyện tập 2. Vẽ đồ thị $G$ với các đỉnh và các cạnh như sau:
$$V(G) = {U, W, X, Z} \text{ và } E(G) = {UW, WX, WZ, XZ}.$$
$G$ có phải là một đơn đồ thị không?
c) Đồ thị đầy đủ
HĐ3. Nhận biết đồ thị đầy đủ
Xét đồ thị nhận được trong Luyện tập 1. Có cặp đỉnh nào của đồ thị này mà không có cạnh nào nối chúng không?
Viết tập hợp các đỉnh và tập hợp các cạnh của đồ thị $G$.
b) Đơn đồ thị và đa đồ thị
HĐ2. Nhận biết khái niệm đơn đồ thị
Xét đồ thị cho trong Hình 2.2.
a) Đồ thị trên có khuyên không?
b) Có hai đỉnh nào của đồ thị được nối với nhau bằng nhiều hơn một cạnh không?
Một đồ thị không có khuyên, trong đó hai đỉnh được nối bằng nhiều nhất một cạnh (không có hai cạnh nào cùng nối một cặp đỉnh) gọi là một đơn đồ thị.
Một đồ thị không có khuyên, trong đó hai đỉnh có thể nối bằng nhiều cạnh, gọi là một đa đồ thị.
Chú ý. Trong cuốn sách này, khi chỉ nói từ "đồ thị" thì ta hiểu là đơn đồ thị. Khi nào cần xét đa đồ thị thì ta sẽ nói rõ.
Ví dụ 2. Hình nào sau đây biểu diễn một đơn đồ thị? Một đa đồ thị?
Hình 2.3
Giải
Hình a) không có khuyên và có hai cạnh nối hai đỉnh $Z$ và $W$, nên là một đa đồ thị.
Hình b) có khuyên nên không phải là đơn đồ thị, cũng không phải là đa đồ thị.
Hình c) không có khuyên và hai đỉnh chỉ được nối bằng nhiều nhất một cạnh nên là một đơn đồ thị.
Luyện tập 2. Vẽ đồ thị $G$ với các đỉnh và các cạnh như sau:
$$V(G) = {U, W, X, Z} \text{ và } E(G) = {UW, WX, WZ, XZ}.$$
$G$ có phải là một đơn đồ thị không?
c) Đồ thị đầy đủ
HĐ3. Nhận biết đồ thị đầy đủ
Xét đồ thị nhận được trong Luyện tập 1. Có cặp đỉnh nào của đồ thị này mà không có cạnh nào nối chúng không?
Một đồ thị là đầy đủ khi và chỉ khi mỗi cặp đỉnh của nó đều được nối bằng một cạnh.
Nhận xét. Một đồ thị đầy đủ là đồ thị mà mọi cặp đỉnh của nó đều là kề nhau. Một đồ thị đầy đủ hoàn toàn được xác định bởi số đỉnh của nó. Đồ thị đầy đủ có $n$ đỉnh thường được kí hiệu là $K_n$.
» Ví dụ 3. Vẽ các đồ thị đầy đủ $K_2, K_3$ và $K_4$.
Giải
Ta có các đồ thị $K_2, K_3$ và $K_4$ như Hình 2.4.
Hình 2.4
» Luyện tập 3. Vẽ các đồ thị đầy đủ có 5 đỉnh, có 6 đỉnh.
2. BẬC CỦA ĐỈNH
» HĐ4. Nhận biết bậc của đỉnh
Cho đồ thị như Hình 2.5. Tìm các đỉnh là đầu mút của:
0 cạnh; 1 cạnh; 2 cạnh; 3 cạnh.
Hình 2.5
Một đỉnh của đồ thị được gọi là đỉnh bậc n nếu nó là đầu mút của $n$ cạnh.
Chú ý. Đỉnh bậc 0 gọi là đỉnh cô lập. Đỉnh bậc 1 gọi là đỉnh treo.
Trong đồ thị ở Hình 2.5, $D$ là đỉnh bậc 3, $F$ là đỉnh treo, $G$ là đỉnh cô lập.
» Ví dụ 4. Xác định bậc của các đỉnh của đồ thị ở Hình 2.6
Giải
$A$ là đỉnh bậc 2, $B$ là đỉnh bậc 3, $C$ là đỉnh bậc 4, $D$ là đỉnh bậc 1, $E$ là đỉnh bậc 0.
Hình 2.6
Ta có thể chứng minh định lí (gọi là Định lí bắt tay) sau đây.
Trong mọi đồ thị G, tổng tất cả các bậc của các đỉnh là một số chẵn và bằng hai lần tổng số cạnh của G.
Nhận xét. Một đồ thị đầy đủ là đồ thị mà mọi cặp đỉnh của nó đều là kề nhau. Một đồ thị đầy đủ hoàn toàn được xác định bởi số đỉnh của nó. Đồ thị đầy đủ có $n$ đỉnh thường được kí hiệu là $K_n$.
» Ví dụ 3. Vẽ các đồ thị đầy đủ $K_2, K_3$ và $K_4$.
Giải
Ta có các đồ thị $K_2, K_3$ và $K_4$ như Hình 2.4.
Hình 2.4
» Luyện tập 3. Vẽ các đồ thị đầy đủ có 5 đỉnh, có 6 đỉnh.
2. BẬC CỦA ĐỈNH
» HĐ4. Nhận biết bậc của đỉnh
Cho đồ thị như Hình 2.5. Tìm các đỉnh là đầu mút của:
0 cạnh; 1 cạnh; 2 cạnh; 3 cạnh.
Hình 2.5
Một đỉnh của đồ thị được gọi là đỉnh bậc n nếu nó là đầu mút của $n$ cạnh.
Chú ý. Đỉnh bậc 0 gọi là đỉnh cô lập. Đỉnh bậc 1 gọi là đỉnh treo.
Trong đồ thị ở Hình 2.5, $D$ là đỉnh bậc 3, $F$ là đỉnh treo, $G$ là đỉnh cô lập.
» Ví dụ 4. Xác định bậc của các đỉnh của đồ thị ở Hình 2.6
Giải
$A$ là đỉnh bậc 2, $B$ là đỉnh bậc 3, $C$ là đỉnh bậc 4, $D$ là đỉnh bậc 1, $E$ là đỉnh bậc 0.
Hình 2.6
Ta có thể chứng minh định lí (gọi là Định lí bắt tay) sau đây.
Trong mọi đồ thị G, tổng tất cả các bậc của các đỉnh là một số chẵn và bằng hai lần tổng số cạnh của G.
Hệ quả. Số đỉnh bậc lẻ của mọi đồ thị là một số chẵn.
Ví dụ 5. Cho đồ thị $G$ với 14 đỉnh và 25 cạnh. Biết rằng mỗi đỉnh của đồ thị $G$ đều có bậc 3 hoặc bậc 5. Hỏi $G$ có bao nhiêu đỉnh bậc 3?
Giải
Gọi $x$ là số đỉnh bậc 3 của $G$. Khi đó số đỉnh bậc 5 của $G$ là $14 - x$. Tổng tất cả các bậc của đỉnh là $3x + 5(14 - x)$.
Vì đồ thị có 25 cạnh nên ta có: $3x + 5 (14 - x) = 2 \cdot 25 = 50 \Leftrightarrow 2x = 20 \Leftrightarrow x = 10$.
Vậy đồ thị $G$ có 10 đỉnh bậc 3.
Ví dụ 6. Hãy giải bài toán trong tình huống mở đầu.
Giải
Ta vẽ một đồ thị với 16 đỉnh tương ứng với 16 đại biểu tham dự hội nghị. Nếu hai đại biểu nào bắt tay nhau thì ta nối hai đỉnh tương ứng bằng một cạnh.
Theo số liệu mà đại biểu đếm số bắt tay cùng cấp, ta có một đồ thị với 16 đỉnh, trong đó có 1 đỉnh bậc 0, 4 đỉnh bậc 4, 5 đỉnh bậc 5 và 6 đỉnh bậc 6.
Ở đây số đỉnh bậc 5 là 5, là một số lẻ. Điều này mâu thuẫn với hệ quả của Định lí bắt tay.
Vậy đại biểu đó đã đếm sai.
Luyện tập 4. Chứng minh rằng không có đơn đồ thị với 12 đỉnh và 28 cạnh mà các đỉnh đều có bậc 3 hoặc 4.
3. ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH
a) Khái niệm đường đi và chu trình
HD5. Nhận biết khái niệm đường đi và chu trình
Cho đồ thị như Hình 2.7. Bằng cách đi dọc theo các cạnh, với điều kiện không đi qua cạnh nào quá một lần (có thể có cạnh không cần đi qua), hãy chỉ ra các cách để:
a) Đi từ đỉnh $A$ đến đỉnh $E$.
b) Đi từ đỉnh $A$ và lại quay về đỉnh $A$.
Hình 2.7
Trong một đồ thị $G$, một dãy cạnh nối tiếp (hai cạnh nối tiếp là hai cạnh có chung một đầu mút) $AB, BC, CD, ..., MN, NP$ gọi là một đường đi nối $A$ với $P$, kí hiệu là $ABCD...MNP$. Điểm $A$ gọi là đầu đường, điểm $P$ gọi là cuối đường.
Một đường đi khép kín (đầu đường trùng với cuối đường) gọi là một chu trình.
Một đường đi (chu trình) qua $n$ cạnh gọi là một đường đi (chu trình) có độ dài $n$.
Một đường đi (hay chu trình) là sơ cấp nếu nó không đi qua đỉnh nào hai lần trở lên. Một đường đi (chu trình) là đơn giản nếu nó không đi qua cạnh nào hai lần trở lên.
Ví dụ 5. Cho đồ thị $G$ với 14 đỉnh và 25 cạnh. Biết rằng mỗi đỉnh của đồ thị $G$ đều có bậc 3 hoặc bậc 5. Hỏi $G$ có bao nhiêu đỉnh bậc 3?
Giải
Gọi $x$ là số đỉnh bậc 3 của $G$. Khi đó số đỉnh bậc 5 của $G$ là $14 - x$. Tổng tất cả các bậc của đỉnh là $3x + 5(14 - x)$.
Vì đồ thị có 25 cạnh nên ta có: $3x + 5 (14 - x) = 2 \cdot 25 = 50 \Leftrightarrow 2x = 20 \Leftrightarrow x = 10$.
Vậy đồ thị $G$ có 10 đỉnh bậc 3.
Ví dụ 6. Hãy giải bài toán trong tình huống mở đầu.
Giải
Ta vẽ một đồ thị với 16 đỉnh tương ứng với 16 đại biểu tham dự hội nghị. Nếu hai đại biểu nào bắt tay nhau thì ta nối hai đỉnh tương ứng bằng một cạnh.
Theo số liệu mà đại biểu đếm số bắt tay cùng cấp, ta có một đồ thị với 16 đỉnh, trong đó có 1 đỉnh bậc 0, 4 đỉnh bậc 4, 5 đỉnh bậc 5 và 6 đỉnh bậc 6.
Ở đây số đỉnh bậc 5 là 5, là một số lẻ. Điều này mâu thuẫn với hệ quả của Định lí bắt tay.
Vậy đại biểu đó đã đếm sai.
Luyện tập 4. Chứng minh rằng không có đơn đồ thị với 12 đỉnh và 28 cạnh mà các đỉnh đều có bậc 3 hoặc 4.
3. ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH
a) Khái niệm đường đi và chu trình
HD5. Nhận biết khái niệm đường đi và chu trình
Cho đồ thị như Hình 2.7. Bằng cách đi dọc theo các cạnh, với điều kiện không đi qua cạnh nào quá một lần (có thể có cạnh không cần đi qua), hãy chỉ ra các cách để:
a) Đi từ đỉnh $A$ đến đỉnh $E$.
b) Đi từ đỉnh $A$ và lại quay về đỉnh $A$.
Hình 2.7
Trong một đồ thị $G$, một dãy cạnh nối tiếp (hai cạnh nối tiếp là hai cạnh có chung một đầu mút) $AB, BC, CD, ..., MN, NP$ gọi là một đường đi nối $A$ với $P$, kí hiệu là $ABCD...MNP$. Điểm $A$ gọi là đầu đường, điểm $P$ gọi là cuối đường.
Một đường đi khép kín (đầu đường trùng với cuối đường) gọi là một chu trình.
Một đường đi (chu trình) qua $n$ cạnh gọi là một đường đi (chu trình) có độ dài $n$.
Một đường đi (hay chu trình) là sơ cấp nếu nó không đi qua đỉnh nào hai lần trở lên. Một đường đi (chu trình) là đơn giản nếu nó không đi qua cạnh nào hai lần trở lên.
Ví dụ 7. Cho đồ thị đầy đủ có 4 đỉnh như Hình 2.8. Tìm những chu trình sơ cấp xuất phát từ đỉnh $A$ và có: độ dài 3; độ dài 4.
Giải
Những chu trình sơ cấp có độ dài 3 xuất phát từ đỉnh $A$ là:
$ABCA, ABDA, ACBA, ACDA, ADBA, ADCA$.
Những chu trình sơ cấp có độ dài 4 xuất phát từ đỉnh $A$ là:
$ABCDA, ABDCA, ACBDA, ACDBA, ADBCA, ADCBA$.
Hình 2.8
Luyện tập 5. Cho đồ thị đầy đủ có 5 đỉnh như Hình 2.9. Tìm những chu trình sơ cấp xuất phát từ đỉnh $A$ và có: độ dài 4; độ dài 5.
Hình 2.9
b) Tính liên thông của đồ thị
HĐ6. Nhận biết tính liên thông của đồ thị
Trong đồ thị ở Hình 2.10:
a) Tìm một đường đi từ đỉnh $A$ đến đỉnh $E$.
b) Có tồn tại một đường đi từ đỉnh $A$ đến đỉnh $F$ hay không?
Hình 2.10
Hai đỉnh $A$ và $B$ của một đồ thị gọi là liên thông nếu có một đường đi nối $A$ và $B$.
Một đồ thị $G$ được gọi là liên thông nếu mọi cặp đỉnh của $G$ là liên thông.
Một cạnh $CD$ của đồ thị $G$ gọi là một cầu nếu khi bỏ cạnh $CD$ thì hai đỉnh $C$ và $D$ không còn liên thông nữa.
Mỗi đồ thị $G$ không liên thông đều được chia thành một số đồ thị (gọi là đồ thị con của $G$) liên thông, rời nhau, mỗi đồ thị con đó gọi là một thành phần liên thông của $G$.
Ví dụ 8. Tìm các thành phần liên thông của đồ thị trong Hình 2.11.
Giải
Đồ thị ở Hình 2.11 có hai thành phần liên thông: một thành phần gồm 3 đỉnh $A, B, C$ và các cạnh $AB, AC, BC$; một thành phần gồm hai đỉnh $D, E$ và cạnh $DE$.
Người ta chứng minh được rằng:
Một đồ thị $2n$ đỉnh, mỗi đỉnh có bậc ít nhất bằng $n$, là đồ thị liên thông.
Hình 2.11
Ví dụ 9. Giả sử một lớp có 40 học sinh. Biết rằng mỗi em có số điện thoại của ít nhất là 20 bạn trong lớp và nếu bạn $A$ có số điện thoại của bạn $B$ thì bạn $B$ cũng có số điện thoại của bạn $A$. Chứng minh rằng bất cứ hai em nào trong lớp cũng có số điện thoại của nhau.
Giải
Những chu trình sơ cấp có độ dài 3 xuất phát từ đỉnh $A$ là:
$ABCA, ABDA, ACBA, ACDA, ADBA, ADCA$.
Những chu trình sơ cấp có độ dài 4 xuất phát từ đỉnh $A$ là:
$ABCDA, ABDCA, ACBDA, ACDBA, ADBCA, ADCBA$.
Hình 2.8
Luyện tập 5. Cho đồ thị đầy đủ có 5 đỉnh như Hình 2.9. Tìm những chu trình sơ cấp xuất phát từ đỉnh $A$ và có: độ dài 4; độ dài 5.
Hình 2.9
b) Tính liên thông của đồ thị
HĐ6. Nhận biết tính liên thông của đồ thị
Trong đồ thị ở Hình 2.10:
a) Tìm một đường đi từ đỉnh $A$ đến đỉnh $E$.
b) Có tồn tại một đường đi từ đỉnh $A$ đến đỉnh $F$ hay không?
Hình 2.10
Hai đỉnh $A$ và $B$ của một đồ thị gọi là liên thông nếu có một đường đi nối $A$ và $B$.
Một đồ thị $G$ được gọi là liên thông nếu mọi cặp đỉnh của $G$ là liên thông.
Một cạnh $CD$ của đồ thị $G$ gọi là một cầu nếu khi bỏ cạnh $CD$ thì hai đỉnh $C$ và $D$ không còn liên thông nữa.
Mỗi đồ thị $G$ không liên thông đều được chia thành một số đồ thị (gọi là đồ thị con của $G$) liên thông, rời nhau, mỗi đồ thị con đó gọi là một thành phần liên thông của $G$.
Ví dụ 8. Tìm các thành phần liên thông của đồ thị trong Hình 2.11.
Giải
Đồ thị ở Hình 2.11 có hai thành phần liên thông: một thành phần gồm 3 đỉnh $A, B, C$ và các cạnh $AB, AC, BC$; một thành phần gồm hai đỉnh $D, E$ và cạnh $DE$.
Người ta chứng minh được rằng:
Một đồ thị $2n$ đỉnh, mỗi đỉnh có bậc ít nhất bằng $n$, là đồ thị liên thông.
Hình 2.11
Ví dụ 9. Giả sử một lớp có 40 học sinh. Biết rằng mỗi em có số điện thoại của ít nhất là 20 bạn trong lớp và nếu bạn $A$ có số điện thoại của bạn $B$ thì bạn $B$ cũng có số điện thoại của bạn $A$. Chứng minh rằng bất cứ hai em nào trong lớp cũng có số điện thoại của nhau.
Giải
Ta đặt tương ứng mỗi em học sinh trong lớp với một đỉnh của đồ thị và hai đỉnh được gọi là liên thông nếu hai em có số điện thoại của nhau.
Bài toán trở thành: Cho một đồ thị có 40 đỉnh. Biết mỗi đỉnh bất kì đều liên thông với ít nhất 20 đỉnh khác. Chứng minh rằng đồ thị là liên thông.
Đồ thị này có 40 đỉnh, mỗi đỉnh có bậc ít nhất là 20, do đó đồ thị là liên thông.
Vậy, bất cứ hai em học sinh nào trong lớp cũng có số điện thoại của nhau.
Hình 2.12
» Luyện tập 6. Chứng minh đồ thị ở Hình 2.12 là liên thông. Hãy chỉ ra một đường đi nối đỉnh 1 và đỉnh 6.
BÀI TẬP
2.1. Vẽ hình biểu diễn của đồ thị G với tập đỉnh $V(G) = {1; 2; 3; 4; 5}$ và tập cạnh $E(G) = {12; 14; 23; 25; 34, 35}$.
Đồ thị G có phải là đơn đồ thị không? Có phải là đồ thị đầy đủ không?
2.2. Hãy vẽ một đồ thị có 4 đỉnh và:
a) có đúng hai đỉnh cùng bậc và bậc là 1;
b) có đúng hai đỉnh cùng bậc và bậc là 2.
2.3. Một đồ thị con của đồ thị G là một đồ thị mà mọi đỉnh của nó đều là đỉnh của G và mọi cạnh của nó cũng là cạnh của G.
Những đồ thị nào trong các hình a), b), c) dưới đây là đồ thị con của đồ thị G?
Hình 2.13
2.4. Chứng minh rằng một đồ thị đầy đủ có n đỉnh thì có $\frac{n(n-1)}{2}$ cạnh.
2.5. Chứng minh rằng không tồn tại đồ thị với các đỉnh có bậc là 2, 3, 3, 4, 4 và 5.
2.6. Cho đồ thị G như Hình 2.14.
a) Tìm một đường đi từ đỉnh A đến đỉnh B.
b) G có liên thông không?
c) Trong G có chu trình sơ cấp nào không?
Hình 2.14
Ta đặt tương ứng mỗi em học sinh trong lớp với một đỉnh của đồ thị và hai đỉnh được gọi là liên thông nếu hai em có số điện thoại của nhau.
Bài toán trở thành: Cho một đồ thị có 40 đỉnh. Biết mỗi đỉnh bất kì đều liên thông với ít nhất 20 đỉnh khác. Chứng minh rằng đồ thị là liên thông.
Đồ thị này có 40 đỉnh, mỗi đỉnh có bậc ít nhất là 20, do đó đồ thị là liên thông.
Vậy, bất cứ hai em học sinh nào trong lớp cũng có số điện thoại của nhau.
Hình 2.12
» Luyện tập 6. Chứng minh đồ thị ở Hình 2.12 là liên thông. Hãy chỉ ra một đường đi nối đỉnh 1 và đỉnh 6.
BÀI TẬP
2.1. Vẽ hình biểu diễn của đồ thị G với tập đỉnh $V(G) = {1; 2; 3; 4; 5}$ và tập cạnh $E(G) = {12; 14; 23; 25; 34, 35}$.
Đồ thị G có phải là đơn đồ thị không? Có phải là đồ thị đầy đủ không?
2.2. Hãy vẽ một đồ thị có 4 đỉnh và:
a) có đúng hai đỉnh cùng bậc và bậc là 1;
b) có đúng hai đỉnh cùng bậc và bậc là 2.
2.3. Một đồ thị con của đồ thị G là một đồ thị mà mọi đỉnh của nó đều là đỉnh của G và mọi cạnh của nó cũng là cạnh của G.
Những đồ thị nào trong các hình a), b), c) dưới đây là đồ thị con của đồ thị G?
Hình 2.13
2.4. Chứng minh rằng một đồ thị đầy đủ có n đỉnh thì có $\frac{n(n-1)}{2}$ cạnh.
2.5. Chứng minh rằng không tồn tại đồ thị với các đỉnh có bậc là 2, 3, 3, 4, 4 và 5.
2.6. Cho đồ thị G như Hình 2.14.
a) Tìm một đường đi từ đỉnh A đến đỉnh B.
b) G có liên thông không?
c) Trong G có chu trình sơ cấp nào không?
Hình 2.14
Bài 9. Đường đi Euler và đường đi Hamilton
THUẬT NGỮ
Đường đi Euler
Đường đi Hamilton
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết đường đi Euler, đường đi Hamilton từ đồ thị.
Trong lí thuyết đồ thị, bài toán Bảy cây cầu ở Königsberg (nay là thành phố Kaliningrad, nước Nga) được phát biểu như sau: Thành phố có 7 cây cầu bắc qua sông như Hình 2.15a dưới đây; có thể nào đi dạo qua khắp các cây cầu mà mỗi cầu chỉ đi qua một lần không?
a)
b)
Hình 2.15
Nếu ta coi mỗi khu vực A, B, C, D của thành phố là một đỉnh, mỗi cầu qua lại hai khu vực như một cạnh nối hai đỉnh, thì bản đồ thành phố Königsberg là một đa đồ thị như Hình 2.15b. Vấn đề đặt ra chính là: Có thể vẽ được Hình 2.15b bằng một nét liền hay không?
1. ĐƯỜNG ĐI EULER
a) Khái niệm đường đi Euler
HD1. Nhận biết đường đi Euler
Hãy thử vẽ mỗi hình trên Hình 2.16 bằng một nét liền.
a)
b)
Hình 2.16
Cho một đa đồ thị G.
Một đường đi đơn giản từ đỉnh A đến đỉnh B và chứa mọi cạnh của G được gọi là một đường đi Euler từ A đến B.
Một chu trình đơn giản chứa mọi cạnh của G được gọi là một chu trình Euler của G.
Ví dụ 1. Tìm một chu trình Euler của đồ thị trên Hình 2.17
Giải
Một chu trình Euler của đồ thị là $ABECDEA$.
Hình 2.17
THUẬT NGỮ
Đường đi Euler
Đường đi Hamilton
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết đường đi Euler, đường đi Hamilton từ đồ thị.
Trong lí thuyết đồ thị, bài toán Bảy cây cầu ở Königsberg (nay là thành phố Kaliningrad, nước Nga) được phát biểu như sau: Thành phố có 7 cây cầu bắc qua sông như Hình 2.15a dưới đây; có thể nào đi dạo qua khắp các cây cầu mà mỗi cầu chỉ đi qua một lần không?
a)
b)
Hình 2.15
Nếu ta coi mỗi khu vực A, B, C, D của thành phố là một đỉnh, mỗi cầu qua lại hai khu vực như một cạnh nối hai đỉnh, thì bản đồ thành phố Königsberg là một đa đồ thị như Hình 2.15b. Vấn đề đặt ra chính là: Có thể vẽ được Hình 2.15b bằng một nét liền hay không?
1. ĐƯỜNG ĐI EULER
a) Khái niệm đường đi Euler
HD1. Nhận biết đường đi Euler
Hãy thử vẽ mỗi hình trên Hình 2.16 bằng một nét liền.
a)
b)
Hình 2.16
Cho một đa đồ thị G.
Một đường đi đơn giản từ đỉnh A đến đỉnh B và chứa mọi cạnh của G được gọi là một đường đi Euler từ A đến B.
Một chu trình đơn giản chứa mọi cạnh của G được gọi là một chu trình Euler của G.
Ví dụ 1. Tìm một chu trình Euler của đồ thị trên Hình 2.17
Giải
Một chu trình Euler của đồ thị là $ABECDEA$.
Hình 2.17
Định lí sau đây cho ta một điều kiện cần và đủ để một đa đồ thị có chu trình Euler.
Định lí 1 (Euler)
Một đa đồ thị $G$ có một chu trình Euler khi và chỉ khi $G$ liên thông và mọi đỉnh của $G$ đều có bậc chẵn.
Từ Định lí 1 ta có thể chứng minh định lí sau.
Định lí 2
Một đa đồ thị $G$ có một đường đi Euler từ $A$ đến $B$ khi và chỉ khi $G$ liên thông và mọi đỉnh của $G$ đều có bậc chẵn, chỉ trừ $A$ và $B$ có bậc lẻ.
Chú ý. Hai định lí trên cũng đúng cho trường hợp $G$ là đơn đồ thị.
» Ví dụ 2. Giải thích vì sao trong Hình 2.18:
a) Các hình a) và b) có thể vẽ được bằng một nét liền;
b) Các hình c) và d) không thể vẽ được bằng một nét liền.
Hình 2.18
Giải
a) Đồ thị ở hình a) là liên thông và các đỉnh đều có bậc chẵn (ở đây là bậc bằng 2) nên nó có chu trình Euler. Đồ thị ở hình b) là liên thông và chỉ có đúng hai đỉnh bậc lẻ (ở đây là bậc bằng 3) nên nó có đường đi Euler. Vì vậy ta có thể vẽ các hình a) và b) bằng một nét liền.
b) Các đồ thị ở hình c) và d) có bốn đỉnh bậc lẻ (ở đây là bậc bằng 3) nên chúng không có chu trình Euler và cũng không có đường đi Euler. Vì vậy ta không thể vẽ các hình c) và d) bằng một nét liền.
» Ví dụ 3. Hãy giải bài toán trong tình huống mở đầu.
Giải
Xét đa đồ thị $G$ ở Hình 2.15b. Vì các đỉnh $A, B, C, D$ đều có bậc lẻ nên theo Định lí 2, $G$ không có đường đi Euler (và không có cả chu trình Euler).
Vậy không thể nào đi dạo qua khắp các cây cầu của thành phố Königsberg mà mỗi cầu chỉ đi qua một lần.
» Luyện tập 1. Đồ thị nào dưới đây có một đường đi Euler? Hãy chỉ ra một đường đi Euler của nó.
Hình 2.19
Định lí 1 (Euler)
Một đa đồ thị $G$ có một chu trình Euler khi và chỉ khi $G$ liên thông và mọi đỉnh của $G$ đều có bậc chẵn.
Từ Định lí 1 ta có thể chứng minh định lí sau.
Định lí 2
Một đa đồ thị $G$ có một đường đi Euler từ $A$ đến $B$ khi và chỉ khi $G$ liên thông và mọi đỉnh của $G$ đều có bậc chẵn, chỉ trừ $A$ và $B$ có bậc lẻ.
Chú ý. Hai định lí trên cũng đúng cho trường hợp $G$ là đơn đồ thị.
» Ví dụ 2. Giải thích vì sao trong Hình 2.18:
a) Các hình a) và b) có thể vẽ được bằng một nét liền;
b) Các hình c) và d) không thể vẽ được bằng một nét liền.
Hình 2.18
Giải
a) Đồ thị ở hình a) là liên thông và các đỉnh đều có bậc chẵn (ở đây là bậc bằng 2) nên nó có chu trình Euler. Đồ thị ở hình b) là liên thông và chỉ có đúng hai đỉnh bậc lẻ (ở đây là bậc bằng 3) nên nó có đường đi Euler. Vì vậy ta có thể vẽ các hình a) và b) bằng một nét liền.
b) Các đồ thị ở hình c) và d) có bốn đỉnh bậc lẻ (ở đây là bậc bằng 3) nên chúng không có chu trình Euler và cũng không có đường đi Euler. Vì vậy ta không thể vẽ các hình c) và d) bằng một nét liền.
» Ví dụ 3. Hãy giải bài toán trong tình huống mở đầu.
Giải
Xét đa đồ thị $G$ ở Hình 2.15b. Vì các đỉnh $A, B, C, D$ đều có bậc lẻ nên theo Định lí 2, $G$ không có đường đi Euler (và không có cả chu trình Euler).
Vậy không thể nào đi dạo qua khắp các cây cầu của thành phố Königsberg mà mỗi cầu chỉ đi qua một lần.
» Luyện tập 1. Đồ thị nào dưới đây có một đường đi Euler? Hãy chỉ ra một đường đi Euler của nó.
Hình 2.19
2. ĐƯỜNG ĐI HAMILTON
HĐ2. Nhận biết đường đi Hamilton
Có 5 thành phố du lịch A, B, C, D, E và các con đường nối các thành phố này như Hình 2.20. Hãy chỉ ra một cách để đi tham quan cả 5 thành phố đó, mà không cần đến địa điểm nào quá một lần.
Hình 2.20
Một đường đi sơ cấp từ đỉnh A đến đỉnh B và qua mọi đỉnh của đồ thị G được gọi là một đường đi Hamilton từ A đến B.
Một chu trình sơ cấp chứa mọi đỉnh của G được gọi là một chu trình Hamilton của G.
Ví dụ 4. Tìm một chu trình Hamilton của đồ thị trên Hình 2.21.
Giải
Một chu trình Hamilton của đồ thị là ABECDA.
Định lí sau đây cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại chu trình Hamilton.
Định lí 3 (Ore)
Hình 2.21
Nếu G là đơn đồ thị có $n$ đỉnh ($n \geq 3$) và mỗi cặp đỉnh không kề nhau đều có tổng bậc không nhỏ hơn $n$ thì G có một chu trình Hamilton.
Hệ quả (Định lí Dirac). Nếu G là đơn đồ thị có $n$ đỉnh ($n \geq 3$) và mỗi đỉnh có bậc không nhỏ hơn $\frac{n}{2}$ thì G có một chu trình Hamilton.
Từ Định lí Dirac ta chứng minh được:
Định lí 4
Nếu đơn đồ thị G có $n$ đỉnh ($n \geq 2$) và mỗi đỉnh có bậc không nhỏ hơn $\frac{{n - 1}}{2}$ thì G có một đường đi Hamilton.
Ví dụ 5. Đồ thị Hình 2.22 có chu trình Hamilton không? Nếu có, hãy chỉ ra một chu trình Hamilton xuất phát từ đỉnh A.
Giải
Đồ thị có 8 đỉnh, mỗi đỉnh đều có bậc là 4. Do đó, theo Định lí Dirac, đồ thị có một chu trình Hamilton.
Có thể thấy một chu trình Hamilton xuất phát từ đỉnh A là: AGCKDHBEA.
Hình 2.22
Chú ý. Trong một số trường hợp đơn giản, ta có thể tìm đường đi (chu trình) Hamilton của G hoặc chứng minh G không có đường đi (chu trình) Hamilton dựa vào nhận xét sau: Đường đi (chu trình) Hamilton phải đi qua các cạnh có đầu mút tại những đỉnh có bậc 2 (nếu những đỉnh này không phải là đầu đường hoặc cuối đường).
HĐ2. Nhận biết đường đi Hamilton
Có 5 thành phố du lịch A, B, C, D, E và các con đường nối các thành phố này như Hình 2.20. Hãy chỉ ra một cách để đi tham quan cả 5 thành phố đó, mà không cần đến địa điểm nào quá một lần.
Hình 2.20
Một đường đi sơ cấp từ đỉnh A đến đỉnh B và qua mọi đỉnh của đồ thị G được gọi là một đường đi Hamilton từ A đến B.
Một chu trình sơ cấp chứa mọi đỉnh của G được gọi là một chu trình Hamilton của G.
Ví dụ 4. Tìm một chu trình Hamilton của đồ thị trên Hình 2.21.
Giải
Một chu trình Hamilton của đồ thị là ABECDA.
Định lí sau đây cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại chu trình Hamilton.
Định lí 3 (Ore)
Hình 2.21
Nếu G là đơn đồ thị có $n$ đỉnh ($n \geq 3$) và mỗi cặp đỉnh không kề nhau đều có tổng bậc không nhỏ hơn $n$ thì G có một chu trình Hamilton.
Hệ quả (Định lí Dirac). Nếu G là đơn đồ thị có $n$ đỉnh ($n \geq 3$) và mỗi đỉnh có bậc không nhỏ hơn $\frac{n}{2}$ thì G có một chu trình Hamilton.
Từ Định lí Dirac ta chứng minh được:
Định lí 4
Nếu đơn đồ thị G có $n$ đỉnh ($n \geq 2$) và mỗi đỉnh có bậc không nhỏ hơn $\frac{{n - 1}}{2}$ thì G có một đường đi Hamilton.
Ví dụ 5. Đồ thị Hình 2.22 có chu trình Hamilton không? Nếu có, hãy chỉ ra một chu trình Hamilton xuất phát từ đỉnh A.
Giải
Đồ thị có 8 đỉnh, mỗi đỉnh đều có bậc là 4. Do đó, theo Định lí Dirac, đồ thị có một chu trình Hamilton.
Có thể thấy một chu trình Hamilton xuất phát từ đỉnh A là: AGCKDHBEA.
Hình 2.22
Chú ý. Trong một số trường hợp đơn giản, ta có thể tìm đường đi (chu trình) Hamilton của G hoặc chứng minh G không có đường đi (chu trình) Hamilton dựa vào nhận xét sau: Đường đi (chu trình) Hamilton phải đi qua các cạnh có đầu mút tại những đỉnh có bậc 2 (nếu những đỉnh này không phải là đầu đường hoặc cuối đường).
Luyện tập 2. Đồ thị nào trong Hình 2.23 có đường đi Hamilton? Hãy chỉ ra một đường đi Hamilton của nó.
Hình 2.23
BÀI TẬP
2.7. Mỗi đồ thị sau có một chu trình Euler hoặc một chu trình Hamilton hay không? Hãy chỉ ra một chu trình Euler hoặc một chu trình Hamilton khi có thể.
Hình 2.24
2.8. Có thể nào đi dạo chơi qua các cây cầu trong Hình 2.25, mỗi cây cầu vừa đúng một lần?
Hình 2.25
2.9. Cho đồ thị G như Hình 2.26. Tìm một chu trình Hamilton xuất phát từ đỉnh S của G.
Hình 2.26
2.10. Cho đồ thị G như Hình 2.27. Tìm một đường đi Hamilton từ S đến R.
Hình 2.27
Hình 2.23
BÀI TẬP
2.7. Mỗi đồ thị sau có một chu trình Euler hoặc một chu trình Hamilton hay không? Hãy chỉ ra một chu trình Euler hoặc một chu trình Hamilton khi có thể.
Hình 2.24
2.8. Có thể nào đi dạo chơi qua các cây cầu trong Hình 2.25, mỗi cây cầu vừa đúng một lần?
Hình 2.25
2.9. Cho đồ thị G như Hình 2.26. Tìm một chu trình Hamilton xuất phát từ đỉnh S của G.
Hình 2.26
2.10. Cho đồ thị G như Hình 2.27. Tìm một đường đi Hamilton từ S đến R.
Hình 2.27
2.11. Hãy chỉ ra một ví dụ chứng tỏ rằng điều kiện bậc của mỗi đỉnh của đồ thị G không nhỏ hơn $\frac{n}{2}$ trong Định lí Dirac, không thể thay bằng điều kiện "bậc của mỗi đỉnh không nhỏ hơn $\frac{n-1}{2}$".
2.12. a) Giả sử G là một đồ thị với $n$ đỉnh và $\frac{(n-1)(n-2)}{2} + 2$ cạnh. Sử dụng Định lí Ore, hãy chứng minh G có một chu trình Hamilton.
b) Tìm một đồ thị với $n$ đỉnh và $\frac{(n-1)(n-2)}{2} + 1$ cạnh mà không có chu trình Hamilton.
2.13. Với giá trị nào của $n$ thì đồ thị đầy đủ $K_n$ có một chu trình Euler? Có một đường đi Euler?
2.14. Với giá trị nào của $n$ thì đồ thị đầy đủ $K_n$ có một chu trình Hamilton? Có một đường đi Hamilton?
Em có biết?
Euler và lí thuyết đồ thị
Leonhard Euler (1707 – 1783) là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất trong lịch sử. Ông đã có những khám phá quan trọng và đóng góp tiên phong trong nhiều chuyên ngành toán học. Ông cũng giới thiệu nhiều thuật ngữ và kí hiệu toán hiện đại, được dùng phổ biến ngày nay như kí hiệu số e dùng làm cơ số cho lôgarit tự nhiên, kí hiệu $f(x)$ cho hàm số, kí hiệu các hàm lượng giác, kí hiệu $\sum$ để chỉ tổng, ... Một nhận xét của nhà toán học người Pháp Laplace đã thể hiện ảnh hưởng của Euler đối với Toán học: "Hãy đọc Euler, đọc Euler đi, ông ấy là bậc thầy của tất cả chúng ta."
Leonhard Euler (1707 – 1783), nhà toán học người Thuỵ Sĩ
Bài báo của Euler về lời giải bài toán Bảy cây cầu ở Königsberg, xuất bản năm 1736, được coi là công trình đầu tiên về lí thuyết đồ thị.
Một trong những bài toán nổi tiếng và thú vị nhất của lí thuyết đồ thị là bài toán bốn màu: "Liệu rằng chỉ với bốn màu có thể tô màu một bản đồ bất kì sao cho không có hai nước nào cùng biên giới được tô cùng màu hay không?" Bài toán này được đề xuất bởi Francis Guthrie năm 1852, và chỉ được giải sau hơn một thế kỉ vào năm 1976 bởi Kenneth Appel và Wolfgang Haken, với lời giải dựa vào sự hỗ trợ của máy tính. Trong khi cố gắng giải quyết bài toán này, các nhà toán học đã phát minh ra nhiều thuật ngữ và khái niệm nền tảng cho lí thuyết đồ thị.
Đồ thị biểu diễn được rất nhiều cấu trúc, nhiều mối quan hệ và quá trình trong các hệ vật lí, sinh học, quan hệ xã hội, hệ thống thông tin, mạng lưới giao thông, ... và do đó ngày nay lí thuyết đồ thị được nghiên cứu rất mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng thực tế quan trọng.
Một vài bài toán về tìm đường đi trong thực tế như bài toán tìm đường đi tối ưu (ngắn nhất, nhanh nhất, có chi phí rẻ nhất,...) trong những tình huống đơn giản sẽ được nghiên cứu ở bài học sau.
(Theo scienceworld.wolfram.com)
2.12. a) Giả sử G là một đồ thị với $n$ đỉnh và $\frac{(n-1)(n-2)}{2} + 2$ cạnh. Sử dụng Định lí Ore, hãy chứng minh G có một chu trình Hamilton.
b) Tìm một đồ thị với $n$ đỉnh và $\frac{(n-1)(n-2)}{2} + 1$ cạnh mà không có chu trình Hamilton.
2.13. Với giá trị nào của $n$ thì đồ thị đầy đủ $K_n$ có một chu trình Euler? Có một đường đi Euler?
2.14. Với giá trị nào của $n$ thì đồ thị đầy đủ $K_n$ có một chu trình Hamilton? Có một đường đi Hamilton?
Em có biết?
Euler và lí thuyết đồ thị
Leonhard Euler (1707 – 1783) là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất trong lịch sử. Ông đã có những khám phá quan trọng và đóng góp tiên phong trong nhiều chuyên ngành toán học. Ông cũng giới thiệu nhiều thuật ngữ và kí hiệu toán hiện đại, được dùng phổ biến ngày nay như kí hiệu số e dùng làm cơ số cho lôgarit tự nhiên, kí hiệu $f(x)$ cho hàm số, kí hiệu các hàm lượng giác, kí hiệu $\sum$ để chỉ tổng, ... Một nhận xét của nhà toán học người Pháp Laplace đã thể hiện ảnh hưởng của Euler đối với Toán học: "Hãy đọc Euler, đọc Euler đi, ông ấy là bậc thầy của tất cả chúng ta."
Leonhard Euler (1707 – 1783), nhà toán học người Thuỵ Sĩ
Bài báo của Euler về lời giải bài toán Bảy cây cầu ở Königsberg, xuất bản năm 1736, được coi là công trình đầu tiên về lí thuyết đồ thị.
Một trong những bài toán nổi tiếng và thú vị nhất của lí thuyết đồ thị là bài toán bốn màu: "Liệu rằng chỉ với bốn màu có thể tô màu một bản đồ bất kì sao cho không có hai nước nào cùng biên giới được tô cùng màu hay không?" Bài toán này được đề xuất bởi Francis Guthrie năm 1852, và chỉ được giải sau hơn một thế kỉ vào năm 1976 bởi Kenneth Appel và Wolfgang Haken, với lời giải dựa vào sự hỗ trợ của máy tính. Trong khi cố gắng giải quyết bài toán này, các nhà toán học đã phát minh ra nhiều thuật ngữ và khái niệm nền tảng cho lí thuyết đồ thị.
Đồ thị biểu diễn được rất nhiều cấu trúc, nhiều mối quan hệ và quá trình trong các hệ vật lí, sinh học, quan hệ xã hội, hệ thống thông tin, mạng lưới giao thông, ... và do đó ngày nay lí thuyết đồ thị được nghiên cứu rất mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng thực tế quan trọng.
Một vài bài toán về tìm đường đi trong thực tế như bài toán tìm đường đi tối ưu (ngắn nhất, nhanh nhất, có chi phí rẻ nhất,...) trong những tình huống đơn giản sẽ được nghiên cứu ở bài học sau.
(Theo scienceworld.wolfram.com)
Bài 10. Bài toán tìm đường đi tối ưu trong một vài trường hợp đơn giản
THUẬT NGỮ
Đồ thị có trọng số
Trọng số
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết được thuật toán về tìm đường đi tối ưu trong những trường hợp đơn giản.
Sử dụng kiến thức về đồ thị để giải quyết một số tình huống liên quan đến thực tiễn.
Trong bài học này chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về đồ thị để giải quyết một số tình huống liên quan đến thực tiễn như bài toán tìm đường đi thoả mãn điều kiện cho trước (ngắn nhất, nhanh nhất, có chi phí rẻ nhất, ...) trong một vài trường hợp đơn giản.
1. BÀI TOÁN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT
» HĐ. Cho sơ đồ như trên Hình 2.28, ở đó $A, B, C, D, E, F$ là các địa điểm nối với nhau bởi các con đường với độ dài của mỗi con đường được cho như trên hình.
Hình 2.28
a) Hãy chỉ ra 2 đường đi từ $A$ đến $F$ và so sánh độ dài của hai đường đi đó.
b) Với mỗi đỉnh $V$ của sơ đồ trên Hình 2.28, ta gắn số $I(V)$ là khoảng cách ngắn nhất để đi từ $A$ đến $V$ và gọi là nhãn vĩnh viễn của đỉnh $V$. Như vậy, ta có ngay $I(A) = 0$. Dựa vào Hình 2.28, hãy tìm các nhãn vĩnh viễn $I(B), I(C)$ của hai đỉnh kề với $A$ là $B, C$.
Để giải quyết bài toán tìm đường đi ngắn nhất nối $A$ với $F$, chúng ta sẽ xem sơ đồ đã cho như một đồ thị liên thông và mỗi cạnh được gắn với một số không âm, số đó chính là độ dài của con đường. Những đồ thị như vậy gọi là đồ thị có trọng số và con số được gắn với một cạnh gọi là trọng số của cạnh đó. Bài toán đã cho trở thành tìm một đường đi từ $A$ đến $F$ với tổng các trọng số nhỏ nhất, tức là cần xác định nhãn vĩnh viễn $I(F)$.
Đồ thị có trọng số là một đồ thị liên thông và mỗi cạnh được gắn với một số không âm, gọi là trọng số của cạnh đó.
Để tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh $A$ đến đỉnh $F$ của một đồ thị có trọng số, ta xuất phát từ đỉnh $A$ và di chuyển theo các cạnh của đồ thị. Với mỗi đỉnh $V$, ta gắn một số $I(V)$ là khoảng cách ngắn nhất để đi từ $A$ đến $V$, gọi là nhãn vĩnh viễn của đỉnh $V$. Như vậy, để tìm độ dài của đường đi ngắn nhất nối $A$ với $F$, ta cần tìm $I(F)$.
» Ví dụ 1. Tìm độ dài của đường đi ngắn nhất nối $A$ với $F$ trong đồ thị có trọng số trên Hình 2.28.
Giải
Ta áp dụng thuật toán đã mô tả ở trên.
THUẬT NGỮ
Đồ thị có trọng số
Trọng số
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết được thuật toán về tìm đường đi tối ưu trong những trường hợp đơn giản.
Sử dụng kiến thức về đồ thị để giải quyết một số tình huống liên quan đến thực tiễn.
Trong bài học này chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về đồ thị để giải quyết một số tình huống liên quan đến thực tiễn như bài toán tìm đường đi thoả mãn điều kiện cho trước (ngắn nhất, nhanh nhất, có chi phí rẻ nhất, ...) trong một vài trường hợp đơn giản.
1. BÀI TOÁN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT
» HĐ. Cho sơ đồ như trên Hình 2.28, ở đó $A, B, C, D, E, F$ là các địa điểm nối với nhau bởi các con đường với độ dài của mỗi con đường được cho như trên hình.
Hình 2.28
a) Hãy chỉ ra 2 đường đi từ $A$ đến $F$ và so sánh độ dài của hai đường đi đó.
b) Với mỗi đỉnh $V$ của sơ đồ trên Hình 2.28, ta gắn số $I(V)$ là khoảng cách ngắn nhất để đi từ $A$ đến $V$ và gọi là nhãn vĩnh viễn của đỉnh $V$. Như vậy, ta có ngay $I(A) = 0$. Dựa vào Hình 2.28, hãy tìm các nhãn vĩnh viễn $I(B), I(C)$ của hai đỉnh kề với $A$ là $B, C$.
Để giải quyết bài toán tìm đường đi ngắn nhất nối $A$ với $F$, chúng ta sẽ xem sơ đồ đã cho như một đồ thị liên thông và mỗi cạnh được gắn với một số không âm, số đó chính là độ dài của con đường. Những đồ thị như vậy gọi là đồ thị có trọng số và con số được gắn với một cạnh gọi là trọng số của cạnh đó. Bài toán đã cho trở thành tìm một đường đi từ $A$ đến $F$ với tổng các trọng số nhỏ nhất, tức là cần xác định nhãn vĩnh viễn $I(F)$.
Đồ thị có trọng số là một đồ thị liên thông và mỗi cạnh được gắn với một số không âm, gọi là trọng số của cạnh đó.
Để tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh $A$ đến đỉnh $F$ của một đồ thị có trọng số, ta xuất phát từ đỉnh $A$ và di chuyển theo các cạnh của đồ thị. Với mỗi đỉnh $V$, ta gắn một số $I(V)$ là khoảng cách ngắn nhất để đi từ $A$ đến $V$, gọi là nhãn vĩnh viễn của đỉnh $V$. Như vậy, để tìm độ dài của đường đi ngắn nhất nối $A$ với $F$, ta cần tìm $I(F)$.
» Ví dụ 1. Tìm độ dài của đường đi ngắn nhất nối $A$ với $F$ trong đồ thị có trọng số trên Hình 2.28.
Giải
Ta áp dụng thuật toán đã mô tả ở trên.
Đầu tiên ta gắn nhãn đỉnh $A$ là $l(A) = 0$ và gắn cho 2 đỉnh kề với $A$ là $B, C$ các nhãn tạm thời $l(A) + 3 = 3, l(A) + 1 = 1$. Chọn số nhỏ nhất trong chúng và viết $l(C) = 1$. Đỉnh $C$ bây giờ được gắn nhãn vĩnh viễn là 1.
Tiếp theo ta gắn cho các đỉnh kề với $C$ là $B, D, E$ các nhãn tạm thời $l(C) + 6 = 7, l(C) + 4 = 5, l(C) + 5 = 6$ ($B$ hiện nay có hai nhãn tạm thời là 3 và 7). Nhãn tạm thời nhỏ nhất trong các nhãn đã gắn (ở $B, D, E$) hiện nay là 3 (tại $B$), nên ta viết $l(B) = 3$. Đỉnh $B$ được gắn nhãn vĩnh viễn là 3.
NHÃN
Bây giờ ta xét các đỉnh kề với $B$ (mà chưa được gắn nhãn vĩnh viễn) là $D$ và $E$. Ta gắn cho đỉnh $D$ nhãn tạm thời $l(B) + 7 = 10$ ($D$ hiện nay có hai nhãn tạm thời là 5 và 10), gắn cho đỉnh $E$ nhãn tạm thời $l(B) + 2 = 5$ ($E$ có hai nhãn tạm thời là 6 và 5). Nhãn tạm thời nhỏ nhất bây giờ là 5 (tại $D$ và $E$), do đó ta viết $l(D) = 5$ và $l(E) = 5$. Hai đỉnh $D$ và $E$ đều được gắn nhãn vĩnh viễn là 5.
Hình 2.29
Xét đỉnh kề với $D$ là $F$, ta gắn cho $F$ nhãn tạm thời $l(D) + 9 = 14$. Xét đỉnh kề với $E$ là $F$, ta gắn cho $F$ nhãn tạm thời $l(E) + 8 = 13$. Vậy đỉnh $F$ sẽ được gắn nhãn vĩnh viễn là 13.
Vì $l(F) = 13$ nên đường đi ngắn nhất từ $A$ đến $F$ có độ dài là 13.
Để tìm một đường đi ngắn nhất từ $A$ đến $F$ như vậy, ta sẽ lần ngược từ điểm cuối $F$. Ta chỉ cần giới hạn ở việc xét những cạnh mà độ dài là hiệu của các nhãn gắn tại các đầu mút của nó, đó là: $EF, BE$ và $AB$ (do $l(F) - l(E) = 13 - 5 = 8, l(E) - l(B) = 5 - 3 = 2$ và $l(B) - l(A) = 3 - 0 = 3$). Khi đó ta có thể kết luận, đường đi ngắn nhất từ $A$ đến $F$ phải đi qua các cạnh $EF, BE$ và $AB$.
Vậy, đường đi ngắn nhất (trong trường hợp này là duy nhất) từ $A$ đến $F$ là
$$A \to B \to E \to F.$$
Chú ý
a) Nếu đồ thị có trọng số mà mỗi cạnh đều có trọng số là 1 thì bài toán trở thành tìm số các cạnh của đường đi ngắn nhất từ $A$ đến $F$.
b) Các con số trong sơ đồ ở Hình 2.28 có thể là thời gian để đi dọc con đường đó, hoặc là chi phí khi đi hết con đường đó,... Bởi vậy, ta có thể sử dụng thuật toán giải quyết bài toán gốc về bài toán tìm đường đi ngắn nhất để giải quyết bài toán tìm đường đi nhanh nhất hoặc đường đi có chi phí rẻ nhất,...
2. BÀI TOÁN NGƯỜI ĐƯA THƯ
Bài toán người đưa thư phát biểu như sau: Một người đưa thư xuất phát từ bưu điện phải đi qua một số con đường để phát thư rồi quay lại điểm xuất phát, hỏi người đó phải đi như thế nào để đường đi là ngắn nhất. Ở đây các điểm cần phát thư nằm dọc theo các con đường cần phải đi qua.
Trong bài toán này, người đưa thư sẽ phải đi trên mỗi con đường ít nhất một lần (để phát được thư cho các điểm cần phát nằm dọc theo con đường đó) và cuối cùng quay lại vị trí xuất phát. Ngoài ra, cần đảm bảo quãng đường phải đi là nhỏ nhất có thể.
Tiếp theo ta gắn cho các đỉnh kề với $C$ là $B, D, E$ các nhãn tạm thời $l(C) + 6 = 7, l(C) + 4 = 5, l(C) + 5 = 6$ ($B$ hiện nay có hai nhãn tạm thời là 3 và 7). Nhãn tạm thời nhỏ nhất trong các nhãn đã gắn (ở $B, D, E$) hiện nay là 3 (tại $B$), nên ta viết $l(B) = 3$. Đỉnh $B$ được gắn nhãn vĩnh viễn là 3.
NHÃN
Bây giờ ta xét các đỉnh kề với $B$ (mà chưa được gắn nhãn vĩnh viễn) là $D$ và $E$. Ta gắn cho đỉnh $D$ nhãn tạm thời $l(B) + 7 = 10$ ($D$ hiện nay có hai nhãn tạm thời là 5 và 10), gắn cho đỉnh $E$ nhãn tạm thời $l(B) + 2 = 5$ ($E$ có hai nhãn tạm thời là 6 và 5). Nhãn tạm thời nhỏ nhất bây giờ là 5 (tại $D$ và $E$), do đó ta viết $l(D) = 5$ và $l(E) = 5$. Hai đỉnh $D$ và $E$ đều được gắn nhãn vĩnh viễn là 5.
Hình 2.29
Xét đỉnh kề với $D$ là $F$, ta gắn cho $F$ nhãn tạm thời $l(D) + 9 = 14$. Xét đỉnh kề với $E$ là $F$, ta gắn cho $F$ nhãn tạm thời $l(E) + 8 = 13$. Vậy đỉnh $F$ sẽ được gắn nhãn vĩnh viễn là 13.
Vì $l(F) = 13$ nên đường đi ngắn nhất từ $A$ đến $F$ có độ dài là 13.
Để tìm một đường đi ngắn nhất từ $A$ đến $F$ như vậy, ta sẽ lần ngược từ điểm cuối $F$. Ta chỉ cần giới hạn ở việc xét những cạnh mà độ dài là hiệu của các nhãn gắn tại các đầu mút của nó, đó là: $EF, BE$ và $AB$ (do $l(F) - l(E) = 13 - 5 = 8, l(E) - l(B) = 5 - 3 = 2$ và $l(B) - l(A) = 3 - 0 = 3$). Khi đó ta có thể kết luận, đường đi ngắn nhất từ $A$ đến $F$ phải đi qua các cạnh $EF, BE$ và $AB$.
Vậy, đường đi ngắn nhất (trong trường hợp này là duy nhất) từ $A$ đến $F$ là
$$A \to B \to E \to F.$$
Chú ý
a) Nếu đồ thị có trọng số mà mỗi cạnh đều có trọng số là 1 thì bài toán trở thành tìm số các cạnh của đường đi ngắn nhất từ $A$ đến $F$.
b) Các con số trong sơ đồ ở Hình 2.28 có thể là thời gian để đi dọc con đường đó, hoặc là chi phí khi đi hết con đường đó,... Bởi vậy, ta có thể sử dụng thuật toán giải quyết bài toán gốc về bài toán tìm đường đi ngắn nhất để giải quyết bài toán tìm đường đi nhanh nhất hoặc đường đi có chi phí rẻ nhất,...
2. BÀI TOÁN NGƯỜI ĐƯA THƯ
Bài toán người đưa thư phát biểu như sau: Một người đưa thư xuất phát từ bưu điện phải đi qua một số con đường để phát thư rồi quay lại điểm xuất phát, hỏi người đó phải đi như thế nào để đường đi là ngắn nhất. Ở đây các điểm cần phát thư nằm dọc theo các con đường cần phải đi qua.
Trong bài toán này, người đưa thư sẽ phải đi trên mỗi con đường ít nhất một lần (để phát được thư cho các điểm cần phát nằm dọc theo con đường đó) và cuối cùng quay lại vị trí xuất phát. Ngoài ra, cần đảm bảo quãng đường phải đi là nhỏ nhất có thể.
Trong ngôn ngữ của lí thuyết đồ thị, bài toán người đưa thư tương đương với bài toán tìm chu trình ngắn nhất đi qua tất cả các cạnh của một đồ thị cho trước.
Bài toán này có thể phát biểu dưới dạng một đồ thị có trọng số, ở đó đồ thị ứng với hệ thống các con đường, và trọng số của mỗi cạnh là độ dài của con đường tương ứng. Các cạnh của đồ thị này mô tả các con đường cần phải đi qua, các đỉnh của đồ thị là điểm đầu và điểm cuối của các con đường đó (và có thể không phải là điểm cần phát thư). Khi đó ta cần tìm một chu trình có tổng trọng số nhỏ nhất và chứa mỗi cạnh ít nhất một lần. Trong trường hợp tổng quát, nói chung đây là một bài toán khá phức tạp.
Trong mục này, ta chỉ xét hai tình huống đơn giản (liên quan đến đồ thị có trọng số, liên thông):
Tất cả các đỉnh của đồ thị đều có bậc chẵn. Khi đó đồ thị có chu trình Euler và chu trình Euler đó chính là một đường đi yêu cầu.
Chỉ có đúng hai đỉnh của đồ thị có bậc lẻ. Khi đó ta có thể tìm một đường đi Euler từ đỉnh bậc lẻ này đến đỉnh bậc lẻ kia, sau đó dùng thuật toán ở Mục 1 tìm đường đi ngắn nhất để quay trở lại đỉnh xuất phát. Kết hợp hai đường đi đó, ta được lời giải của bài toán đã cho.
Dưới đây ta xét hai ví dụ minh hoạ cho hai trường hợp này.
Ví dụ 2. Cho đồ thị có trọng số như Hình 2.30. Chứng tỏ rằng đồ thị có chu trình Euler và hãy tìm một chu trình Euler xuất phát từ đỉnh A.
Hình 2.30
Giải
Vì đồ thị là liên thông và các đỉnh đều có bậc chẵn (ở đây đều là bậc 4) nên đồ thị có chu trình Euler.
Một chu trình Euler xuất phát từ đỉnh A là $ABCBECDEADA$.
Chú ý. Nếu đồ thị có chu trình Euler thì độ dài quãng đường phải đi trong lời giải của bài toán người đưa thư chính là tổng các trọng số gắn trên các cạnh của đồ thị.
Ví dụ 3. Cho một đồ thị có trọng số như Hình 2.31. Tìm một chu trình xuất phát từ đỉnh A của đồ thị, có tổng trọng số nhỏ nhất và chứa mỗi cạnh ít nhất một lần.
Hình 2.31
Giải
Đồ thị chỉ có hai đỉnh bậc lẻ là A và D nên ta có thể tìm được một đường đi Euler từ A đến D (đường đi này đi qua mỗi cạnh đúng một lần).
Một đường đi Euler từ A đến D là AEABEDBCD và tổng độ dài của nó là
$$6 + 8 + 1 + 7 + 5 + 4 + 2 + 3 = 36.$$
Để quay trở lại điểm xuất phát và có đường đi ngắn nhất, ta cần tìm một đường đi ngắn nhất từ D đến A theo thuật toán đã mô tả ở Mục 1.
Đường đi ngắn nhất từ D đến A là DBA và có độ dài là $4 + 1 = 5$.
Vậy một chu trình cần tìm là AEABEDBCDBA và có độ dài là $36 + 5 = 41$.
Bài toán này có thể phát biểu dưới dạng một đồ thị có trọng số, ở đó đồ thị ứng với hệ thống các con đường, và trọng số của mỗi cạnh là độ dài của con đường tương ứng. Các cạnh của đồ thị này mô tả các con đường cần phải đi qua, các đỉnh của đồ thị là điểm đầu và điểm cuối của các con đường đó (và có thể không phải là điểm cần phát thư). Khi đó ta cần tìm một chu trình có tổng trọng số nhỏ nhất và chứa mỗi cạnh ít nhất một lần. Trong trường hợp tổng quát, nói chung đây là một bài toán khá phức tạp.
Trong mục này, ta chỉ xét hai tình huống đơn giản (liên quan đến đồ thị có trọng số, liên thông):
Tất cả các đỉnh của đồ thị đều có bậc chẵn. Khi đó đồ thị có chu trình Euler và chu trình Euler đó chính là một đường đi yêu cầu.
Chỉ có đúng hai đỉnh của đồ thị có bậc lẻ. Khi đó ta có thể tìm một đường đi Euler từ đỉnh bậc lẻ này đến đỉnh bậc lẻ kia, sau đó dùng thuật toán ở Mục 1 tìm đường đi ngắn nhất để quay trở lại đỉnh xuất phát. Kết hợp hai đường đi đó, ta được lời giải của bài toán đã cho.
Dưới đây ta xét hai ví dụ minh hoạ cho hai trường hợp này.
Ví dụ 2. Cho đồ thị có trọng số như Hình 2.30. Chứng tỏ rằng đồ thị có chu trình Euler và hãy tìm một chu trình Euler xuất phát từ đỉnh A.
Hình 2.30
Giải
Vì đồ thị là liên thông và các đỉnh đều có bậc chẵn (ở đây đều là bậc 4) nên đồ thị có chu trình Euler.
Một chu trình Euler xuất phát từ đỉnh A là $ABCBECDEADA$.
Chú ý. Nếu đồ thị có chu trình Euler thì độ dài quãng đường phải đi trong lời giải của bài toán người đưa thư chính là tổng các trọng số gắn trên các cạnh của đồ thị.
Ví dụ 3. Cho một đồ thị có trọng số như Hình 2.31. Tìm một chu trình xuất phát từ đỉnh A của đồ thị, có tổng trọng số nhỏ nhất và chứa mỗi cạnh ít nhất một lần.
Hình 2.31
Giải
Đồ thị chỉ có hai đỉnh bậc lẻ là A và D nên ta có thể tìm được một đường đi Euler từ A đến D (đường đi này đi qua mỗi cạnh đúng một lần).
Một đường đi Euler từ A đến D là AEABEDBCD và tổng độ dài của nó là
$$6 + 8 + 1 + 7 + 5 + 4 + 2 + 3 = 36.$$
Để quay trở lại điểm xuất phát và có đường đi ngắn nhất, ta cần tìm một đường đi ngắn nhất từ D đến A theo thuật toán đã mô tả ở Mục 1.
Đường đi ngắn nhất từ D đến A là DBA và có độ dài là $4 + 1 = 5$.
Vậy một chu trình cần tìm là AEABEDBCDBA và có độ dài là $36 + 5 = 41$.
Chú ý. Trong lí thuyết đồ thị, người ta thường phát biểu đề bài của Ví dụ 3 dưới dạng:
Giải bài toán người đưa thư đối với đồ thị có trọng số trên Hình 2.31.
Từ đây về sau, ta cũng dùng cách phát biểu ngắn gọn như vậy.
» Luyện tập. Giải bài toán người đưa thư đối với đồ thị có trọng số trên Hình 2.32.
Hình 2.32
BÀI TẬP
2.15. Tìm đường đi ngắn nhất từ $A$ đến $D$ trong đồ thị có trọng số trên Hình 2.33.
Hình 2.33
Hình 2.34
2.16. Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh $S$ đến mỗi đỉnh khác của đồ thị có trọng số trên Hình 2.34.
2.17. Giải bài toán người đưa thư đối với đồ thị có trọng số trên Hình 2.35.
Hình 2.35
2.18. Giải bài toán người đưa thư đối với đồ thị có trọng số trên Hình 2.36.
Giải bài toán người đưa thư đối với đồ thị có trọng số trên Hình 2.31.
Từ đây về sau, ta cũng dùng cách phát biểu ngắn gọn như vậy.
» Luyện tập. Giải bài toán người đưa thư đối với đồ thị có trọng số trên Hình 2.32.
Hình 2.32
BÀI TẬP
2.15. Tìm đường đi ngắn nhất từ $A$ đến $D$ trong đồ thị có trọng số trên Hình 2.33.
Hình 2.33
Hình 2.34
2.16. Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh $S$ đến mỗi đỉnh khác của đồ thị có trọng số trên Hình 2.34.
2.17. Giải bài toán người đưa thư đối với đồ thị có trọng số trên Hình 2.35.
Hình 2.35
2.18. Giải bài toán người đưa thư đối với đồ thị có trọng số trên Hình 2.36.
Bài tập cuối chuyên đề 2
2.19. Viết tập hợp các đỉnh và tập hợp các cạnh của mỗi đồ thị sau:
Hình 2.37
2.20. Vẽ đồ thị $G = (V, E)$ với các đỉnh và các cạnh như sau:
$V = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}$ và $E = {12; 13; 23; 34; 35; 67; 68; 78}$.
Đồ thị này có phải là đơn đồ thị không? Có phải là đồ thị đầy đủ không?
2.21. Chứng minh rằng không có đơn đồ thị với 12 đỉnh và 28 cạnh mà các đỉnh đều có bậc 3 hoặc 6.
2.22. Chứng minh rằng nếu $G$ là một đơn đồ thị có ít nhất hai đỉnh thì $G$ có ít nhất hai đỉnh có cùng bậc.
2.23. Tìm số đỉnh nhỏ nhất cần thiết để có thể xây dựng một đồ thị đầy đủ với ít nhất 1 000 cạnh.
2.24. Hãy chỉ ra ít nhất 5 đường đi từ $S$ đến $Y$ trong đồ thị trên Hình 2.38.
Hình 2.38
2.25. Kiểm tra xem các điều kiện của định lí Ore có thoả mãn với các đồ thị trên Hình 2.39 không.
Hình 2.39
2.19. Viết tập hợp các đỉnh và tập hợp các cạnh của mỗi đồ thị sau:
Hình 2.37
2.20. Vẽ đồ thị $G = (V, E)$ với các đỉnh và các cạnh như sau:
$V = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}$ và $E = {12; 13; 23; 34; 35; 67; 68; 78}$.
Đồ thị này có phải là đơn đồ thị không? Có phải là đồ thị đầy đủ không?
2.21. Chứng minh rằng không có đơn đồ thị với 12 đỉnh và 28 cạnh mà các đỉnh đều có bậc 3 hoặc 6.
2.22. Chứng minh rằng nếu $G$ là một đơn đồ thị có ít nhất hai đỉnh thì $G$ có ít nhất hai đỉnh có cùng bậc.
2.23. Tìm số đỉnh nhỏ nhất cần thiết để có thể xây dựng một đồ thị đầy đủ với ít nhất 1 000 cạnh.
2.24. Hãy chỉ ra ít nhất 5 đường đi từ $S$ đến $Y$ trong đồ thị trên Hình 2.38.
Hình 2.38
2.25. Kiểm tra xem các điều kiện của định lí Ore có thoả mãn với các đồ thị trên Hình 2.39 không.
Hình 2.39
2.26. Tìm một chu trình Euler trong đồ thị trên Hình 2.40.
Hình 2.40
2.27. Giải bài toán người đưa thư đối với đồ thị có trọng số trên Hình 2.41.
Hình 2.41
2.28. Giải bài toán người đưa thư đối với đồ thị có trọng số trên Hình 2.42.
Hình 2.40
2.27. Giải bài toán người đưa thư đối với đồ thị có trọng số trên Hình 2.41.
Hình 2.41
2.28. Giải bài toán người đưa thư đối với đồ thị có trọng số trên Hình 2.42.
CHUYÊN ĐỀ 3
MỘT SỐ YẾU TỐ VỀ KĨ THUẬT
Bản vẽ kĩ thuật là một tài liệu thường được dùng trong kĩ thuật. Nó chứa đầy đủ các thông tin về hình dạng, kết cấu và kích thước của sản phẩm và do đó giúp cho việc truyền đạt ý tưởng của người thiết kế đến người thi công, thực hiện bản vẽ được dễ dàng hơn. Trong chương trình môn Công nghệ ở lớp 8 và lớp 10, ta đã được học về các tiêu chuẩn của một bản vẽ kĩ thuật. Chuyên đề này sẽ giúp ta hiểu biết sâu hơn về bản vẽ kĩ thuật dựa trên nền tảng kiến thức đã biết về hình học không gian.
Bài 11. HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ HÌNH CHIẾU TRỰC ĐO
THUẬT NGỮ
Hình biểu diễn
Hình chiếu vuông góc
Hình chiếu trục đo
Hình chiếu trục đo vuông góc đều
Hệ số biến dạng
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết được hình biểu diễn của vật thể.
Nhận biết được hình chiếu vuông góc.
Nhận biết được hình chiếu trục đo và hình chiếu trục đo vuông góc đều.
Trong vẽ kĩ thuật, người ta thường sử dụng các hình vẽ trên giấy để biểu diễn, mô tả các vật thể trong không gian (H.3.1). Toán học mô tả các hình vẽ đó như thế nào, và chúng có những đặc điểm gì? Ta hãy cùng tìm hiểu qua bài học này.
Hình 3.1. Hình vẽ mô tả một chi tiết máy
MỘT SỐ YẾU TỐ VỀ KĨ THUẬT
Bản vẽ kĩ thuật là một tài liệu thường được dùng trong kĩ thuật. Nó chứa đầy đủ các thông tin về hình dạng, kết cấu và kích thước của sản phẩm và do đó giúp cho việc truyền đạt ý tưởng của người thiết kế đến người thi công, thực hiện bản vẽ được dễ dàng hơn. Trong chương trình môn Công nghệ ở lớp 8 và lớp 10, ta đã được học về các tiêu chuẩn của một bản vẽ kĩ thuật. Chuyên đề này sẽ giúp ta hiểu biết sâu hơn về bản vẽ kĩ thuật dựa trên nền tảng kiến thức đã biết về hình học không gian.
Bài 11. HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ HÌNH CHIẾU TRỰC ĐO
THUẬT NGỮ
Hình biểu diễn
Hình chiếu vuông góc
Hình chiếu trục đo
Hình chiếu trục đo vuông góc đều
Hệ số biến dạng
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết được hình biểu diễn của vật thể.
Nhận biết được hình chiếu vuông góc.
Nhận biết được hình chiếu trục đo và hình chiếu trục đo vuông góc đều.
Trong vẽ kĩ thuật, người ta thường sử dụng các hình vẽ trên giấy để biểu diễn, mô tả các vật thể trong không gian (H.3.1). Toán học mô tả các hình vẽ đó như thế nào, và chúng có những đặc điểm gì? Ta hãy cùng tìm hiểu qua bài học này.
Hình 3.1. Hình vẽ mô tả một chi tiết máy
1. HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH, KHỐI
HĐ1. Hình 3.2 mô tả ba phép chiếu biến hình $\mathcal{H}$ thành hình $\mathcal{H}'$. Em đã biết những phép chiếu nào trong ba phép chiếu đó? Hãy nhắc lại khái niệm về các phép chiếu mà em đã học.
a) b) c)
Hình 3.2
Hình biểu diễn $\mathcal{H}'$ của một hình, khối $\mathcal{H}$ trong không gian là hình chiếu của $\mathcal{H}$ lên một mặt phẳng qua một phép chiếu.
Nếu phép chiếu là phép chiếu vuông góc thì $\mathcal{H}'$ được gọi là hình chiếu vuông góc của $\mathcal{H}$.
Nếu phép chiếu là phép chiếu song song (nhưng không là phép chiếu vuông góc) thì $\mathcal{H}'$ được gọi là hình chiếu trực đo của $\mathcal{H}$.
Phép chiếu còn lại trong Hình 3.2 được gọi là phép chiếu xuyên tâm và hình $\mathcal{H}'$ khi đó được gọi là hình chiếu phối cảnh của hình $\mathcal{H}$.
Ví dụ 1. Quan sát Hình 3.3 và cho biết hình nào thể hiện hình chiếu vuông góc, hình nào thể hiện hình chiếu trực đo của tam giác $ABC$.
a) b) c)
Hình 3.3
Giải
Trong Hình 3.3a các đường thẳng $AA'$, $BB'$, $CC'$ đôi một song song và vuông góc với mặt phẳng chiếu. Do đó Hình 3.3a thể hiện hình chiếu vuông góc của tam giác $ABC$.
Trong Hình 3.3b và Hình 3.3c các đường thẳng $AA'$, $BB'$, $CC'$ đôi một song song nhưng không vuông góc với mặt phẳng chiếu. Do đó Hình 3.3b và Hình 3.3c thể hiện hình chiếu trực đo của tam giác $ABC$.
HĐ1. Hình 3.2 mô tả ba phép chiếu biến hình $\mathcal{H}$ thành hình $\mathcal{H}'$. Em đã biết những phép chiếu nào trong ba phép chiếu đó? Hãy nhắc lại khái niệm về các phép chiếu mà em đã học.
a) b) c)
Hình 3.2
Hình biểu diễn $\mathcal{H}'$ của một hình, khối $\mathcal{H}$ trong không gian là hình chiếu của $\mathcal{H}$ lên một mặt phẳng qua một phép chiếu.
Nếu phép chiếu là phép chiếu vuông góc thì $\mathcal{H}'$ được gọi là hình chiếu vuông góc của $\mathcal{H}$.
Nếu phép chiếu là phép chiếu song song (nhưng không là phép chiếu vuông góc) thì $\mathcal{H}'$ được gọi là hình chiếu trực đo của $\mathcal{H}$.
Phép chiếu còn lại trong Hình 3.2 được gọi là phép chiếu xuyên tâm và hình $\mathcal{H}'$ khi đó được gọi là hình chiếu phối cảnh của hình $\mathcal{H}$.
Ví dụ 1. Quan sát Hình 3.3 và cho biết hình nào thể hiện hình chiếu vuông góc, hình nào thể hiện hình chiếu trực đo của tam giác $ABC$.
a) b) c)
Hình 3.3
Giải
Trong Hình 3.3a các đường thẳng $AA'$, $BB'$, $CC'$ đôi một song song và vuông góc với mặt phẳng chiếu. Do đó Hình 3.3a thể hiện hình chiếu vuông góc của tam giác $ABC$.
Trong Hình 3.3b và Hình 3.3c các đường thẳng $AA'$, $BB'$, $CC'$ đôi một song song nhưng không vuông góc với mặt phẳng chiếu. Do đó Hình 3.3b và Hình 3.3c thể hiện hình chiếu trực đo của tam giác $ABC$.
Luyện tập 1. Quan sát Hình 3.4 và cho biết hình nào thể hiện hình chiếu trực đo của tứ giác $ABCD$.
a) b) c)
Hình 3.4
2. HÌNH CHIẾU ĐỨNG, HÌNH CHIẾU BẰNG VÀ HÌNH CHIẾU CẠNH
HD2. Quan sát Hình 3.5 và cho biết các hình A, B, C có phải là hình chiếu của hình $\mathscr{H}$ qua các phép chiếu song song hoặc vuông góc hay không. Nếu có hãy chỉ rõ mặt phẳng chiếu và phương chiếu của mỗi phép chiếu đó.
Hình 3.5
Mặt phẳng hình chiếu đứng
Hướng nhìn từ trên
Hướng nhìn từ trái
Mặt phẳng hình chiếu cạnh
$O$
$x$
$y$
$P_1$
$z$
$P_3$
$P_2$
a)
Mặt phẳng hình chiếu bằng
b)
Hướng nhìn từ trước
Hình 3.6
a) b) c)
Hình 3.4
2. HÌNH CHIẾU ĐỨNG, HÌNH CHIẾU BẰNG VÀ HÌNH CHIẾU CẠNH
HD2. Quan sát Hình 3.5 và cho biết các hình A, B, C có phải là hình chiếu của hình $\mathscr{H}$ qua các phép chiếu song song hoặc vuông góc hay không. Nếu có hãy chỉ rõ mặt phẳng chiếu và phương chiếu của mỗi phép chiếu đó.
Hình 3.5
Mặt phẳng hình chiếu đứng
Hướng nhìn từ trên
Hướng nhìn từ trái
Mặt phẳng hình chiếu cạnh
$O$
$x$
$y$
$P_1$
$z$
$P_3$
$P_2$
a)
Mặt phẳng hình chiếu bằng
b)
Hướng nhìn từ trước
Hình 3.6
Cho hình $\mathscr{H}$ trong không gian và ba mặt phẳng $(P_1), (P_2), (P_3)$ đôi một vuông góc với nhau sao cho mặt phẳng $(P_1)$ vuông góc với hướng nhìn từ phía trước của hình $\mathscr{H}$, mặt phẳng $(P_2)$ vuông góc với hướng nhìn từ phía trên của hình $\mathscr{H}$ và mặt phẳng $(P_3)$ vuông góc với hướng nhìn từ phía trái của hình $\mathscr{H}$ (H.3.6). Khi đó:
Các mặt phẳng $(P_1), (P_2)$ và $(P_3)$ lần lượt được gọi là mặt phẳng hình chiếu đứng, mặt phẳng hình chiếu bằng và mặt phẳng hình chiếu cạnh.
Các hình chiếu vuông góc của hình $\mathscr{H}$ lên các mặt phẳng $(P_1), (P_2), (P_3)$ lần lượt được gọi là hình chiếu đứng, hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh của hình $\mathscr{H}$.
Ví dụ 2. Xác định hình chiếu vuông góc của hình $\mathscr{H}$ (H.3.7a) trong các hình dưới đây.
Trong vẽ kĩ thuật, người ta có thể sử dụng thêm các hướng nhìn từ sau ra trước, từ dưới lên trên và từ phải sang trái để nhận được thêm ba hình chiếu của vật thể, từ đó giúp hình dung vật thể rõ hơn. Tuy nhiên, hình chiếu đứng, hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh thường là đủ để mô tả vật thể.
Hình 3.7
Giải
Hình 3.7b là hình chiếu cạnh của hình $\mathscr{H}$, Hình 3.7c vừa là hình chiếu đứng vừa là hình chiếu bằng của hình $\mathscr{H}$. Hình 3.7d không là hình chiếu vuông góc nào của hình $\mathscr{H}$.
Với hướng nhìn từ trước, em nhìn thấy những phần nào của vật thể?
Luyện tập 2. Xác định hình chiếu vuông góc của hình $\mathscr{H}$ (H.3.8a) trong các hình dưới đây.
Hình 3.8
Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ (H.3.9a). Xác định hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của hình chóp nếu chọn mặt phẳng hình chiếu đứng $(P_1)$ song song với mặt phẳng $(SAC)$ và mặt phẳng hình chiếu bằng $(P_2)$ song song với mặt phẳng $(ABCD)$.
Giải
Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của hình chóp $S.ABCD$ lần lượt được cho như trong Hình 3.9b và Hình 3.9c.
Các mặt phẳng $(P_1), (P_2)$ và $(P_3)$ lần lượt được gọi là mặt phẳng hình chiếu đứng, mặt phẳng hình chiếu bằng và mặt phẳng hình chiếu cạnh.
Các hình chiếu vuông góc của hình $\mathscr{H}$ lên các mặt phẳng $(P_1), (P_2), (P_3)$ lần lượt được gọi là hình chiếu đứng, hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh của hình $\mathscr{H}$.
Ví dụ 2. Xác định hình chiếu vuông góc của hình $\mathscr{H}$ (H.3.7a) trong các hình dưới đây.
Trong vẽ kĩ thuật, người ta có thể sử dụng thêm các hướng nhìn từ sau ra trước, từ dưới lên trên và từ phải sang trái để nhận được thêm ba hình chiếu của vật thể, từ đó giúp hình dung vật thể rõ hơn. Tuy nhiên, hình chiếu đứng, hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh thường là đủ để mô tả vật thể.
Hình 3.7
Giải
Hình 3.7b là hình chiếu cạnh của hình $\mathscr{H}$, Hình 3.7c vừa là hình chiếu đứng vừa là hình chiếu bằng của hình $\mathscr{H}$. Hình 3.7d không là hình chiếu vuông góc nào của hình $\mathscr{H}$.
Với hướng nhìn từ trước, em nhìn thấy những phần nào của vật thể?
Luyện tập 2. Xác định hình chiếu vuông góc của hình $\mathscr{H}$ (H.3.8a) trong các hình dưới đây.
Hình 3.8
Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ (H.3.9a). Xác định hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của hình chóp nếu chọn mặt phẳng hình chiếu đứng $(P_1)$ song song với mặt phẳng $(SAC)$ và mặt phẳng hình chiếu bằng $(P_2)$ song song với mặt phẳng $(ABCD)$.
Giải
Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của hình chóp $S.ABCD$ lần lượt được cho như trong Hình 3.9b và Hình 3.9c.
a)
b)
c)
Hình 3.9
Luyện tập 3. Thực hiện Ví dụ 3 khi mặt phẳng hình chiếu đứng $(P_1)$ song song với mặt phẳng $(SBD)$, mặt phẳng hình chiếu bằng $(P_2)$ song song với mặt phẳng $(ABCD)$.
Nhận xét. Trong Ví dụ 3 đường thẳng $BD$ vuông góc với mặt phẳng $(SAC)$ nên cũng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng $(P_1)$. Do đó hình chiếu đứng của ba điểm $B, O, D$ trùng nhau.
Một cách tổng quát, các hình chiếu đứng, hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh có các tính chất của hình chiếu vuông góc, ví dụ như hình chiếu của trung điểm là trung điểm, hình chiếu của các đường thẳng song song là các đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
? Hãy giải thích tại sao trong Hình 3.9b, điểm $B'$ (hình chiếu đứng của $B$) là trung điểm của đoạn thẳng $A'C'$ (hình chiếu đứng của $AC$).
Vận dụng 1. Trong vẽ kĩ thuật có hai phương pháp chiếu là phương pháp chiếu góc thứ nhất và phương pháp chiếu góc thứ ba. Với phương pháp chiếu góc thứ nhất, vật thể luôn nằm giữa người quan sát và các mặt phẳng hình chiếu (H.3.5), còn với phương pháp chiếu góc thứ ba thì các mặt phẳng hình chiếu luôn nằm giữa người quan sát và vật thể (H.3.10). Mỗi hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh và hình chiếu bằng nhận được từ hai phương pháp chiếu đều bằng nhau. Hãy giải thích tại sao.
Hình 3.10
Chú ý. Vì hình chiếu nhận được qua hai phương pháp chiếu góc thứ nhất và thứ ba là như nhau nên từ nay về sau, nếu không giải thích gì thêm, các hình chiếu được nhắc tới đều lấy theo phương pháp chiếu góc thứ nhất.
3. MỐI LIÊN HỆ GIỮA BA HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC
HD3. Trong không gian cho điểm $A$ và hai mặt phẳng hình chiếu đứng, hình chiếu bằng $(P_1)$, $(P_2)$ cắt nhau theo giao tuyến $Ox$. Gọi $A_1$ và $A_2$ lần lượt là hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của điểm $A$ (H.3.11a). Quay mặt phẳng $(P_2)$ quanh $Ox$ sao cho $(P_2)$ trùng với $(P_1)$, khi đó hai điểm $A_1$ và $A_2$ cùng thuộc mặt phẳng $(P_1)$ (H.3.11b).
a) Nhận xét về vị trí của các điểm $A_1, A_2$ đối với đường thẳng $Ox$. Đường thẳng $A_1A_2$ có vuông góc với $Ox$ hay không?
b) Hãy trình bày cách xác định điểm $A$ khi biết các điểm $A_1, A_2$ trong mặt phẳng $(P_1)$.
b)
c)
Hình 3.9
Luyện tập 3. Thực hiện Ví dụ 3 khi mặt phẳng hình chiếu đứng $(P_1)$ song song với mặt phẳng $(SBD)$, mặt phẳng hình chiếu bằng $(P_2)$ song song với mặt phẳng $(ABCD)$.
Nhận xét. Trong Ví dụ 3 đường thẳng $BD$ vuông góc với mặt phẳng $(SAC)$ nên cũng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng $(P_1)$. Do đó hình chiếu đứng của ba điểm $B, O, D$ trùng nhau.
Một cách tổng quát, các hình chiếu đứng, hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh có các tính chất của hình chiếu vuông góc, ví dụ như hình chiếu của trung điểm là trung điểm, hình chiếu của các đường thẳng song song là các đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
? Hãy giải thích tại sao trong Hình 3.9b, điểm $B'$ (hình chiếu đứng của $B$) là trung điểm của đoạn thẳng $A'C'$ (hình chiếu đứng của $AC$).
Vận dụng 1. Trong vẽ kĩ thuật có hai phương pháp chiếu là phương pháp chiếu góc thứ nhất và phương pháp chiếu góc thứ ba. Với phương pháp chiếu góc thứ nhất, vật thể luôn nằm giữa người quan sát và các mặt phẳng hình chiếu (H.3.5), còn với phương pháp chiếu góc thứ ba thì các mặt phẳng hình chiếu luôn nằm giữa người quan sát và vật thể (H.3.10). Mỗi hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh và hình chiếu bằng nhận được từ hai phương pháp chiếu đều bằng nhau. Hãy giải thích tại sao.
Hình 3.10
Chú ý. Vì hình chiếu nhận được qua hai phương pháp chiếu góc thứ nhất và thứ ba là như nhau nên từ nay về sau, nếu không giải thích gì thêm, các hình chiếu được nhắc tới đều lấy theo phương pháp chiếu góc thứ nhất.
3. MỐI LIÊN HỆ GIỮA BA HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC
HD3. Trong không gian cho điểm $A$ và hai mặt phẳng hình chiếu đứng, hình chiếu bằng $(P_1)$, $(P_2)$ cắt nhau theo giao tuyến $Ox$. Gọi $A_1$ và $A_2$ lần lượt là hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của điểm $A$ (H.3.11a). Quay mặt phẳng $(P_2)$ quanh $Ox$ sao cho $(P_2)$ trùng với $(P_1)$, khi đó hai điểm $A_1$ và $A_2$ cùng thuộc mặt phẳng $(P_1)$ (H.3.11b).
a) Nhận xét về vị trí của các điểm $A_1, A_2$ đối với đường thẳng $Ox$. Đường thẳng $A_1A_2$ có vuông góc với $Ox$ hay không?
b) Hãy trình bày cách xác định điểm $A$ khi biết các điểm $A_1, A_2$ trong mặt phẳng $(P_1)$.
Hình 3.11
Một điểm trong không gian hoàn toàn được xác định nếu biết hai hình chiếu của điểm đó. Vì vậy, một vật thể hoàn toàn được xác định nếu biết hai hình chiếu của mỗi điểm thuộc vật thể đó.
Trong vẽ kĩ thuật, Hình 3.11b được gọi là đồ thức của điểm A. Khoảng cách từ điểm A đến hai mặt phẳng $(P_1), (P_2)$ lần lượt được gọi là độ xa và độ cao của A.
Ví dụ 4. Trong Hình 3.12, hình nào thể hiện đúng hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm A trong không gian?
Hình 3.12
Giải
Nếu $A_1$ và $A_2$ là hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của điểm A thì đường thẳng $A_1A_2$ vuông góc với Ox. Do đó chỉ có Hình 3.12b thể hiện đúng hai hình chiếu của điểm A.
Luyện tập 4. Trong Hình 3.13, hình nào thể hiện đúng hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm A trong không gian?
Hình 3.13
Một điểm trong không gian hoàn toàn được xác định nếu biết hai hình chiếu của điểm đó. Vì vậy, một vật thể hoàn toàn được xác định nếu biết hai hình chiếu của mỗi điểm thuộc vật thể đó.
Trong vẽ kĩ thuật, Hình 3.11b được gọi là đồ thức của điểm A. Khoảng cách từ điểm A đến hai mặt phẳng $(P_1), (P_2)$ lần lượt được gọi là độ xa và độ cao của A.
Ví dụ 4. Trong Hình 3.12, hình nào thể hiện đúng hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm A trong không gian?
Hình 3.12
Giải
Nếu $A_1$ và $A_2$ là hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của điểm A thì đường thẳng $A_1A_2$ vuông góc với Ox. Do đó chỉ có Hình 3.12b thể hiện đúng hai hình chiếu của điểm A.
Luyện tập 4. Trong Hình 3.13, hình nào thể hiện đúng hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm A trong không gian?
Hình 3.13
HD4. Trong HD3, gọi $(P_3)$ là mặt phẳng hình chiếu cạnh và $A_3$ là hình chiếu cạnh của $A$. Gọi $Oz$ là giao tuyến của $(P_1)$ và $(P_3)$, $Oy$ là giao tuyến của $(P_2)$ và $(P_3)$. Quay mặt phẳng $(P_2)$ quanh $Ox$ sao cho $(P_2)$ trùng với $(P_1)$ và quay mặt phẳng $(P_3)$ quanh $Oz$ sao cho $(P_3)$ trùng với $(P_1)$, khi đó ba điểm $A_1$, $A_2$, $A_3$ cùng thuộc mặt phẳng $(P_1)$ (H.3.14).
a) Đường thẳng $A_1A_3$ có vuông góc với đường thẳng $Oz$ hay không? Khoảng cách từ $A_3$ đến $Oz$ có bằng khoảng cách từ $A_2$ đến $Ox$ hay không?
b) Trong mặt phẳng $(P_1)$, trình bày cách xác định điểm $A_3$ khi biết hai điểm $A_1$, $A_2$.
Hình 3.14
Trong mặt phẳng $(P_1)$, một trong ba điểm $A_1$, $A_2$, $A_3$ hoàn toàn được xác định nếu biết hai điểm còn lại.
Ví dụ 5. Hình 3.15a thể hiện hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của đoạn thẳng $AB$ trong không gian. Xác định hình chiếu cạnh của đoạn thẳng đó.
Hình 3.15
Giải
Hình chiếu cạnh của đoạn thẳng $AB$ có hai đầu mút là hình chiếu cạnh $A_3$ của $A$ và $B_3$ của $B$. Để xác định $A_3$ ta làm như sau: Qua điểm $A_2$ vẽ đường thẳng vuông góc với $Oz$ tại $C$ và trên $Ox$ lấy điểm $D$ sao cho $OC = OD$ (H.3.15b). Đường thẳng qua $A_1$ và vuông góc với $Oz$ cắt đường thẳng qua $D$ và vuông góc với $Ox$ tại $A_3$. Tương tự, xác định được $B_3$. Nối $A_3$ và $B_3$ ta nhận được hình chiếu cạnh của đoạn thẳng $AB$.
a) Đường thẳng $A_1A_3$ có vuông góc với đường thẳng $Oz$ hay không? Khoảng cách từ $A_3$ đến $Oz$ có bằng khoảng cách từ $A_2$ đến $Ox$ hay không?
b) Trong mặt phẳng $(P_1)$, trình bày cách xác định điểm $A_3$ khi biết hai điểm $A_1$, $A_2$.
Hình 3.14
Trong mặt phẳng $(P_1)$, một trong ba điểm $A_1$, $A_2$, $A_3$ hoàn toàn được xác định nếu biết hai điểm còn lại.
Ví dụ 5. Hình 3.15a thể hiện hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của đoạn thẳng $AB$ trong không gian. Xác định hình chiếu cạnh của đoạn thẳng đó.
Hình 3.15
Giải
Hình chiếu cạnh của đoạn thẳng $AB$ có hai đầu mút là hình chiếu cạnh $A_3$ của $A$ và $B_3$ của $B$. Để xác định $A_3$ ta làm như sau: Qua điểm $A_2$ vẽ đường thẳng vuông góc với $Oz$ tại $C$ và trên $Ox$ lấy điểm $D$ sao cho $OC = OD$ (H.3.15b). Đường thẳng qua $A_1$ và vuông góc với $Oz$ cắt đường thẳng qua $D$ và vuông góc với $Ox$ tại $A_3$. Tương tự, xác định được $B_3$. Nối $A_3$ và $B_3$ ta nhận được hình chiếu cạnh của đoạn thẳng $AB$.
Luyện tập 5. Hình 3.16 thể hiện hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của một đoạn thẳng $AB$ trong không gian. Xác định hình chiếu bằng của đoạn thẳng đó.
Hình 3.16
Vận dụng 2. Dựa vào mối liên hệ giữa ba hình chiếu, giải thích cách bố trí các hình chiếu trên bản vẽ kĩ thuật. Vì sao đối với một số vật thể đơn giản, bản vẽ kĩ thuật chỉ thể hiện hai thay vì ba hình chiếu?
Ngày nay khi sử dụng các phần mềm đồ hoạ như AutoCAD, SketchUP, Photoshop, ... ta chỉ cần vẽ hai hình chiếu bất kì của vật thể, phần mềm sẽ phân tích, xử lí và cho ra hình chiếu còn lại.
4. HÌNH CHIẾU TRỤC ĐO
HĐ5. Cho hình hộp chữ nhật $\mathscr{H}$. Quan sát hình chiếu song song $\mathscr{H}'$ của hình $\mathscr{H}$ lên mặt phẳng $(P)$ theo phương $l$ (H.3.17) và trả lời các câu hỏi sau:
a) Hình $\mathscr{H}'$ có phải là hình chiếu đứng, hình chiếu bằng hay hình chiếu cạnh của hình $\mathscr{H}$ hay không?
b) Phương chiếu $l$ có song song với mặt nào của hình hộp chữ nhật $\mathscr{H}$ hay không?
Nhắc lại khái niệm hình chiếu đứng, hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh.
Hình 3.17
Hình 3.16
Vận dụng 2. Dựa vào mối liên hệ giữa ba hình chiếu, giải thích cách bố trí các hình chiếu trên bản vẽ kĩ thuật. Vì sao đối với một số vật thể đơn giản, bản vẽ kĩ thuật chỉ thể hiện hai thay vì ba hình chiếu?
Ngày nay khi sử dụng các phần mềm đồ hoạ như AutoCAD, SketchUP, Photoshop, ... ta chỉ cần vẽ hai hình chiếu bất kì của vật thể, phần mềm sẽ phân tích, xử lí và cho ra hình chiếu còn lại.
4. HÌNH CHIẾU TRỤC ĐO
HĐ5. Cho hình hộp chữ nhật $\mathscr{H}$. Quan sát hình chiếu song song $\mathscr{H}'$ của hình $\mathscr{H}$ lên mặt phẳng $(P)$ theo phương $l$ (H.3.17) và trả lời các câu hỏi sau:
a) Hình $\mathscr{H}'$ có phải là hình chiếu đứng, hình chiếu bằng hay hình chiếu cạnh của hình $\mathscr{H}$ hay không?
b) Phương chiếu $l$ có song song với mặt nào của hình hộp chữ nhật $\mathscr{H}$ hay không?
Nhắc lại khái niệm hình chiếu đứng, hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh.
Hình 3.17
Hình chiếu song song của một hình $\mathscr{H}$ lên mặt phẳng $(P)$ theo phương $l$ không song song với bề mặt nào của hình $\mathscr{H}$ được gọi là hình chiếu trục đo của $\mathscr{H}$.
Tại sao hình chiếu trục đo thường thể hiện nhiều mặt của vật thể hơn so với hình chiếu vuông góc?
Nhận xét. Vì hình chiếu trục đo thường thể hiện được nhiều mặt của vật thể hơn so với hình chiếu vuông góc nên nó giúp người xem hình dung vật thể rõ ràng hơn. Trên thực tế, hầu hết các hình biểu diễn có tính lập thể (hay hình 3D) mà em đã từng gặp đều là hình chiếu trục đo (H.3.18).
Hình 3.18
Ví dụ 6. Trong các hình chiếu song song sau (H.3.19), hình nào là hình chiếu trục đo của một hình lập phương?
a)
b)
c)
Hình 3.19
Giải
Trong Hình 3.19a và 3.19b chỉ thấy được hai mặt của hình lập phương, tức là phép chiếu song song tương ứng có phương chiếu song song với ít nhất một mặt của hình lập phương. Vì vậy Hình 3.19a và 3.19b không là hình chiếu trục đo của hình lập phương. Trong Hình 3.19c có thể thấy được cả ba mặt của hình lập phương nên hình này là hình chiếu trục đo của hình lập phương.
Luyện tập 6. Trong các hình chiếu song song sau (H.3.20), hình nào thể hiện đúng hình chiếu trục đo của một hình hộp chữ nhật?
a)
b)
c)
Hình 3.20
Tại sao hình chiếu trục đo thường thể hiện nhiều mặt của vật thể hơn so với hình chiếu vuông góc?
Nhận xét. Vì hình chiếu trục đo thường thể hiện được nhiều mặt của vật thể hơn so với hình chiếu vuông góc nên nó giúp người xem hình dung vật thể rõ ràng hơn. Trên thực tế, hầu hết các hình biểu diễn có tính lập thể (hay hình 3D) mà em đã từng gặp đều là hình chiếu trục đo (H.3.18).
Hình 3.18
Ví dụ 6. Trong các hình chiếu song song sau (H.3.19), hình nào là hình chiếu trục đo của một hình lập phương?
a)
b)
c)
Hình 3.19
Giải
Trong Hình 3.19a và 3.19b chỉ thấy được hai mặt của hình lập phương, tức là phép chiếu song song tương ứng có phương chiếu song song với ít nhất một mặt của hình lập phương. Vì vậy Hình 3.19a và 3.19b không là hình chiếu trục đo của hình lập phương. Trong Hình 3.19c có thể thấy được cả ba mặt của hình lập phương nên hình này là hình chiếu trục đo của hình lập phương.
Luyện tập 6. Trong các hình chiếu song song sau (H.3.20), hình nào thể hiện đúng hình chiếu trục đo của một hình hộp chữ nhật?
a)
b)
c)
Hình 3.20
Vận dụng 3. Xoay một hình lập phương để có thể quan sát được cả ba mặt của nó. Khi đó các phần quan sát được của hình lập phương có tạo thành hình chiếu trục đo của nó hay không? Hãy giải thích tại sao.
HD6. Giả sử hình hộp chữ nhật $\mathscr{H}$ trong HD5 được gắn thêm các trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc dọc theo chiều dài, chiều rộng và chiều cao của $\mathscr{H}$. Gọi O'x', O'y' và O'z' lần lượt là hình chiếu của các trục đó lên mặt phẳng (P) theo phương $l$ (H.3.21).
a) Hình chiếu của các góc $\widehat{xOy}$, $\widehat{yOz}$, $\widehat{zOx}$ là các góc nào trên mặt phẳng hình chiếu?
b) Giả sử M, N là hai điểm thuộc trục Oz và M', N' là hình chiếu tương ứng thuộc trục O'z'. So sánh hai tỉ số $\frac{O'M'}{OM}$ và $\frac{O'N'}{ON}$.
Nhắc lại tính chất bảo toàn tỉ số độ dài đoạn thẳng của phép chiếu song song.
Hình 3.21
Cho hình $\mathscr{H}$ và các trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được đặt dọc theo ba chiều của hình $\mathscr{H}$.
Hình chiếu O'x', O'y', O'z' của các trục Ox, Oy, Oz được gọi là các trục đo.
Các góc $\widehat{x'O'y'}$, $\widehat{y'O'z'}$, $\widehat{z'O'x'}$ được gọi là các góc trục đo.
Hệ số biến dạng theo mỗi trục là tỉ số độ dài hình chiếu của một đoạn thẳng nằm trên trục đó hoặc song song với trục đó với độ dài thực tế của đoạn thẳng đó.
HD6. Giả sử hình hộp chữ nhật $\mathscr{H}$ trong HD5 được gắn thêm các trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc dọc theo chiều dài, chiều rộng và chiều cao của $\mathscr{H}$. Gọi O'x', O'y' và O'z' lần lượt là hình chiếu của các trục đó lên mặt phẳng (P) theo phương $l$ (H.3.21).
a) Hình chiếu của các góc $\widehat{xOy}$, $\widehat{yOz}$, $\widehat{zOx}$ là các góc nào trên mặt phẳng hình chiếu?
b) Giả sử M, N là hai điểm thuộc trục Oz và M', N' là hình chiếu tương ứng thuộc trục O'z'. So sánh hai tỉ số $\frac{O'M'}{OM}$ và $\frac{O'N'}{ON}$.
Nhắc lại tính chất bảo toàn tỉ số độ dài đoạn thẳng của phép chiếu song song.
Hình 3.21
Cho hình $\mathscr{H}$ và các trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được đặt dọc theo ba chiều của hình $\mathscr{H}$.
Hình chiếu O'x', O'y', O'z' của các trục Ox, Oy, Oz được gọi là các trục đo.
Các góc $\widehat{x'O'y'}$, $\widehat{y'O'z'}$, $\widehat{z'O'x'}$ được gọi là các góc trục đo.
Hệ số biến dạng theo mỗi trục là tỉ số độ dài hình chiếu của một đoạn thẳng nằm trên trục đó hoặc song song với trục đó với độ dài thực tế của đoạn thẳng đó.
Chú ý
– Trong Hình 3.21, các tỉ số $p = \frac{O'A'}{OA}$, $q = \frac{O'B'}{OB}$ và $r = \frac{O'C'}{OC}$ lần lượt được gọi là hệ số biến dạng theo trục $O'x'$, $O'y'$ và $O'z'$.
– Hệ số biến dạng trên mỗi trục đo phụ thuộc vào vị trí tương đối của mỗi trục với mặt phẳng chiếu và phụ thuộc vào phương chiếu. Phần tiếp theo của mục này sẽ trình bày một phép chiếu trục đo đặc biệt mà ở đó các hệ số biến dạng được lựa chọn để thuận tiện cho việc vẽ hình chiếu trục đo của vật thể.
Ví dụ 7. Cho một hình lập phương có độ dài mỗi cạnh là 6 cm. Hình chiếu trục đo của hình lập phương được cho như trong Hình 3.22a. Tính hệ số biến dạng theo mỗi trục đo.
a)
b)
Hình 3.22
Giải
Gọi $O$, $A$, $B$, $C$ là các đỉnh của hình lập phương có hình chiếu lần lượt là $O'$, $A'$, $B'$, $C'$. Khi đó $OA = OB = OC = 6$ cm và các hệ số biến dạng lần lượt là $p = \frac{O'A'}{OA} = \frac{3}{6} = 0,5$; $q = \frac{O'B'}{OB} = \frac{3}{6} = 0,5$ và $r = \frac{O'C'}{OC} = \frac{2}{6} \approx 0,33$.
Luyện tập 7. Hình chiếu trục đo của một hình hộp chữ nhật được cho như trong Hình 3.22b. Biết các hệ số biến dạng là $p = 1$, $q = r = 0,5$. Tính kích thước thực tế của hình hộp chữ nhật đó.
HD7. Cho hình tứ diện vuông $OABC$ có các cạnh $OA$, $OB$, $OC$ bằng nhau và lần lượt nằm trên các trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ đôi một vuông góc với nhau. Xét phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng $(P)$ đi qua $O$ sao cho các trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ tạo với $(P)$ các góc bằng nhau (H.3.23a). Gọi $A'$, $B'$, $C'$ lần lượt là hình chiếu của $A$, $B$, $C$.
a) Giải thích vì sao $ABC$ là tam giác đều.
b) Giải thích vì sao các khoảng cách từ $A$, $B$, $C$ đến $(P)$ bằng nhau, từ đó suy ra mặt phẳng $(ABC)$ song song với mặt phẳng $(P)$.
c) Gọi $I$ là tâm tam giác đều $ABC$. Giải thích vì sao $\widehat{A'O'B'} = \widehat{AIB}$, từ đó suy ra $\widehat{A'O'B'} = \widehat{B'O'C'} = \widehat{A'O'C'} = 120^{\circ}$.
Trong HD7, $AIB.A'O'B'$ là hình lăng trụ đứng tam giác.
– Trong Hình 3.21, các tỉ số $p = \frac{O'A'}{OA}$, $q = \frac{O'B'}{OB}$ và $r = \frac{O'C'}{OC}$ lần lượt được gọi là hệ số biến dạng theo trục $O'x'$, $O'y'$ và $O'z'$.
– Hệ số biến dạng trên mỗi trục đo phụ thuộc vào vị trí tương đối của mỗi trục với mặt phẳng chiếu và phụ thuộc vào phương chiếu. Phần tiếp theo của mục này sẽ trình bày một phép chiếu trục đo đặc biệt mà ở đó các hệ số biến dạng được lựa chọn để thuận tiện cho việc vẽ hình chiếu trục đo của vật thể.
Ví dụ 7. Cho một hình lập phương có độ dài mỗi cạnh là 6 cm. Hình chiếu trục đo của hình lập phương được cho như trong Hình 3.22a. Tính hệ số biến dạng theo mỗi trục đo.
a)
b)
Hình 3.22
Giải
Gọi $O$, $A$, $B$, $C$ là các đỉnh của hình lập phương có hình chiếu lần lượt là $O'$, $A'$, $B'$, $C'$. Khi đó $OA = OB = OC = 6$ cm và các hệ số biến dạng lần lượt là $p = \frac{O'A'}{OA} = \frac{3}{6} = 0,5$; $q = \frac{O'B'}{OB} = \frac{3}{6} = 0,5$ và $r = \frac{O'C'}{OC} = \frac{2}{6} \approx 0,33$.
Luyện tập 7. Hình chiếu trục đo của một hình hộp chữ nhật được cho như trong Hình 3.22b. Biết các hệ số biến dạng là $p = 1$, $q = r = 0,5$. Tính kích thước thực tế của hình hộp chữ nhật đó.
HD7. Cho hình tứ diện vuông $OABC$ có các cạnh $OA$, $OB$, $OC$ bằng nhau và lần lượt nằm trên các trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ đôi một vuông góc với nhau. Xét phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng $(P)$ đi qua $O$ sao cho các trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ tạo với $(P)$ các góc bằng nhau (H.3.23a). Gọi $A'$, $B'$, $C'$ lần lượt là hình chiếu của $A$, $B$, $C$.
a) Giải thích vì sao $ABC$ là tam giác đều.
b) Giải thích vì sao các khoảng cách từ $A$, $B$, $C$ đến $(P)$ bằng nhau, từ đó suy ra mặt phẳng $(ABC)$ song song với mặt phẳng $(P)$.
c) Gọi $I$ là tâm tam giác đều $ABC$. Giải thích vì sao $\widehat{A'O'B'} = \widehat{AIB}$, từ đó suy ra $\widehat{A'O'B'} = \widehat{B'O'C'} = \widehat{A'O'C'} = 120^{\circ}$.
Trong HD7, $AIB.A'O'B'$ là hình lăng trụ đứng tam giác.
Trong hình chiếu trục đo vuông góc đều có:
Mặt phẳng chiếu $(P)$ vuông góc với phương chiếu $l$;
Các góc trục đo đều bằng $120^{\circ}$ (H.3.23b);
Các hệ số biến dạng đều bằng 1.
Hãy quan sát hình ảnh mở đầu (H.3.1) và cho biết hình nào là hình chiếu trục đo vuông góc đều của vật thể.
Nhận xét. Trong HD7, ta có thể chứng minh được $\frac{OA'}{OA} = \frac{OB'}{OB} = \frac{OC'}{OC} = \frac{\sqrt{6}}{3} \approx 0,82$ (xem bài tập 3.10) và do đó các hệ số biến dạng theo các trục bằng 0,82. Tuy nhiên, để thuận tiện cho việc tính toán và vẽ hình, ta thường quy ước các hệ số biến dạng bằng 1.
Ví dụ 8. Cho một hình lập phương có độ dài mỗi cạnh là 6 cm. Hình nào trong Hình 3.24 thể hiện đúng hình chiếu trục đo vuông góc đều của hình lập phương đó?
Mặt phẳng chiếu $(P)$ vuông góc với phương chiếu $l$;
Các góc trục đo đều bằng $120^{\circ}$ (H.3.23b);
Các hệ số biến dạng đều bằng 1.
Hãy quan sát hình ảnh mở đầu (H.3.1) và cho biết hình nào là hình chiếu trục đo vuông góc đều của vật thể.
Nhận xét. Trong HD7, ta có thể chứng minh được $\frac{OA'}{OA} = \frac{OB'}{OB} = \frac{OC'}{OC} = \frac{\sqrt{6}}{3} \approx 0,82$ (xem bài tập 3.10) và do đó các hệ số biến dạng theo các trục bằng 0,82. Tuy nhiên, để thuận tiện cho việc tính toán và vẽ hình, ta thường quy ước các hệ số biến dạng bằng 1.
Ví dụ 8. Cho một hình lập phương có độ dài mỗi cạnh là 6 cm. Hình nào trong Hình 3.24 thể hiện đúng hình chiếu trục đo vuông góc đều của hình lập phương đó?
Giải
Hình 3.24c có các góc trục đo khác $120^\circ$ nên không là hình chiếu trục đo vuông góc đều. Hình 3.24b là hình chiếu trục đo vuông góc đều nhưng không thể hiện đúng kích thước của hình lập phương. Chỉ có Hình 3.24a là hình chiếu trục đo vuông góc đều và thể hiện đúng kích thước của hình lập phương.
Luyện tập 8. Hình chiếu trục đo của một hình hộp chữ nhật được vẽ trên giấy kẻ ô tam giác đều như trong Hình 3.25. Quy ước độ dài mỗi cạnh của tam giác đều là 10 mm, xác định kích thước mỗi chiều của hình hộp đó.
Hình 3.25
Vận dụng 4. Hình 3.26a thể hiện cách vẽ dạng nổi của chữ cái "L" trên giấy kẻ ô tam giác đều. Hình nhận được là một hình chiếu trục đo vuông góc đều. Bằng cách tương tự hãy vẽ dạng nổi của chữ cái "T" (H.3.26b).
Hình 3.26a
Hình 3.26b
BÀI TẬP
3.1. Trong các khẳng định sau, những khẳng định nào là đúng?
a) Hình chiếu đứng của một hình $\mathscr{H}$ là hình chiếu song song của hình $\mathscr{H}$ lên một mặt phẳng nào đó.
b) Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
c) Hình chiếu cạnh của một đường thẳng luôn là một đường thẳng.
d) Hình chiếu bằng của hai điểm phân biệt luôn là hai điểm phân biệt.
3.2. Cho ví dụ về một vật thể có cả ba hình chiếu vuông góc là:
a) hình chữ nhật; b) hình tròn.
Hình 3.24c có các góc trục đo khác $120^\circ$ nên không là hình chiếu trục đo vuông góc đều. Hình 3.24b là hình chiếu trục đo vuông góc đều nhưng không thể hiện đúng kích thước của hình lập phương. Chỉ có Hình 3.24a là hình chiếu trục đo vuông góc đều và thể hiện đúng kích thước của hình lập phương.
Luyện tập 8. Hình chiếu trục đo của một hình hộp chữ nhật được vẽ trên giấy kẻ ô tam giác đều như trong Hình 3.25. Quy ước độ dài mỗi cạnh của tam giác đều là 10 mm, xác định kích thước mỗi chiều của hình hộp đó.
Hình 3.25
Vận dụng 4. Hình 3.26a thể hiện cách vẽ dạng nổi của chữ cái "L" trên giấy kẻ ô tam giác đều. Hình nhận được là một hình chiếu trục đo vuông góc đều. Bằng cách tương tự hãy vẽ dạng nổi của chữ cái "T" (H.3.26b).
Hình 3.26a
Hình 3.26b
BÀI TẬP
3.1. Trong các khẳng định sau, những khẳng định nào là đúng?
a) Hình chiếu đứng của một hình $\mathscr{H}$ là hình chiếu song song của hình $\mathscr{H}$ lên một mặt phẳng nào đó.
b) Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
c) Hình chiếu cạnh của một đường thẳng luôn là một đường thẳng.
d) Hình chiếu bằng của hai điểm phân biệt luôn là hai điểm phân biệt.
3.2. Cho ví dụ về một vật thể có cả ba hình chiếu vuông góc là:
a) hình chữ nhật; b) hình tròn.
3.3. Trên hình chiếu của mỗi vật thể (H.3.27) còn thiếu một số nét. Bổ sung các nét còn thiếu đó.
Hình 3.27
3.4. Bạn Hoàng nói rằng, "hình chiếu đứng của một đoạn thẳng luôn có độ dài lớn hơn độ dài của đoạn thẳng đó". Bạn Hoàng nói đúng hay sai? Vì sao?
3.5. Khi nào thì hình chiếu đứng của một đoạn thẳng $AB$ là một điểm? Khi nào thì hình chiếu bằng của một đoạn thẳng $AB$ là một điểm?
3.6. Cho đoạn thẳng $AB$ và gọi $A_1B_1$ là hình chiếu đứng của $AB$. Biết đường thẳng $AB$ song song với mặt phẳng hình chiếu đứng, chứng minh rằng $AB = A_1B_1$.
3.7. Trong các hình của Hình 3.28, hình nào là hình chiếu trục đo của hình lăng trụ tam giác?
Hình 3.28
3.8. Trong các hình của Hình 3.29, hình nào là hình chiếu trục đo vuông góc đều của một hình lập phương? Giải thích vì sao.
Hình 3.29
Hình 3.27
3.4. Bạn Hoàng nói rằng, "hình chiếu đứng của một đoạn thẳng luôn có độ dài lớn hơn độ dài của đoạn thẳng đó". Bạn Hoàng nói đúng hay sai? Vì sao?
3.5. Khi nào thì hình chiếu đứng của một đoạn thẳng $AB$ là một điểm? Khi nào thì hình chiếu bằng của một đoạn thẳng $AB$ là một điểm?
3.6. Cho đoạn thẳng $AB$ và gọi $A_1B_1$ là hình chiếu đứng của $AB$. Biết đường thẳng $AB$ song song với mặt phẳng hình chiếu đứng, chứng minh rằng $AB = A_1B_1$.
3.7. Trong các hình của Hình 3.28, hình nào là hình chiếu trục đo của hình lăng trụ tam giác?
Hình 3.28
3.8. Trong các hình của Hình 3.29, hình nào là hình chiếu trục đo vuông góc đều của một hình lập phương? Giải thích vì sao.
Hình 3.29
3.9. Cho hình tứ diện $OABC$ có $OA = 2\text{ cm}$, $OB = 3\text{ cm}$ và $OC = 6\text{ cm}$. Hình chiếu trục đo của hình tứ diện được cho như trong Hình 3.30. Tính hệ số biến dạng theo mỗi trục đo.
Hình 3.30
3.10. Trong HD7, bằng cách xét tam giác vuông $OIA$ và tính tỉ số $\frac{IA}{OA}$, chứng minh rằng trong phép chiếu trục đo vuông góc đều thì $p = q = r = \frac{\sqrt{6}}{3}$.
3.11. Hình chiếu trục đo của một vật thể được vẽ trên giấy kẻ ô tam giác đều như trong Hình 3.31. Quy ước độ dài mỗi cạnh của tam giác đều là $10\text{ cm}$, tính thể tích của vật thể đó.
Hình 3.31
Hình 3.30
3.10. Trong HD7, bằng cách xét tam giác vuông $OIA$ và tính tỉ số $\frac{IA}{OA}$, chứng minh rằng trong phép chiếu trục đo vuông góc đều thì $p = q = r = \frac{\sqrt{6}}{3}$.
3.11. Hình chiếu trục đo của một vật thể được vẽ trên giấy kẻ ô tam giác đều như trong Hình 3.31. Quy ước độ dài mỗi cạnh của tam giác đều là $10\text{ cm}$, tính thể tích của vật thể đó.
Hình 3.31
Em có biết?
Công nghệ in 3D đã được phát triển và áp dụng vào thực tế từ những năm 1980 bởi Charles Hull. Để in 3D, phần mềm của máy in sẽ phân tách vật thể thành các lớp chồng lên nhau, sau đó tính toán đường chạy cho đầu in để in từng lớp. Hết một lớp in, đầu in sẽ dịch chuyển lên trên để in lớp tiếp theo. Làm thế nào để phần mềm máy in 3D thực hiện được điều đó?
Đầu in
Bàn in
Trục di chuyển đầu in lên xuống
Sản phẩm sau khi in
Bộ xử lí của máy in
Máy in 3D
Quá trình in từng lớp của vật thể
Bắt đầu từ bản vẽ kĩ thuật của vật thể, các phần mềm đồ hoạ sẽ dựng lên hình ảnh ba chiều của vật thể cần in. Hình ảnh này thường được lưu trữ ở dạng tệp STL (Standard Triangle Language) cho phép mã hoá bề mặt của vật thể dưới dạng một "lưới tam giác". Phần mềm của máy in 3D khi nhận tệp STL có thể phân tích "lưới tam giác" này để chia vật thể thành các lớp; độ phân giải của "lưới tam giác" càng cao, tức là kích thước của mỗi tam giác trong lưới càng nhỏ, thì mỗi lớp in càng mỏng và do đó sản phẩm sau khi in càng mịn.
Bề mặt một vật thể được mã hoá bởi các lưới tam giác có độ phân giải tăng dần
(Theo www.sculpteo.com)
Công nghệ in 3D đã được phát triển và áp dụng vào thực tế từ những năm 1980 bởi Charles Hull. Để in 3D, phần mềm của máy in sẽ phân tách vật thể thành các lớp chồng lên nhau, sau đó tính toán đường chạy cho đầu in để in từng lớp. Hết một lớp in, đầu in sẽ dịch chuyển lên trên để in lớp tiếp theo. Làm thế nào để phần mềm máy in 3D thực hiện được điều đó?
Đầu in
Bàn in
Trục di chuyển đầu in lên xuống
Sản phẩm sau khi in
Bộ xử lí của máy in
Máy in 3D
Quá trình in từng lớp của vật thể
Bắt đầu từ bản vẽ kĩ thuật của vật thể, các phần mềm đồ hoạ sẽ dựng lên hình ảnh ba chiều của vật thể cần in. Hình ảnh này thường được lưu trữ ở dạng tệp STL (Standard Triangle Language) cho phép mã hoá bề mặt của vật thể dưới dạng một "lưới tam giác". Phần mềm của máy in 3D khi nhận tệp STL có thể phân tích "lưới tam giác" này để chia vật thể thành các lớp; độ phân giải của "lưới tam giác" càng cao, tức là kích thước của mỗi tam giác trong lưới càng nhỏ, thì mỗi lớp in càng mỏng và do đó sản phẩm sau khi in càng mịn.
Bề mặt một vật thể được mã hoá bởi các lưới tam giác có độ phân giải tăng dần
(Theo www.sculpteo.com)
Bài 12. Bản vẽ kĩ thuật
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết được nguyên tắc cơ bản trong vẽ kĩ thuật.
Đọc được thông tin từ một số bản vẽ kĩ thuật đơn giản.
Vẽ được bản vẽ kĩ thuật đơn giản.
Bản vẽ kĩ thuật của một vật thể là tài liệu mô tả chính xác hình dạng, kết cấu và kích thước của vật thể đó. Bản vẽ kĩ thuật cần tuân thủ các nguyên tắc nào? Làm thế nào để đọc được thông tin từ một bản vẽ kĩ thuật và lập một bản vẽ kĩ thuật đơn giản?
Hình 3.32. Bản vẽ kĩ thuật của một chi tiết máy
1. MỘT SỐ TIÊU CHUẨN CỦA BẢN VẼ KĨ THUẬT
Bản vẽ kĩ thuật đều có khung bản vẽ, khung tên và luôn được vẽ trên một khổ giấy nhất định. Kích thước của các khổ giấy chính được cho như trong bảng dưới đây.
Khổ giấy, A0, A1, A2, A3, A4
Kích thước (mm x mm), $1,189 \times 841$, $841 \times 594$, $594 \times 420$, $420 \times 297$, $297 \times 210$
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
Nhận biết được nguyên tắc cơ bản trong vẽ kĩ thuật.
Đọc được thông tin từ một số bản vẽ kĩ thuật đơn giản.
Vẽ được bản vẽ kĩ thuật đơn giản.
Bản vẽ kĩ thuật của một vật thể là tài liệu mô tả chính xác hình dạng, kết cấu và kích thước của vật thể đó. Bản vẽ kĩ thuật cần tuân thủ các nguyên tắc nào? Làm thế nào để đọc được thông tin từ một bản vẽ kĩ thuật và lập một bản vẽ kĩ thuật đơn giản?
Hình 3.32. Bản vẽ kĩ thuật của một chi tiết máy
1. MỘT SỐ TIÊU CHUẨN CỦA BẢN VẼ KĨ THUẬT
Bản vẽ kĩ thuật đều có khung bản vẽ, khung tên và luôn được vẽ trên một khổ giấy nhất định. Kích thước của các khổ giấy chính được cho như trong bảng dưới đây.
Khổ giấy, A0, A1, A2, A3, A4
Kích thước (mm x mm), $1,189 \times 841$, $841 \times 594$, $594 \times 420$, $420 \times 297$, $297 \times 210$
HD1. Quan sát bản vẽ kĩ thuật trong Hình 3.32 và trả lời các câu hỏi sau:
a) Bản vẽ kĩ thuật được vẽ trên khổ giấy nào?
b) Các cạnh của khung bản vẽ cách các cạnh của khổ giấy bao nhiêu milimét?
c) Khung tên được đặt ở vị trí nào của bản vẽ và trình bày những thông tin cơ bản nào?
Mỗi bản vẽ đều có khung bản vẽ, khung tên. Khung bản vẽ cách cạnh trái của khổ giấy là 20 mm và cách các cạnh còn lại là 10 mm. Khung tên ghi các nội dung về quản lí bản vẽ và được đặt ở góc dưới bên phải của bản vẽ.
Chú ý
– Kích thước và nội dung khung tên của bản vẽ ở trường phổ thông được cho như trong Hình 3.33. Nội dung cụ thể của các ô trong khung tên như sau: (1) Tên vật thể/đề bài tập; (2) Tên vật liệu; (3) Tỉ lệ của bản vẽ; (4) Kí hiệu số bài tập; (5) Họ, tên người vẽ; (6) Ngày lập bản vẽ; (7) Chữ kí của người kiểm tra; (8) Ngày kiểm tra; (9) Tên trường, lớp.
Hình 3.33
Kích thước ghi trên bản vẽ kĩ thuật, nếu không nói gì thêm, luôn được lấy theo đơn vị milimét.
– Tỉ lệ ghi ở ô số (3) là tỉ số giữa kích thước đo được trên bản vẽ và kích thước thực của vật thể đó, vì vậy tỉ lệ giúp người đọc bản vẽ ước lượng được kích thước thực của vật thể. Một số tỉ lệ hay sử dụng được cho trong bảng sau.
Thu nhỏ, $1 : 2$, $1 : 5$, $1 : 10$, $1 : 20$, $1 : 50$
Nguyên hình, $1 : 1$
Phóng to, $2 : 1$, $5 : 1$, $10 : 1$, $20 : 1$, $50 : 1$
Ví dụ 1. Một bản vẽ kĩ thuật được vẽ trên khổ giấy A3 như trong Hình 3.34a. Xác định kích thước khung bản vẽ của bản vẽ đó.
a)
b)
Hình 3.34
a) Bản vẽ kĩ thuật được vẽ trên khổ giấy nào?
b) Các cạnh của khung bản vẽ cách các cạnh của khổ giấy bao nhiêu milimét?
c) Khung tên được đặt ở vị trí nào của bản vẽ và trình bày những thông tin cơ bản nào?
Mỗi bản vẽ đều có khung bản vẽ, khung tên. Khung bản vẽ cách cạnh trái của khổ giấy là 20 mm và cách các cạnh còn lại là 10 mm. Khung tên ghi các nội dung về quản lí bản vẽ và được đặt ở góc dưới bên phải của bản vẽ.
Chú ý
– Kích thước và nội dung khung tên của bản vẽ ở trường phổ thông được cho như trong Hình 3.33. Nội dung cụ thể của các ô trong khung tên như sau: (1) Tên vật thể/đề bài tập; (2) Tên vật liệu; (3) Tỉ lệ của bản vẽ; (4) Kí hiệu số bài tập; (5) Họ, tên người vẽ; (6) Ngày lập bản vẽ; (7) Chữ kí của người kiểm tra; (8) Ngày kiểm tra; (9) Tên trường, lớp.
Hình 3.33
Kích thước ghi trên bản vẽ kĩ thuật, nếu không nói gì thêm, luôn được lấy theo đơn vị milimét.
– Tỉ lệ ghi ở ô số (3) là tỉ số giữa kích thước đo được trên bản vẽ và kích thước thực của vật thể đó, vì vậy tỉ lệ giúp người đọc bản vẽ ước lượng được kích thước thực của vật thể. Một số tỉ lệ hay sử dụng được cho trong bảng sau.
Thu nhỏ, $1 : 2$, $1 : 5$, $1 : 10$, $1 : 20$, $1 : 50$
Nguyên hình, $1 : 1$
Phóng to, $2 : 1$, $5 : 1$, $10 : 1$, $20 : 1$, $50 : 1$
Ví dụ 1. Một bản vẽ kĩ thuật được vẽ trên khổ giấy A3 như trong Hình 3.34a. Xác định kích thước khung bản vẽ của bản vẽ đó.
a)
b)
Hình 3.34
Giải
Khổ giấy A3 có chiều dài là 420 mm và chiều rộng là 297 mm. Do đó chiều dài của khung bản vẽ là $420 - 20 - 10 = 390$ (mm) và chiều rộng là $297 - 10 - 10 = 277$ (mm).
Luyện tập 1. Hình 3.34b thể hiện một bản vẽ kĩ thuật có kích thước khung bản vẽ là 564 mm x 400 mm. Hỏi bản vẽ đó được vẽ trên khổ giấy nào?
HĐ2. Quan sát bản vẽ kĩ thuật trong Hình 3.32 và cho biết trên bản vẽ đó có những loại nét vẽ nào. Chiều rộng (hay độ dày) của các nét vẽ đó có giống nhau không?
Các loại nét vẽ thường dùng được cho trong bảng sau và minh hoạ bởi Hình 3.35.
Tên gọi, Hình dạng, Ứng dụng
Nét liền đậm, ——————, Đường bao thấy, cạnh thấy (G), (H)
Nét liền mảnh, ———————————, Đường kích thước (A), đường dóng (B), đường gạch gạch trên mặt cắt (C)
Nét đứt mảnh, ⎯⎯↔12d↔⎯⎯⎯ ↔3d↔⎯⎯⎯, Đường bao khuất, cạnh khuất (F)
Nét lượn sóng, ~~~~~~, Đường giới hạn hình cắt (D)
Nét gạch dài chấm mảnh, ↔24d↔⎯ · ⎯⎯⎯ ↔6d↔⎯ ·, Đường tâm, đường trục đối xứng (E), (I)
Trong bảng trên, d là chiều rộng của nét vẽ và thường được chọn trong dãy kích thước: 0,13; 0,18; 0,25; 0,35; 0,5; 0,7; 1,4; 2 (mm).
Hình 3.35
Khổ giấy A3 có chiều dài là 420 mm và chiều rộng là 297 mm. Do đó chiều dài của khung bản vẽ là $420 - 20 - 10 = 390$ (mm) và chiều rộng là $297 - 10 - 10 = 277$ (mm).
Luyện tập 1. Hình 3.34b thể hiện một bản vẽ kĩ thuật có kích thước khung bản vẽ là 564 mm x 400 mm. Hỏi bản vẽ đó được vẽ trên khổ giấy nào?
HĐ2. Quan sát bản vẽ kĩ thuật trong Hình 3.32 và cho biết trên bản vẽ đó có những loại nét vẽ nào. Chiều rộng (hay độ dày) của các nét vẽ đó có giống nhau không?
Các loại nét vẽ thường dùng được cho trong bảng sau và minh hoạ bởi Hình 3.35.
Tên gọi, Hình dạng, Ứng dụng
Nét liền đậm, ——————, Đường bao thấy, cạnh thấy (G), (H)
Nét liền mảnh, ———————————, Đường kích thước (A), đường dóng (B), đường gạch gạch trên mặt cắt (C)
Nét đứt mảnh, ⎯⎯↔12d↔⎯⎯⎯ ↔3d↔⎯⎯⎯, Đường bao khuất, cạnh khuất (F)
Nét lượn sóng, ~~~~~~, Đường giới hạn hình cắt (D)
Nét gạch dài chấm mảnh, ↔24d↔⎯ · ⎯⎯⎯ ↔6d↔⎯ ·, Đường tâm, đường trục đối xứng (E), (I)
Trong bảng trên, d là chiều rộng của nét vẽ và thường được chọn trong dãy kích thước: 0,13; 0,18; 0,25; 0,35; 0,5; 0,7; 1,4; 2 (mm).
Hình 3.35
Ví dụ 2. Trên bản vẽ kĩ thuật ở Hình 3.32 có bao nhiêu nét đứt mảnh? Các nét đứt mảnh đó thể hiện đường bao khuất hay cạnh khuất nào?
Giải
Bản vẽ kĩ thuật ở Hình 3.32 có hai nét đứt mảnh. Hai nét đứt mảnh này thể hiện hai cạnh bị che khuất ở phần dưới của khối chữ T.
Luyện tập 2. Trên bản vẽ kĩ thuật ở Hình 3.32 có bao nhiêu nét liền mảnh?
Chú ý. Ngoài các quy ước về nét vẽ, bản vẽ kĩ thuật còn có các quy ước về chữ viết. Cụ thể, mỗi chữ cái, chữ số hay kí tự tuân theo một khổ chữ nhất định: khổ chữ được xác định bằng chiều cao $h$ của chữ hoa; chiều rộng của nét chữ thường lấy bằng $\frac{1}{10} h$ (H.3.36).
Hình 3.36. Một số chữ viết, chữ số và kí tự kiểu đứng
HD3. Quan sát bản vẽ kĩ thuật trong Hình 3.32 và cho biết các kích thước được viết ở vị trí nào của đường kích thước.
Nhận xét
– Đường kích thước được vẽ bằng nét liền mảnh và thường song song với kích thước được viết. Ở đầu mút của đường kích thước có vẽ mũi tên.
– Đường dóng kích thước được vẽ bằng nét liền mảnh và vượt quá đường kích thước từ 2 mm đến 4 mm. Đường dóng kích thước thường được vẽ vuông góc với đường kích thước.
– Vị trí của chữ số kích thước phụ thuộc vào đường kích thước và được viết theo hướng dẫn trong Hình 3.37a. Trước chữ số kích thước thể hiện đường kính của đường tròn, viết kí hiệu $\phi$ (đọc là "phi"); trước chữ số kích thước thể hiện bán kính của cung tròn, viết kí hiệu R (H.3.37b).
Hình 3.37
Giải
Bản vẽ kĩ thuật ở Hình 3.32 có hai nét đứt mảnh. Hai nét đứt mảnh này thể hiện hai cạnh bị che khuất ở phần dưới của khối chữ T.
Luyện tập 2. Trên bản vẽ kĩ thuật ở Hình 3.32 có bao nhiêu nét liền mảnh?
Chú ý. Ngoài các quy ước về nét vẽ, bản vẽ kĩ thuật còn có các quy ước về chữ viết. Cụ thể, mỗi chữ cái, chữ số hay kí tự tuân theo một khổ chữ nhất định: khổ chữ được xác định bằng chiều cao $h$ của chữ hoa; chiều rộng của nét chữ thường lấy bằng $\frac{1}{10} h$ (H.3.36).
Hình 3.36. Một số chữ viết, chữ số và kí tự kiểu đứng
HD3. Quan sát bản vẽ kĩ thuật trong Hình 3.32 và cho biết các kích thước được viết ở vị trí nào của đường kích thước.
Nhận xét
– Đường kích thước được vẽ bằng nét liền mảnh và thường song song với kích thước được viết. Ở đầu mút của đường kích thước có vẽ mũi tên.
– Đường dóng kích thước được vẽ bằng nét liền mảnh và vượt quá đường kích thước từ 2 mm đến 4 mm. Đường dóng kích thước thường được vẽ vuông góc với đường kích thước.
– Vị trí của chữ số kích thước phụ thuộc vào đường kích thước và được viết theo hướng dẫn trong Hình 3.37a. Trước chữ số kích thước thể hiện đường kính của đường tròn, viết kí hiệu $\phi$ (đọc là "phi"); trước chữ số kích thước thể hiện bán kính của cung tròn, viết kí hiệu R (H.3.37b).
Hình 3.37
Ví dụ 3. Hình 3.37b thể hiện một phần bản vẽ kĩ thuật. Trong hai kí hiệu A, B, kí hiệu nào ứng với đường dóng kích thước và kí hiệu nào ứng với chữ số kích thước?
Giải
Kí hiệu A ứng với đường dóng kích thước và kí hiệu B ứng với chữ số kích thước.
Luyện tập 3. Trong Hình 3.37b, kí hiệu nào trong hai kí hiệu C, D ứng với đường kích thước và kí hiệu nào ứng với chữ số kích thước?
2. NGUYÊN TẮC CƠ BẢN TRONG VẼ KĨ THUẬT
HĐ4. Quan sát bản vẽ kĩ thuật trong Hình 3.32 và trả lời các câu hỏi sau:
a) Các hình biểu diễn trong bản vẽ có giúp hình dung được hình dạng và cấu tạo của vật thể hay không?
b) Có kích thước nào của vật thể mà em không thể xác định được từ bản vẽ hay không?
Bản vẽ kĩ thuật cần đảm bảo các nguyên tắc cơ bản sau:
• Nguyên tắc phản chuyển: các hình biểu diễn trên bản vẽ kĩ thuật xác định duy nhất hình dạng và cấu tạo của vật thể được biểu diễn.
• Nguyên tắc đầy đủ: các kích thước của vật thể được biểu diễn đầy đủ trên bản vẽ kĩ thuật.
Ví dụ 4. Hình 3.38a thể hiện một phần của bản vẽ. Bản vẽ đó có đáp ứng được các nguyên tắc cơ bản của vẽ kĩ thuật hay không? Giải thích vì sao.
a)
b)
Hình 3.38
Giải
Bản vẽ trong Hình 3.38a thể hiện duy nhất vật thể cần được biểu diễn, đồng thời các kích thước của vật thể có thể được xác định đầy đủ từ bản vẽ. Do đó bản vẽ trong Hình 3.33a đáp ứng được các nguyên tắc cơ bản của vẽ kĩ thuật.
Luyện tập 4. Hình 3.38b thể hiện một phần của bản vẽ. Bản vẽ đó có đáp ứng được các nguyên tắc cơ bản của vẽ kĩ thuật hay không? Giải thích vì sao.
Giải
Kí hiệu A ứng với đường dóng kích thước và kí hiệu B ứng với chữ số kích thước.
Luyện tập 3. Trong Hình 3.37b, kí hiệu nào trong hai kí hiệu C, D ứng với đường kích thước và kí hiệu nào ứng với chữ số kích thước?
2. NGUYÊN TẮC CƠ BẢN TRONG VẼ KĨ THUẬT
HĐ4. Quan sát bản vẽ kĩ thuật trong Hình 3.32 và trả lời các câu hỏi sau:
a) Các hình biểu diễn trong bản vẽ có giúp hình dung được hình dạng và cấu tạo của vật thể hay không?
b) Có kích thước nào của vật thể mà em không thể xác định được từ bản vẽ hay không?
Bản vẽ kĩ thuật cần đảm bảo các nguyên tắc cơ bản sau:
• Nguyên tắc phản chuyển: các hình biểu diễn trên bản vẽ kĩ thuật xác định duy nhất hình dạng và cấu tạo của vật thể được biểu diễn.
• Nguyên tắc đầy đủ: các kích thước của vật thể được biểu diễn đầy đủ trên bản vẽ kĩ thuật.
Ví dụ 4. Hình 3.38a thể hiện một phần của bản vẽ. Bản vẽ đó có đáp ứng được các nguyên tắc cơ bản của vẽ kĩ thuật hay không? Giải thích vì sao.
a)
b)
Hình 3.38
Giải
Bản vẽ trong Hình 3.38a thể hiện duy nhất vật thể cần được biểu diễn, đồng thời các kích thước của vật thể có thể được xác định đầy đủ từ bản vẽ. Do đó bản vẽ trong Hình 3.33a đáp ứng được các nguyên tắc cơ bản của vẽ kĩ thuật.
Luyện tập 4. Hình 3.38b thể hiện một phần của bản vẽ. Bản vẽ đó có đáp ứng được các nguyên tắc cơ bản của vẽ kĩ thuật hay không? Giải thích vì sao.
Nhận xét. Bản vẽ kĩ thuật không nhất thiết phải thể hiện đầy đủ cả ba hình chiếu vuông góc, hoặc phải thể hiện đầy đủ cả hình chiếu vuông góc và hình chiếu trục đo của vật thể. Đối với một số vật thể đơn giản thì 2 hoặc 3 hình chiếu là đủ để giúp người đọc bản vẽ hình dung đầy đủ về vật thể.
Ví dụ 5. Hãy quan sát một hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông và một hình trụ có chiều cao bằng nhau (H.3.39a), từ đó giải thích vì sao hình biểu diễn được thể hiện trong Hình 3.39b không đáp ứng nguyên tắc phản chuyển trong vẽ kĩ thuật.
a)
b)
Hình 3.39
Giải
Hình hộp chữ nhật và hình trụ với chiều cao 60 mm trong Hình 3.39a đều có hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh được thể hiện như trong bản vẽ ở Hình 3.39b. Do đó bản vẽ trong Hình 3.39b không xác định duy nhất vật thể được biểu diễn và vì vậy không đáp ứng nguyên tắc phản chuyển.
? Để phân biệt hình hộp chữ nhật và hình trụ trong Hình 3.39a ta nên sử dụng thêm hình chiếu gì?
Luyện tập 5. Một phần của bản vẽ được thể hiện trong Hình 3.40. Bản vẽ đó có đáp ứng nguyên tắc đầy đủ trong vẽ kĩ thuật không?
Hình 3.40
Ví dụ 5. Hãy quan sát một hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông và một hình trụ có chiều cao bằng nhau (H.3.39a), từ đó giải thích vì sao hình biểu diễn được thể hiện trong Hình 3.39b không đáp ứng nguyên tắc phản chuyển trong vẽ kĩ thuật.
a)
b)
Hình 3.39
Giải
Hình hộp chữ nhật và hình trụ với chiều cao 60 mm trong Hình 3.39a đều có hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh được thể hiện như trong bản vẽ ở Hình 3.39b. Do đó bản vẽ trong Hình 3.39b không xác định duy nhất vật thể được biểu diễn và vì vậy không đáp ứng nguyên tắc phản chuyển.
? Để phân biệt hình hộp chữ nhật và hình trụ trong Hình 3.39a ta nên sử dụng thêm hình chiếu gì?
Luyện tập 5. Một phần của bản vẽ được thể hiện trong Hình 3.40. Bản vẽ đó có đáp ứng nguyên tắc đầy đủ trong vẽ kĩ thuật không?
Hình 3.40
3. ĐỌC VÀ VẼ BẢN VẼ KĨ THUẬT ĐƠN GIẢN
HD5. Quan sát bản vẽ kĩ thuật trong Hình 3.32 và trả lời các câu hỏi sau:
a) Vật thể được biểu diễn trên bản vẽ có tên gọi là gì?
b) Bản vẽ thể hiện các hình chiếu nào của vật thể?
c) Em xác định chiều cao của vật thể từ bản vẽ bằng cách nào?
Khi đọc thông tin từ bản vẽ kĩ thuật ta tuân theo trình tự sau:
Khung tên: xác định tên gọi của vật thể, vật liệu sử dụng để chế tạo vật thể, tỉ lệ bản vẽ.
Hình biểu diễn: xác định tên gọi của các hình chiếu có trong bản vẽ và các hình biểu diễn khác (nếu có).
Kích thước: xác định kích thước chung của vật thể và kích thước các thành phần.
Yêu cầu kĩ thuật: xác định yêu cầu về gia công, xử lí bề mặt của vật thể.
Ví dụ 6. Đọc bản vẽ kĩ thuật trong Hình 3.41a.
Giải
Bản vẽ kĩ thuật trong Hình 3.41a cho ta các nội dung sau đây.
– Khung tên:
Tên gọi vật thể: lăng trụ tam giác đều;
Vật liệu: sắt;
Tỉ lệ: $1:5$.
– Hình biểu diễn:
Tên gọi hình chiếu: hình chiếu đứng, hình chiếu bằng, hình chiếu cạnh và hình chiếu trục đo vuông góc đều.
– Kích thước:
Vật thể có kích thước chung là: cao 40, ngang 20.
– Yêu cầu kĩ thuật:
Gia công: làm tù cạnh;
Xử lí bề mặt: mạ kẽm
HD5. Quan sát bản vẽ kĩ thuật trong Hình 3.32 và trả lời các câu hỏi sau:
a) Vật thể được biểu diễn trên bản vẽ có tên gọi là gì?
b) Bản vẽ thể hiện các hình chiếu nào của vật thể?
c) Em xác định chiều cao của vật thể từ bản vẽ bằng cách nào?
Khi đọc thông tin từ bản vẽ kĩ thuật ta tuân theo trình tự sau:
Khung tên: xác định tên gọi của vật thể, vật liệu sử dụng để chế tạo vật thể, tỉ lệ bản vẽ.
Hình biểu diễn: xác định tên gọi của các hình chiếu có trong bản vẽ và các hình biểu diễn khác (nếu có).
Kích thước: xác định kích thước chung của vật thể và kích thước các thành phần.
Yêu cầu kĩ thuật: xác định yêu cầu về gia công, xử lí bề mặt của vật thể.
Ví dụ 6. Đọc bản vẽ kĩ thuật trong Hình 3.41a.
Giải
Bản vẽ kĩ thuật trong Hình 3.41a cho ta các nội dung sau đây.
– Khung tên:
Tên gọi vật thể: lăng trụ tam giác đều;
Vật liệu: sắt;
Tỉ lệ: $1:5$.
– Hình biểu diễn:
Tên gọi hình chiếu: hình chiếu đứng, hình chiếu bằng, hình chiếu cạnh và hình chiếu trục đo vuông góc đều.
– Kích thước:
Vật thể có kích thước chung là: cao 40, ngang 20.
– Yêu cầu kĩ thuật:
Gia công: làm tù cạnh;
Xử lí bề mặt: mạ kẽm
Luyện tập 6. Đọc bản vẽ kĩ thuật trong Hình 3.41b.
Chú ý. Thông thường trong bản vẽ kĩ thuật, hình chiếu trục đo giúp hình dung hình dạng tổng thể của vật thể, hình chiếu vuông góc giúp hình dung cấu tạo và kích thước chi tiết của vật thể.
Vận dụng. Một nhà máy dự định sử dụng 1 tấn hợp kim để sản xuất các chi tiết máy được mô tả như trong bản vẽ kĩ thuật ở Hình 3.32. Tính số lượng chi tiết máy sản xuất được, biết rằng khối lượng riêng của hợp kim là $7,85$ tấn/$m^3$ và giả sử rằng lượng hợp kim hao hụt trong sản xuất là không đáng kể.
HĐ6. Để lập bản vẽ kĩ thuật gồm các hình chiếu vuông góc và hình chiếu trục đo vuông góc đều của một vật thể ta cần tuân theo trình tự nào? Sắp xếp các bước sau để nhận được trình tự đúng.
a) Chọn hướng chiếu phù hợp.
b) Chỉnh sửa các nét vẽ và ghi kích thước.
c) Vẽ hình chiếu vuông góc của mỗi hình khối cấu tạo nên vật thể.
d) Phân tích vật thể thành các hình khối đơn giản.
e) Từ các hình chiếu vuông góc và hình biểu diễn của vật thể dựng hình chiếu trục đo.
f) Kẻ khung bản vẽ, khung tên để hoàn thành bản vẽ.
Khi lập bản vẽ kĩ thuật của một vật thể ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Quan sát vật thể và phân tích vật thể thành các hình khối đơn giản.
Bước 2: Chọn các hướng chiếu phù hợp, thường là các hướng vuông góc với các mặt của vật thể.
Bước 3: Vẽ hình chiếu vuông góc của các hình khối cấu tạo nên vật thể.
Bước 4: Xoá các nét thừa, chỉnh sửa các nét vẽ theo đúng tiêu chuẩn và ghi kích thước trên các hình chiếu.
Bước 5: Từ ba hình chiếu vuông góc vừa vẽ, vẽ hình chiếu trục đo vuông góc đều của vật thể.
Bước 6: Kẻ khung bản vẽ, khung tên, ghi các nội dung vào khung tên để hoàn thành bản vẽ.
Ví dụ 7. Lập bản vẽ kĩ thuật của vật thể giá chữ L được cho trong Hình 3.42. Kích thước của vật thể được cho như sau:
– Khối chữ L: chiều dài 60, chiều cao 60, chiều rộng 30 và bề dày 20.
– Rãnh hình hộp: chiều rộng 10, chiều dài 30 và chiều cao 20.
Hình 3.42
Chú ý. Thông thường trong bản vẽ kĩ thuật, hình chiếu trục đo giúp hình dung hình dạng tổng thể của vật thể, hình chiếu vuông góc giúp hình dung cấu tạo và kích thước chi tiết của vật thể.
Vận dụng. Một nhà máy dự định sử dụng 1 tấn hợp kim để sản xuất các chi tiết máy được mô tả như trong bản vẽ kĩ thuật ở Hình 3.32. Tính số lượng chi tiết máy sản xuất được, biết rằng khối lượng riêng của hợp kim là $7,85$ tấn/$m^3$ và giả sử rằng lượng hợp kim hao hụt trong sản xuất là không đáng kể.
HĐ6. Để lập bản vẽ kĩ thuật gồm các hình chiếu vuông góc và hình chiếu trục đo vuông góc đều của một vật thể ta cần tuân theo trình tự nào? Sắp xếp các bước sau để nhận được trình tự đúng.
a) Chọn hướng chiếu phù hợp.
b) Chỉnh sửa các nét vẽ và ghi kích thước.
c) Vẽ hình chiếu vuông góc của mỗi hình khối cấu tạo nên vật thể.
d) Phân tích vật thể thành các hình khối đơn giản.
e) Từ các hình chiếu vuông góc và hình biểu diễn của vật thể dựng hình chiếu trục đo.
f) Kẻ khung bản vẽ, khung tên để hoàn thành bản vẽ.
Khi lập bản vẽ kĩ thuật của một vật thể ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Quan sát vật thể và phân tích vật thể thành các hình khối đơn giản.
Bước 2: Chọn các hướng chiếu phù hợp, thường là các hướng vuông góc với các mặt của vật thể.
Bước 3: Vẽ hình chiếu vuông góc của các hình khối cấu tạo nên vật thể.
Bước 4: Xoá các nét thừa, chỉnh sửa các nét vẽ theo đúng tiêu chuẩn và ghi kích thước trên các hình chiếu.
Bước 5: Từ ba hình chiếu vuông góc vừa vẽ, vẽ hình chiếu trục đo vuông góc đều của vật thể.
Bước 6: Kẻ khung bản vẽ, khung tên, ghi các nội dung vào khung tên để hoàn thành bản vẽ.
Ví dụ 7. Lập bản vẽ kĩ thuật của vật thể giá chữ L được cho trong Hình 3.42. Kích thước của vật thể được cho như sau:
– Khối chữ L: chiều dài 60, chiều cao 60, chiều rộng 30 và bề dày 20.
– Rãnh hình hộp: chiều rộng 10, chiều dài 30 và chiều cao 20.
Hình 3.42
Giải
Bước 1. Nhận thấy rằng vật thể có dạng khối chữ L được bao bởi một hình hộp chữ nhật, phần nằm ngang của vật thể có rãnh cũng là hình hộp chữ nhật (H.3.43a).
Bước 2. Chọn các hướng chiếu lần lượt vuông góc với mặt trước, mặt trên và mặt bên trái của vật thể (H.3.43b).
Hình 3.43
Bước 1. Nhận thấy rằng vật thể có dạng khối chữ L được bao bởi một hình hộp chữ nhật, phần nằm ngang của vật thể có rãnh cũng là hình hộp chữ nhật (H.3.43a).
Bước 2. Chọn các hướng chiếu lần lượt vuông góc với mặt trước, mặt trên và mặt bên trái của vật thể (H.3.43b).
Hình 3.43
Bước 3. Lần lượt vẽ hình chiếu vuông góc của hình hộp chữ nhật bao bên ngoài vật thể (H.3.43c), của khối chữ L (H.3.43d) và của rãnh hộp chữ nhật (H.3.43e).
Bước 4. Xoá các nét thừa, chỉnh sửa các nét vẽ theo quy tắc: các đường thấy vẽ bằng nét liền; các đường khuất vẽ bằng nét đứt. Ghi các kích thước của vật thể trên các hình chiếu.
Bước 5. Vẽ hình chiếu trục đo vuông góc đều của vật thể.
Vẽ ba trục đo O'x', O'y', O'z' đôi một tạo với nhau một góc $120^{\circ}$. Vẽ hình hộp chữ nhật bao bên ngoài của vật thể với các chiều nằm dọc theo các trục đo, các kích thước lần lượt là 60 (chiều dài), 30 (chiều rộng) và 60 (chiều cao) (H.3.44a).
Trên mặt nằm trong mp(O'x', O'z') và mặt song song với mp(O'x', O'z') của hình hộp chữ nhật, vẽ hình chiếu đứng theo đúng các kích thước của vật thể; trên mặt nằm trong mp(O'y', O'z') của hình hộp chữ nhật vẽ hình chiếu cạnh theo đúng các kích thước của vật thể (H.3.44b).
Dựa vào hình chiếu bằng để xác định được mặt còn lại của vật thể (H.3.44c). Hoàn thành các nét còn thiếu, xoá các nét thừa, chỉnh sửa các nét vẽ theo tiêu chuẩn của nét vẽ (H.3.44d).
Hình 3.44
Bước 4. Xoá các nét thừa, chỉnh sửa các nét vẽ theo quy tắc: các đường thấy vẽ bằng nét liền; các đường khuất vẽ bằng nét đứt. Ghi các kích thước của vật thể trên các hình chiếu.
Bước 5. Vẽ hình chiếu trục đo vuông góc đều của vật thể.
Vẽ ba trục đo O'x', O'y', O'z' đôi một tạo với nhau một góc $120^{\circ}$. Vẽ hình hộp chữ nhật bao bên ngoài của vật thể với các chiều nằm dọc theo các trục đo, các kích thước lần lượt là 60 (chiều dài), 30 (chiều rộng) và 60 (chiều cao) (H.3.44a).
Trên mặt nằm trong mp(O'x', O'z') và mặt song song với mp(O'x', O'z') của hình hộp chữ nhật, vẽ hình chiếu đứng theo đúng các kích thước của vật thể; trên mặt nằm trong mp(O'y', O'z') của hình hộp chữ nhật vẽ hình chiếu cạnh theo đúng các kích thước của vật thể (H.3.44b).
Dựa vào hình chiếu bằng để xác định được mặt còn lại của vật thể (H.3.44c). Hoàn thành các nét còn thiếu, xoá các nét thừa, chỉnh sửa các nét vẽ theo tiêu chuẩn của nét vẽ (H.3.44d).
Hình 3.44
Bước 6. Hoàn thành khung tên, khung bản vẽ để được bản vẽ cuối cùng có dạng như trong Hình 3.45.
Hình 3.45
Luyện tập 7. Lập bản vẽ kĩ thuật của vật thể giá chữ U được biểu diễn trên giấy kẻ ô tam giác đều trong Hình 3.46. Quy ước mỗi cạnh của tam giác đều có chiều dài là 1 cm.
Hình 3.46
BÀI TẬP
3.12. Quan sát một phần bản vẽ được thể hiện trong Hình 3.47 và giải thích vì sao bản vẽ đó không đáp ứng nguyên tắc đầy đủ trong vẽ kĩ thuật.
Hình 3.47
Hình 3.45
Luyện tập 7. Lập bản vẽ kĩ thuật của vật thể giá chữ U được biểu diễn trên giấy kẻ ô tam giác đều trong Hình 3.46. Quy ước mỗi cạnh của tam giác đều có chiều dài là 1 cm.
Hình 3.46
BÀI TẬP
3.12. Quan sát một phần bản vẽ được thể hiện trong Hình 3.47 và giải thích vì sao bản vẽ đó không đáp ứng nguyên tắc đầy đủ trong vẽ kĩ thuật.
Hình 3.47
3.13. Đọc bản vẽ kĩ thuật trong Hình 3.48.
Hình 3.48
3.14. Lập bản vẽ kĩ thuật của vật thể giá chữ U được biểu diễn trên giấy kẻ ô tam giác đều trong Hình 3.49. Quy ước mỗi cạnh của tam giác đều có chiều dài là 1 cm.
3.15. Tính thể tích của vật thể được biểu diễn trên giấy kẻ ô tam giác đều trong Hình 3.46. Quy ước mỗi cạnh của tam giác đều có chiều dài là 1 cm.
3.16. Hãy chọn một vật thể đơn giản theo ý thích của mình và lập bản vẽ kĩ thuật cho vật thể đó.
Hình 3.49
Hình 3.48
3.14. Lập bản vẽ kĩ thuật của vật thể giá chữ U được biểu diễn trên giấy kẻ ô tam giác đều trong Hình 3.49. Quy ước mỗi cạnh của tam giác đều có chiều dài là 1 cm.
3.15. Tính thể tích của vật thể được biểu diễn trên giấy kẻ ô tam giác đều trong Hình 3.46. Quy ước mỗi cạnh của tam giác đều có chiều dài là 1 cm.
3.16. Hãy chọn một vật thể đơn giản theo ý thích của mình và lập bản vẽ kĩ thuật cho vật thể đó.
Hình 3.49
Bài tập cuối chuyên đề 3
3.17. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
a) Nếu mặt phẳng chiếu đứng song song với mặt phẳng $(ABB'A')$ thì các hình chiếu đứng của $A$ và $D$ trùng nhau.
b) Nếu mặt phẳng chiếu bằng song song với mặt phẳng $(ABCD)$ thì các hình chiếu bằng của $C$ và $C'$ trùng nhau.
c) Nếu mặt phẳng chiếu cạnh song song với mặt phẳng $(BCC'B')$ thì các hình chiếu cạnh của $A$ và $C$ trùng nhau.
3.18. Bản vẽ trong Hình 3.50 có đáp ứng các nguyên tắc cơ bản của vẽ kĩ thuật hay không? Giải thích vì sao.
Hình 3.50
3.19. Trong không gian cho điểm $A$ và ba mặt phẳng đôi một vuông góc $(P_1)$, $(P_2)$ và $(P_3)$ giao nhau tại $O$. Gọi $A_1, A_2, A_3$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên các mặt phẳng $(P_1)$, $(P_2)$ và $(P_3)$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $A$ xuống các giao tuyến của $(P_1)$ và $(P_2)$, $(P_2)$ và $(P_3)$, $(P_3)$ và $(P_1)$.
a) Chứng minh $OA^2 = OM^2 + ON^2 + OP^2$.
b) Áp dụng câu a để chứng minh $OA = \sqrt{\frac{OA_1^2 + OA_2^2 + OA_3^2}{2}}$.
Sử dụng kết quả trên để tính độ dài của một đoạn thẳng mà ba hình chiếu có độ dài lần lượt là $1\text{ cm}$, $2\text{ cm}$ và $3\text{ cm}$.
3.20. Bạn Long nói rằng khi vẽ hình chiếu trục đo thì các hệ số biến dạng luôn nhỏ hơn hoặc bằng $1$. Bạn Long nói đúng hay sai? Vì sao?
3.21. Hình 3.51 thể hiện hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một đoạn thẳng $AB$ trong không gian.
a) Xác định hình chiếu cạnh $A_3B_3$ của đoạn thẳng đó.
b) Biết $A_1B_1 = 10\text{ cm}$ và $A_2B_2 = 6\text{ cm}$, tính độ dài của $A_3B_3$.
3.17. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
a) Nếu mặt phẳng chiếu đứng song song với mặt phẳng $(ABB'A')$ thì các hình chiếu đứng của $A$ và $D$ trùng nhau.
b) Nếu mặt phẳng chiếu bằng song song với mặt phẳng $(ABCD)$ thì các hình chiếu bằng của $C$ và $C'$ trùng nhau.
c) Nếu mặt phẳng chiếu cạnh song song với mặt phẳng $(BCC'B')$ thì các hình chiếu cạnh của $A$ và $C$ trùng nhau.
3.18. Bản vẽ trong Hình 3.50 có đáp ứng các nguyên tắc cơ bản của vẽ kĩ thuật hay không? Giải thích vì sao.
Hình 3.50
3.19. Trong không gian cho điểm $A$ và ba mặt phẳng đôi một vuông góc $(P_1)$, $(P_2)$ và $(P_3)$ giao nhau tại $O$. Gọi $A_1, A_2, A_3$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên các mặt phẳng $(P_1)$, $(P_2)$ và $(P_3)$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $A$ xuống các giao tuyến của $(P_1)$ và $(P_2)$, $(P_2)$ và $(P_3)$, $(P_3)$ và $(P_1)$.
a) Chứng minh $OA^2 = OM^2 + ON^2 + OP^2$.
b) Áp dụng câu a để chứng minh $OA = \sqrt{\frac{OA_1^2 + OA_2^2 + OA_3^2}{2}}$.
Sử dụng kết quả trên để tính độ dài của một đoạn thẳng mà ba hình chiếu có độ dài lần lượt là $1\text{ cm}$, $2\text{ cm}$ và $3\text{ cm}$.
3.20. Bạn Long nói rằng khi vẽ hình chiếu trục đo thì các hệ số biến dạng luôn nhỏ hơn hoặc bằng $1$. Bạn Long nói đúng hay sai? Vì sao?
3.21. Hình 3.51 thể hiện hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một đoạn thẳng $AB$ trong không gian.
a) Xác định hình chiếu cạnh $A_3B_3$ của đoạn thẳng đó.
b) Biết $A_1B_1 = 10\text{ cm}$ và $A_2B_2 = 6\text{ cm}$, tính độ dài của $A_3B_3$.
3.22. Sử dụng thước đo góc nếu cần thiết, hãy cho biết hình nào trong Hình 3.52 là hình chiếu trục đo vuông góc đều.
Hình 3.52
3.23. Bản vẽ ở Hình 3.53 mô tả vật thể nào trong thực tế? Cho biết hình nào là hình chiếu vuông góc, hình nào là hình chiếu trục đo của vật thể đó.
Hình 3.53
3.24. Một vật thể được biểu diễn trên giấy kẻ ô tam giác đều như trong Hình 3.54. Quy ước chiều dài mỗi cạnh của tam giác đều là $10 \text{ mm}$, hãy lập bản vẽ kĩ thuật của vật thể đó và tính thể tích của nó.
Hình 3.54
Hình 3.52
3.23. Bản vẽ ở Hình 3.53 mô tả vật thể nào trong thực tế? Cho biết hình nào là hình chiếu vuông góc, hình nào là hình chiếu trục đo của vật thể đó.
Hình 3.53
3.24. Một vật thể được biểu diễn trên giấy kẻ ô tam giác đều như trong Hình 3.54. Quy ước chiều dài mỗi cạnh của tam giác đều là $10 \text{ mm}$, hãy lập bản vẽ kĩ thuật của vật thể đó và tính thể tích của nó.
Hình 3.54
